专题19 特殊三角形及其性质分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题19 特殊三角形及其性质 班级：　　　 姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(北师八下练习改编)已知等腰三角形顶角的度数为 ，则其中一个底角的度数为( ) A. B. C. D. 2．(人教八上习题改编)如图，在中，，平分交于点，若，则( ) A. 10 B. 12 C. 5 D. 6 3．(人教八上习题改编)一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( ) A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12 4．(人教八上习题改编)如图，在等腰中，，是边上的中点，，交于点.若 ，连接，则的度数是( ) A. B. C. D. 5．(2025达州)如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为( ) A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 6．(2024安徽)如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是( ) A. B. C. D. 7．(2025陕西)如图，在中， ， ，为边上的中线，，则图中与互余的角共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．如图，在中，，，延长至点D，使得．则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点D在上，，，，E，F分别是的中点，则的长为（   ） A．12 B．10 C．13 D．11.5 10．如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点和点 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交于点 ．若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．(2025南明区模拟)用一根长的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为　　　　 . 12．(2025连云港)如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度为　　　　 . 13．(2025福建)某房梁如图所示，立柱，，分别是斜梁，的中点.若，则的长为_ _ _ _ . 14．(2025扬州)如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且 .若，，则的长是　　　　. 15．(2024重庆B卷)如图，在中，， ，平分交于点.若，则的长度为　　　　. 16．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 17．如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 18．如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______． 三、解答题 19．(人教八上习题改编)如图，在中，，，. (1) 求证：是直角三角形； (2) 若为线段上一点，连接，且，求的长. 20．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，在中，，于点，为边上的中线． (1)若，求的度数； (2)若，，求点到的距离． 22．如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 23．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 1．(2025广西) 如图， 点，在同侧，，，则　　　　. 2．(2025毕节模拟)如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，于点.若，，则的长为　　　　　. 3．(2025云岩区模拟)如图，在中，，，分别是，的中点，连接，延长至点，使，连接. (1) 求证：是等腰三角形； (2) 已知 ，求的度数. 4．如图，在锐角中，、分别是、边上的高，、相交于，的中点为，的中点为，连接、， (1)求证:直线是线段的垂直平分线; (2)如果是钝角三角形，，那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明， 5．如图，在Rt中，，是边上的中线，求证：．下面是小红和小光两位同学的证明思路： 小红：如图，由题目的已知条件，若延长至点，使，连接，，即可证明． 小光：如图，由题目的已知条件，若取的中点，连接，即可证明． 请你选择一位同学的证明思路，完成证明． 6．实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 参考答案 一、选择题 1. D 2. B　【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵BD=5，∴由勾股定理得AD=12. 3. C　【解析】当腰为5时，周长为5＋5＋2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立，∴这个三角形的周长为12. 4. C　【解析】∵AC=BC，∠A=40°，∴∠B=∠A=40°，∴∠ACB=100°，∵D是AB边上的中点，∴∠ACD=∠ACB=×100°=50°，∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD=50°. 5. C　【解析】∵DE垂直平分线段AB，∴BD=AD，∴△BDC的周长为BC＋DB＋CD=BC＋AD＋CD=BC＋AC=5＋8=13. 6. B　【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=AC=2，CE=BE=AE=AC=，∵CD=AB=2，∠CED=90°，∴在Rt△CED中，DE===，∴BD=DE－BE=－. 解图 7. C　【解析】∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°，即∠A与∠B互余，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠A＋∠ADE=90°，即∠A与∠ADE互余，DE∥BC，∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD=CD，∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠ADE，即∠A与∠CDE互余，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB，即∠A与∠DCB互余，综上所述，与∠A互余的角有∠B，∠ADE，∠CDE，∠DCB，共4个. 8．D 【分析】如图，过点A作于点E，由三线合一得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．B 【分析】连接，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接． ，为的中点， ，． 在中，由勾股定理得． ， ． 在中，由勾股定理得． 为的中点，， ． 10．