解答题专项突破之一次函数2025-2026学年青岛版数学八年级下册（九大板块）

解答题专项突破之一次函数2025-2026学年青岛版 八年级下册（九大板块） 板块一：求一次函数解析式 1.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 2.已知：y与x+3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣8． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点M（m，4）在这个函数的图象上，求m的值． 3.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 板块二：一次函数与方程、不等式 1．如图，根据图中信息回答下列问题：    (1)关于的不等式的解集是______； (2)关于的不等式的解集是______； (3)当时，的取值范围是______． 2．如图，直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图像，写出关于x的不等式的解集． 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出n的取值范围． 板块三：一次函数面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，将图象向上平移2个单位后与轴交于点，与轴交于点，    (1)求的值； (2)直接写出图象经过点和点的一次函数的解析式为___________； (3)请求出的面积． 2．已知：一次函数图象如图， （1）求一次函数的解析式； （2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标． 3.如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝5，OC＝4，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F． （1）求点D的坐标及直线CD的解析式； （2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标． 板块四：一次函数应用题之行程问题 1.快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所用的时间x(h)的关系如图所示． (1)甲乙两地之间的距离为_______，快车的速度为______，慢车的速度为______； (2)出发_______h，快慢两车距各自出发地的路程相等； (3)快慢两车出发_______h相距． 2．甲、乙两车分别从BA两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，设甲、乙两车离A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． (1)乙车从A地到达B地的速度是__________千米/时； (2)乙车到达B地时甲车距A地的路程是__________千米； (3)m=_________；n=_________． 3.甲、乙两位同学从A地出发，在同一条路上骑自行车到B地，他们离出发地的距离S（千米）与甲行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： (1)A地到B地的距离多少千米？甲中途停留了多长时间？ (2)求乙骑行的速度多少？ (3)求甲在停留时离A地的距离是多少千米？ (4)求甲在停留后，他离出发地的距离S和t之间的函数关系式； (5)求乙到达B地时，甲离B地的距离是多少？ 板块五：一次函数应用题之最大利润问题 1.某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 2.某工厂计划生产两种产品共10件，其生产成本和销售价如下表所示： 产品 种产品 种产品 成本（万元/件） 3 5 售价（万元/件） 4 7 （1）若工厂计划获利14万元，则应分别生产两种产品多少件？ （2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利不少于14万元，则工厂有哪些生产方案？ （3）在第（2）的条件下，哪种方案获利最大；最大利润是多少？ 3.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 板块六：一次函数应用题之分配方案问题 1.某电信公司手机通讯有两种收费方式：（A）计时制：0.5元/min；（B）包月制：月租12元，另外通话费按0.2元/min． （1）写出两种方式每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）某手机用户平均每个月通话时间为60min，他采用哪种方式较合算？为什么？ （3）如果该用户本月预缴了100元的话费，按包月制算，该用户本月可通话多长时间？ 2.有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨． （1）每辆大货车和小货车一次各可以运货多少吨？ （2）某物流公司计划租用大小两种货车共辆一次性运送货物吨，若每辆大货车运输一次的租金为元，每辆小货车运输一次的租金为元，公司计划用于租车的费用不超过元，共有几种租车方案？最少需要多少钱的租车费用． 3.“文化衫”，无形之间会凝聚一个团队的力量，更好的体现活动的愿望和个性．为使活动更具意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元． (1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价； (2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 板块七：一次函数三角形存在性问题 1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 2.如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 板块八：一次函数四边形形存在性问题 1．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的坐标为． （1）直接写出和的值：______，______． （2）在轴上有一动点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． ①若，求的值； ②是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点． （1）求点D的坐标和的值； （2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标； （3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．          图1           图2     图3 板块九：一次函数线段最值问题 1.如图，在平面直角坐标系内，直线l1：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，直线l2：y＝﹣3x与直线l1交于点C，P为y轴上一动点． （1）点A坐标 　 　，点B坐标 　 　； （2）求点C的坐标； （3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值． 2.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点． （1）求a，b的值； （2）当线段AB最短时求点B的坐标； （3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值． 【答案】 解答题专项突破之一次函数2025-2026学年青岛版 八年级下册（九大板块） 板块一：求一次函数解析式 1.