精品解析：山东菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题

山东菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 2. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 3. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. 80 B. 81 C. 242 D. 243 【答案】C 【解析】 【分析】代入特殊值令和简化计算即可得解. 【详解】， 令，得； 令，得； 所以. 故选：C. 5. 某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法，先排第一排，再排第二排，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】因为3名导游站在一起且站在第一排， 先选12名游客，且3名导游站在一起排成一排，排法总数为； 剩余18人站在第二排，排法总数为； 所以排法总数为. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，因为，所以，得，求导，得到单调性，再由函数在上单调递减，得存在，使得， 进行判断． 【详解】由，得恒成立，故， 令，则， 得， 则， 由，得，由，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因为，所以， 则函数在上单调递减， 当时，得，且得，得， 得当时，得， 当时，得， 由函数在上单调递增，在上单调递减，及， 得存在，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 结合四个选项的函数单调性，只有B项满足． 故选：B 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若方程有3个不同的实数根，则 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】，根据图象得，求出，求出的值，根据有个不同的实数根，求出的范围，设切点坐标，求出切线方程，根据题意求出对称中心. 【详解】求导， 根据图象可得，即，解得，故A正确； 则， 由图可知，，， 根据有个不同的实数根，则，故B正确； 设切点坐标，则， 故，解得， 当时，，切线方程， 当时，，切线方程，故C错误； 由，则 则， 故点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ABD. 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第行的所有数字之和为 C. 第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D. 若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干所给规律可判断A；由二项式系数的性质可判断BC；先确定的可能取值，然后根据等差数列通项公式的结构特征确定，逆用二项式定理即可判断D. 【详解】对A，根据规律，第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和， 即，A正确； 对B，第行的数字即为的展开式的二项式系数， 所以其所有数字之和为，B错误； 对C，第2025行从左到右的数分别为展开式中的二项式系数， 其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为， 由二项式系数的性质可知，且在中二项式系数中最大，C正确； 对D，因为，，所以的可能取值有， 当时，，此时为常数列，不满足题意； 当时，，此时为公差为1的等差数列； 当时，，显然不是等差数列. 综上，若（且）为公差不为0的等差数列，则. 则 ，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用极值的定义，即可求解；对于B，根据条件将问题转化成求的最大值，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解；对于C，通过取即可求解；对于D，根据条件，转化成在上单调，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，易知其定义域为， 因为，由，得到， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，故选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到，所以， 令，则，令，得到， 当当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，则，得到，故选项B正确， 对于选项C，当时，，即，得到 又当时，， 所以当时，有解，故选项C错误， 对于选项D，，由题知或恒成立， 即或恒成立， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，所以，即，故选项D正确， 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由展开式的通项得出的展开式中含的项，进而得出系数. 【详解】展开式的通项为， 则的展开式中含的项为 ， 即的展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，某学校准备组建书法、音乐、美术三个社团，现将5名同学分配到这3个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为______． 【答案】150 【解析】 【分析】先将学生分成3组，再分配到社团即可. 【详解】先将5名同学分成3组，则有1,2,2或1,1,3两种情况， 1,2,2的情况有种方案，1,1,3的情况有种方案， 然后将三组同学分配到3个社团有种方案， 所以不同的分配方案有种. 故答案为：150. 14. 已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到对任意恒成立，设，则，根据单调性得到，参变分离得到，构造函数，求导得到单调性，求出最大值，从而得到，解得. 【详解】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】（1）14400 （2）30960 （3）20160 【解析】 【分析】（1）分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任选3个，安排三个发言节目即可； （2）分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在最后一个求解； （3）根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解. 【小问1详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位， ②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有＝14400种； 【小问2详解】 励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况， 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况， 共有：＝30960种情况． 【小问3详解】 根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列， 共有的方法数：＝20160种情况． 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 17. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由代入计算，即可得到结果； （2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则，， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 即时，有极小值，且， 又，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再导函数大于0、小于0的不等式即可. （2）由（1）的信息求出的极大值，并解不等式，再由已知求出的范围. （3）设出切点坐标，求出切线方程，再利用导数探讨有3个解的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 函数有唯一极大值点，要函数在上存在最大值，则， 当时，恒有，当时，，当时，， 由，得，整理得，解得， 因此，解得， 所以实数的范围是. 【小问3详解】 设切点坐标为，则， 切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可作曲线的三条切线，得方程有3个不同实数解， 则直线与函数的图象有3个交点，于是， 所以数的范围是. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可. （3）引入函数，分别证明（）和（）即可. 【小问1详解】 因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 3. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 80 B. 81 C. 242 D. 243 5. 某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若方程有3个不同的实数根，则 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第行的所有数字之和为 C. 第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D. 若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为______． 13. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，某学校准备组建书法、音乐、美术三个社团，现将5名同学分配到这3个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为______． 14. 已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 17. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $