专题21 相似三角形(含位似)分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题21 相似三角形(含位似) 班级：　　　 姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(北师九上例题改编)已知，那么下列比例中成立的是( ) A. B. C. D. 2．(人教九下习题改编)如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，.若，，则的长是( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 3．(2025云南)如图， 在中， 已知，分别是，边上的点， 且.若，则( ) A. B. C. D. 4．如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 5．(2025眉山)如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点为位似中心放大后得到，则与的周长之比是( ) A. B. C. D. 6．(2025贵阳十七中模拟)如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是( ) A. B. C. D. 7．(新考法 跨学科试题)(2025内江改编) 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是( ) A. B. C. D. 8．(2025河北)如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，.若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是( ) A. B. C. D. 9．如图，已知与都是等边三角形，边长分别为10、9，点D在边上，与相交于点F，则线段的长度是（   ） A．7.5 B．8 C．8.1 D．8.5 10．如图，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，点落在边上，连接．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 二、填空题 11．(2025内蒙古改编)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为.则点的对应点的坐标为_________. 12．(2024山西改编)如图，已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且.若，则的长为_ _ _ _ _ (结果保留根号). 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 14．如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 15．已知：如图，，则的长为___． 16．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 17．如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 18．如图，中，，，D为边的中点，将线段以B点为中心逆时针旋转得到线段，连接 （1）若，则长为___________． （2）长最大为___________． 三、解答题 19．(2025白云区模拟)如图，在中， ，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边，于点，. (1) 求证：； (2) 若，求证：. 20．如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 21．如图，在和中，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，点D在边上，，连接． (1)若，，求线段的长； (2)求证：． 23．如图，在和中，，，与相交于点O，的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若O为的中点，，求的长． 1．(2025浙江)如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，.若的长为3，则的长为( ) A. B. 4 C. D. 5 2．(新考法 结论开放)(2025贵州省模拟) 如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是________________________________________(可选工具：小镜子、标杆、皮尺)； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度(结果保留整数). 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为(眼睛到头顶的距离忽略不计)，⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为. 3．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 4．综合与探究如图 1， 等腰三角形中，， 在的右侧确定点D， 使得是以为腰的等腰三角形，且的对角与等腰三角形的顶角相等．我们将称为的 “和谐三角形”． 【问题发现】 (1)如图 1，为等腰三角形的 “和谐三角形”，且． 猜想线段之间的数量关系，并证明． 【类比探究】 (2)如图 2，为等腰三角形的 “和谐三角形”，且，连接交于点O，若，求线段的长． 【拓展延伸】 (3)如图 3， 等腰三角形中，，，． 若平面内存在点D，使得为等腰三角形的 “和谐三角形”，请直接写出的长． 参考答案 一、选择题 1. D　【解析】由=，得到2a=3b，故A选项错误，不符合题意；由=，得到ab=6，故B选项错误，不符合题意；由=，得到2a=b，故C选项错误，不符合题意；由=，得到3a=2b，故D选项正确，符合题意. 2. B　【解析】∵l1∥l2∥l3，∴AB∶BC=DE∶EF，∵AB∶BC=2∶3，EF=9，∴DE=6. 3. A　【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵=，∴=，故选A. 4. A　【解析】由条件可知=，故A选项正确，符合题意；∴=，故B选项错误，不符合题意；∴=，故C选项错误，不符合题意；∴=，故D选项错误，不符合题意. 5. B　【解析】∵OB∶OD=1∶2，∴将△OAB以点O为位似中心放大2倍后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的周长之比是1∶2. 6. A　【解析】在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4.∵==，∠C=∠C，∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故A选项符合题意；∵=≠，∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故B选项不符合题意；∵=≠，∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故C选项不符合题意；∵=1≠，∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故D选项不符合题意. 