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 【答案】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过点（﹣3，6）， ∴﹣3k＝6， 解得k＝﹣2， 所以，此函数的关系式是y＝﹣2x； （2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12； （3）把y代入解析式可得：x． 2.已知：y与x+3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣8． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点M（m，4）在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】解：（1）根据题意：设y＝k（x+3）， 把x＝1，y＝﹣8代入得：﹣8＝k（1+3）， 解得：k＝﹣2． 则y与x函数关系式为y＝﹣2（x+3）＝﹣2x﹣6； （2）把点M（m，4）代入y＝﹣2x﹣6得：4＝﹣2m﹣6， 解得m＝﹣5． 3.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 【答案】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则 ， 解得 ． 故该一次函数解析式为：y＝2x+1； （2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得 y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． 即：y的值为﹣5． 板块二：一次函数与方程、不等式 1．如图，根据图中信息回答下列问题：    (1)关于的不等式的解集是______； (2)关于的不等式的解集是______； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的下面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：； 2．如图，直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图像，写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点C的坐标为 (3) 【详解】（1）∵直线经过点，． ∴， 解得， 故直线的解析式为． （2）根据题意，得， 解得， 故点C的坐标为． （3）∵点C的坐标为． ∴不等式的解集是． 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，． ∴， 解得：， ∴一次函数为， （2）将代入，得 即直线过点 把点代入，可得      当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值， ． 板块三：一次函数面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，将图象向上平移2个单位后与轴交于点，与轴交于点，    (1)求的值； (2)直接写出图象经过点和点的一次函数的解析式为___________； (3)请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】（1）解：将代入， 得：， ∴， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：∵直线是由直线向上平移2个单位得到的， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． （3）解：∵、分别是直线与轴、轴的交点， 将代入， 解得； 将代入， 解得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴． 2．已知：一次函数图象如图， （1）求一次函数的解析式； （2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP＝2，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）． 【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣x+1； （2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0）， 设P（t，﹣t+1）， 因为S△OAP＝2， 所以×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5， 所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）． 3.如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝5，OC＝4，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F． （1）求点D的坐标及直线CD的解析式； （2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标． 【答案】解：（1）∵四边形OABC为矩形， ∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝3， ∴C（0，4）， ∵折叠长方形，点B恰好落在OA边上的点E处， ∴DB＝DE，CE＝CB＝5， 在Rt△OCE中，OE＝＝＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝2， 设D（5，t），则AD＝t，DB＝4﹣t， ∴DE＝4﹣t， 在Rt△ADE中，22+t2＝（4﹣t）2， 解得t＝， ∴D（5，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 把C（0，4），D（5，）分别代入得， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4； （2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝8， ∴F（0，8）， ∴S△COF＝×4×8＝16， 设点P的坐标为（m，﹣m+4）（0＜m＜8）， ∵OP将△COF的面积分为1：2两部分， ∴S△OPF＝S△OCF＝或S△OPF＝S△OCF＝， 当S△OPF＝， 即×8×（﹣m+4）＝， 解得m＝， 此时P点坐标为（，）； 当S△OPF＝时， 即×8×（﹣m+4）＝， 解得m＝， 此时P点坐标为（，）； 综上所述，P点坐标为（，）或（，）． 板块四：一次函数应用题之行程问题 1.快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所用的时间x(h)的关系如图所示． (1)甲乙两地之间的距离为_______，快车的速度为______，慢车的速度为______； (2)出发_______h，快慢两车距各自出发地的路程相等； (3)快慢两车出发_______h相距． 【答案】(1)420，140，70(2)(3)或或 （1） 解：由图象可得， 甲乙两地之间的路程为420km； 快车的速度为420÷（4-1）=140（km/h）； 慢车的速度为420÷[4+（4-1）-1]=70（km/h）， 故答案为：420，140，70； （2） 解：由图象和（1）可得，A点坐标为（3，420），B点坐标为（4，420）， 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发xh，两车距各自出发地的路程相等， 70x=2×420-140（x-1）， 解得x=， 答：出发h后，快慢两车距各自出发地的路程相等； 故答案为：； （3） 解：由题意可得， 第一种情形：没有相遇前，相距150km， 则140x+70x+150=420， 解得x=， 第二种情形：相遇后而快车没到乙地前，相距150km， 140x+70x-420=150， 解得x=， 第三种情形：快车从乙往甲返回，相距150km， 70x-140（x-4）=150， 解得x=， 由上可得，出发h或h或h快慢两车相距150km． 故答案为：或或． 2．