C 【分析】如图，过点作于点，由作图知平分，利用角的平分线性质，含角的直角三角形的性质及三角形面积性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程知：平分， ∴， ∵在中， ， ，的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 11. 4 12. 2.4　【解析】根据勾股定理，得h==2.4(m). 13. 4　【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵E是AB的中点，∴DE=AB=×8=4(m). 一题多解法 ∵AD⊥BC， AB=AC=8 m，∴D是BC 的中点，∵E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC=4(m). 14. 6　【解析】∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC=4，∴DE=AC=2，∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=BC=4，∴DF=DE＋EF=6. 15. 2　【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠C=∠ABC==72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A＋∠ABD=72°=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴AD=BC=2. 16．/35度 【分析】由作图可知是的垂直平分线，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ，， ， ∴． 17． 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．根据直角三角形斜边中线定理求出，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：在中，D是的中点，， 则， E，F是，的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 18．/ 【分析】过点作于点，利用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，，，进而求出，，再利用勾股定理求出，最后根据三角形周长公式求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理分析问题． 【详解】解：过点作于点 ，点D是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长为：． 3、 解答题 19. (1)证明：∵在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15， ∴AB2＋AC2=92＋122=225，BC2=152=225， ∴AB2＋AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形； (2)解：由(1)得∠A=90°， 设AP=x，则BP=CP=12－x， 由勾股定理，得AB2＋AP2=BP2，即92＋x2=(12－x)2， 解得x=， ∴AP的长为. 20．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据求解即可； （2）易得，设，则，证明，进而得到，从而求出的长，再根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】（1）解：， ， 为边上的中线， ， ， ， ， 、， ； （2）解：由（1）知， ， 设，则， 、， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即点到的距离为． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 23．(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 1. －1　【解析】如解图，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD=CD，∴H为BC的中点，∴BH=BC=1，∵AB=AC，BD=CD，∴A，D，H三点均在BC的垂直平分线上，∴A，D，H三点共线，∴DH==1，AH==，∴AD=AH－DH=－1. 解图 2. 10　【解析】如解图，记AC与DE相交于点G，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DE⊥AB，∴∠AGE=30°，∴∠CGD=30°，∵∠ACB=∠CGD＋∠D，∴∠D=30°，∴CG=CD，设AE=x，则CD=CG=3x，在Rt△AEG中，AG=2AE=2x，∴AB=BC=AC=AG＋CG=5x，∴BE=4x，BF=5x－6，在Rt△BEF中，∠BEF=180°－90°－60°=30°，∴BE=2BF，即4x=2(5x－6)，解得x=2，∴AC=5x=10. 解图 3. (1)证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CDE=∠ACB， ∴CE=DE， ∴△EDC是等腰三角形； (2)解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠B=∠ACB==70°， 由(1)知CE=DE， ∵CF=DE， ∴CF=CE， ∴∠CEF=∠F， ∵∠ACB=∠CEF＋∠F=2∠F=70°， ∴∠F=35°. 4．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、、、，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，证明点，点在线段的垂直平分线上即可 （2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题，同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ，，的中点为，的中点为， ，， 点，点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； （2）解：当是钝角三角形，，（1）中结论仍然成立； 如图，在钝角中，，、分别是、边上的高，、相交于，的中点为，的中点为，连接、，求证:直线是线段的垂直平分线． 证明：如图，连接、、、， ，，的中点为，的中点为， ，， 点，点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线． 5．见解析 【分析】小红：延长至点E，使，连接，，根据，，和，得，，    得四边形是平行四边形，是矩形，即得； 小光：取的中点，连接，根据三角形中位线性质，得，由，得，根据线段垂直平分线性质，得． 【详解】证明：小红的证明思路：如图，延长至点E，使，连接，， ∵在中，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∴ 小光的证明思路：如图，取的中点，连接， 则， ∵在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接，则，证得是等边三角形，进而证得； （2）根据折叠的性质折叠、，进而证得，根据，证得； （3）过点C作交延长线于点D，证得、，根据直角三角形的面积公式进行计算求解即可． 【详解】（1）证明：以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接， 则, 、 是等边三角形， ； （2）证明：对折矩形纸片，为折痕， 2026中考数学 学科网（北京）股份有限公司 $