7. B　【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，∵动力臂OA=150 cm，阻力臂OB=50 cm，BD=20 cm，∴=，∴AC=60，∴AC的长度是60 cm. 8. D　【解析】∵∠B＋∠4=180°，∴CD∥BM，∴∠CDN=∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND，∴△MAE∽△DCN，故A选项不符合题意；∵CD∥AB，∴∠CDN=∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND，∴△MAE∽△DCN，故B选项不符合题意；∵AE∥BC，∴∠1＋∠B=180°，∵∠1=∠4，∴∠B＋∠4=180°，∴CD∥BM，∴∠CDN=∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND，∴△MAE∽△DCN，故C选项不符合题意；根据∠2=∠3结合已知条件不能证明得到△MAE∽△DCN，故D选项符合题意. 9．C 【分析】根据等边三角形的性质可得，结合公共角，可证得，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∵点F在上， ∴， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴， ∴． 10．C 【分析】与的中点记为点，由旋转可得，根据三角形外角的性质，可判断选项A；由旋转的性质，结合同角的余角相等，可得，由旋转可得，，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，结合直角三角形的两个锐角互余，可判断选项B；根据勾股定理，结合旋转的性质，可得，由，，，证明，，，在中，根据勾股定理，可得，可判断选项C；由旋转的性质，结合等边等角，可得，可判断选项D． 【详解】解：与的中点记为点， 由旋转可得，，，，， ∴， ∴选项A正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B正确； ∵，，， ∴， 由旋转可得， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 解得， ∴选项C错误； ∵，， ∴， ∴平分， ∴选项D正确． 二、填空题 11. (－4，－2)　【解析】∵以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，∴点A(2，1)的对应点A′的坐标为(－2×2，－2×1)，即(－4，－2). 12. (－1)　【解析】由已知得AB=NP=2 cm，∵=，∴BC=(－1)cm. 13．4 【分析】先说明 ，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵与位似，且点O是位似中心， ∴ ． ∵点， ∴， ∴， 则与的相似比为2， ∴与的面积比是4． 14． 【分析】利用两组角相等得到，进而利用求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴即：， ∴. 15． 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16． 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 17． 【分析】如图，延长，交于点G，首先求出，设，则，勾股定理表示出，然后证明出，得到，代入表示出，，然后表示出，，然后利用得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形 ∴， ∵E为的中点 ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 18． 4 【分析】（1）利用勾股定理以及旋转的性质进行求解； （2）以为直径画，过点作，使，连接，以线段的中点为圆心，长为半径画，证明，，得出点在以为直径的圆弧上，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴由勾股定理得， ∵D为边的中点， ∴， 由旋转可得； （2）如图，以为直径画， ∵， ∴点在上， 过点作，使，连接， 以线段的中点为圆心，长为半径画， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆弧上， 连接并延长，交于点，此时长最大， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 三、解答题 19. 证明：(1)∵DE⊥CM， ∴∠CDF＋∠DCF=90°， ∵∠ACB=90°，点M为AB的中点， ∴CM=BM=AB，∠BCM＋∠DCF=90°， ∴∠B=∠BCM， ∴∠CDF=∠BCM=∠B， ∵∠BCA=∠DCE， ∴△CDE∽△CBA； (2)由(1)可知，CM=AB，△CDE∽△CBA， ∵DE=CM， ∴DE=AB， ∴==， ∴BC=2DC 20．见解析 【分析】证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 22．(1)8 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用，可求出的长，即可； （2）证明，即可求证． 【详解】（1）解：，，， ， ． （2）证明：， ∴， ， ， ． 23．(1)证明见解析 (2)30 【分析】（1）利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，先证明，即可根据相似三角形的性质证明结论； （2）先根据直角三角形的性质证明，再逐步证明，，推得，，即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，O为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． . 1. C　【解析】∵五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)，∴===，易得△DOE∽△D′OE′，∴==，∵DE=3，∴D′E′=. 2. 解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺.(答案不唯一) 任务二：如解图①或图②或图③均可.(答案不唯一) 解图 任务三：(答案不唯一) 如解图④，如选取数据①，⑤，⑥，⑦. ∴DE=FG=BH=1.7，DG=EF=2，DH=EB=18， ∵CF=3.1， ∴CG=CF－FG=3.1－1.7=1.4， ∵∠CDG=∠ADH，∠CGD=∠AHD=90°， ∴△CDG∽△ADH， ∴=， ∴=， ∴AH=12.6， ∴AB=AH＋BH=12.6＋1.7=14.3≈14(m). 答：学校旗杆AB的高度约为14 m. 解图④ 3．(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 4．(1)，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，即可解答； （2）由（1）得：，证明，可得，即可求解； （3）过点A作于点E，求出的长，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，均为等腰三角形，且，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴； 如图，当时，过点A作于点F，过点C作于点G， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 2026中考数学 学科网（北京）股份有限公司 $