6.3.1二项式定理导学案(1)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 【学习目标】 1.能运用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，提升逻辑推理的核心素养. 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项，提升数学运算的核心素养. 3.能运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养. 【学习重点与难点】 学习重点：二项式定理的推导及其简单应用 学习难点：二项式系数的推导 【情景导入】 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中收录了一个重要的数字三角形，我们将它称为杨辉三角.观察右边展开式的系数与左边杨辉三角的数字，你能发现什么规律？并填写(a+b)4的展开式. 展开式 如果是，还能用杨辉三角得到展开式系数吗？ 【学习过程】 1、 新知探究 【问题1】我们知道 观察以上展开式，分析其运算过程，观察项数、次数你能发现什么规律? 追问1：展开式的项数与二项式的次数有什么关系？ 追问2：展开式中每项的结构有什么共同特征？ 【归纳】 展开式的特点： 1、的展开式共 项； 2、每一项都是 的结构，且齐 次； 3、a按 排列，次数 ；b按 排列，次数 . 【探究】分析的展开过程，根据多项式乘法法则： 追问3：在合并同类项之前，共几项？每一项的一般形式如何？ 【问题2】 如果每项用表示，则k有几种不同情况？对应的系数分别是多少？（从是否选b的角度来考虑） 由以上分析可以得到：= = . 【活动】仿照上述过程，通过小组讨论完成以下表格. 原始展开式有几项？ 合并同类项后 剩哪些项？ 各项次数之和 各项系数 （用组合数表示） 所以 . . 【问题3】根据之前的分析，你现在能对的展开式作出合理的猜想吗？ 猜想: . 【概念】二项式定理： 一般地，对于任意的正整数，都有 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的 ，其中各项的系数 叫做 ；式中的 叫做二项展开式的通项，用表示. 即通项为展开式的第项为： . 在二项式定理中,若设则得到公式: 【辨一辨】（对的打“√”，错误的打“×”） 1、展开式中共有n项.（ ） 2、是展开式中的第k项.（ ） 3、 中a，b的位置可以颠倒 ，即交换a，b的顺序对各项无影响. （ ） 二、典例分析 例1：求的展开式． 变式：求的展开式 【思考】观察一下两个展开式，你有什么发现? 结论： . 例2：(1)求的展开式的第4项的系数； (2) 求 的展开式的第4项的系数； (3) 求 的展开式的第4项的二项式系数. 【小结】叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是 的概念 .第k+1项的系数 . 【课堂练习】教材P31 1、的展开式第6项的系数是（     ） A． B． C． D． 2、的展开式中，含的项的系数是       . 三、归纳总结 1、二项式定理： 2、二项式展开的通项： 3、二项式系数： 4、 课后作业 基础作业：课本P31练习2、3 活动作业：探究二项式系数有何性质？ 学科网（北京）股份有限公司 $