甲、乙两车分别从BA两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，设甲、乙两车离A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． (1)乙车从A地到达B地的速度是__________千米/时； (2)乙车到达B地时甲车距A地的路程是__________千米； (3)m=_________；n=_________． 【答案】(1)120 (2)100 (3)； （1） 解：由图象可得， 乙车从A地到B地的速度为：180÷1.5=120（千米/时）， 故答案为：120； （2） 解：由图象可得， m=300÷120=2.5， 甲车的速度为：（300-180）÷1.5=80（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是300-80×2.5=300-200=100（千米）， 故答案为：100； （3） 解：由题意可得，m=300÷（180÷1.5）=2.5； n=300÷（120÷1.5）=， 故答案为：2.5；． 3.甲、乙两位同学从A地出发，在同一条路上骑自行车到B地，他们离出发地的距离S（千米）与甲行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： (1)A地到B地的距离多少千米？甲中途停留了多长时间？ (2)求乙骑行的速度多少？ (3)求甲在停留时离A地的距离是多少千米？ (4)求甲在停留后，他离出发地的距离S和t之间的函数关系式； (5)求乙到达B地时，甲离B地的距离是多少？ 【答案】(1)18千米，0.5小时 (2)千米/小时 (3)6千米 (4) (5)千米 （1） A地到B地的路程18千米，甲中途停留了0.5小时． （2） 乙骑行的速度是：（千米/小时）． （3） 乙0.5小时骑行的路程为：（千米）， 即甲在停留时离A地的距离是6千米． （4） 设甲在停留后，他离出发地的距离S和t之间的函数关系为： 把（1，6），（2.5，18）代入得， 解得， ∴甲在停留后，他离出发地的距离S和t之间的函数关系式 （5） 当t=2时，甲离A地的距离是：8×2-2=14 （千米） 所以乙到达B地时，甲离B地的距离是18-14=4 （千米）． 板块五：一次函数应用题之最大利润问题 1.某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）y＝﹣50x+15000；（2）该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大 【详解】解：（1）据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000； （2）据题意得，100﹣x≤3x， 解得x≥25， 由（1）可知y＝﹣50x+15000， ∵k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y有最大值， 100﹣25＝75（台）， ∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大． 2.某工厂计划生产两种产品共10件，其生产成本和销售价如下表所示： 产品 种产品 种产品 成本（万元/件） 3 5 售价（万元/件） 4 7 （1）若工厂计划获利14万元，则应分别生产两种产品多少件？ （2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利不少于14万元，则工厂有哪些生产方案？ （3）在第（2）的条件下，哪种方案获利最大；最大利润是多少？ 【答案】（1）生产种产品6件，生产种产品4件； （2）工厂共有4种生产方案:方案一：种产品生产3件，种产品生产7件；方案二：种产品生产4件，种产品生产6件；方案三：种产品生产5件，种产品生产5件；方案四：种产品生产6件，种产品生产4件；（3）方案一获利最大为17万元. 【详解】（1）设生产种件，生产种件 ∵种产品成本3万元/件，售价4万元/件， ∴种产品获利1万元/件，同理可得种产品获利2万元/件 解得 ∴生产种产品6件，生产种产品4件. （2）设种产品件，种产品件. ∴，∴工厂共有4种生产方案: 方案一：种产品生产3件，种产品生产7件； 方案二：种产品生产4件，种产品生产6件； 方案三：种产品生产5件，种产品生产5件； 方案四：种产品生产6件，种产品生产4件； （3）设所获利润为y,由（1）得，因为，所以y随x的增大而减小， 故方案一获利最大，最大利润为（万元） 3.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元 (2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ， 解得：， ∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； （2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案， 设总费用为w元， ∴， ∵-1＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475， 此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 板块六：一次函数应用题之分配方案问题 1.某电信公司手机通讯有两种收费方式：（A）计时制：0.5元/min；（B）包月制：月租12元，另外通话费按0.2元/min． （1）写出两种方式每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）某手机用户平均每个月通话时间为60min，他采用哪种方式较合算？为什么？ （3）如果该用户本月预缴了100元的话费，按包月制算，该用户本月可通话多长时间？ 【答案】（1）（A）计时制：y=0.5 x，（B）包月制：y=12+0.2 x；（2）当x=60时，（A）计时制：y=0.5×60=30元，（B）他采用包月制方式较合算；（3）用户本月可通话440min． 【详解】解：（1）（A）计时制每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式：y=0.5 x， （B）包月制每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式：y=12+0.2 x； （2）当x=60时，（A）计时制：y=0.5×60=30元， （B）包月制：y=12+0.2 ×60=12+12=24元， ∵24元＜30元， ∴他采用包月制方式较合算； （3）根据题意得：12+0.2 x=100 解得x=440min， 用户本月可通话440min． 2.有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨． （1）每辆大货车和小货车一次各可以运货多少吨？ （2）某物流公司计划租用大小两种货车共辆一次性运送货物吨，若每辆大货车运输一次的租金为元，每辆小货车运输一次的租金为元，公司计划用于租车的费用不超过元，共有几种租车方案？最少需要多少钱的租车费用． 【答案】（1）大货车4吨，小货车3吨；（2）3种，最少1760元． 【详解】解：（1）设每辆大货车一次运货x吨，每辆小货车一次运货y吨，依题意列方程组， ， 解得：， 答：每辆大货车一次运货4吨，每辆小货车一次运货3吨； （2）设租赁大货车m辆，依题意列不等式组， ， 解得：4≤m≤6， ∵m为整数， ∴m取4,5,6， ∴共有3种方案， 租车费用为：w=200m+160（10-m）=40m+1600， ∴w =40m+1600， ∵40>0， ∴m越小，租车费用越少． ∴当m=4时费用最少，最少费用为160+1600=1760（元）， 即共有3种不同的租车方案，最少的租车费用为1760元． 3.“文化衫”，无形之间会凝聚一个团队的力量，更好的体现活动的愿望和个性．为使活动更具意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元． (1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价； (2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元 (2)购买甲品牌文化衫750件，乙品牌文化衫250件时，最省钱，理由见解析 （1） 解：设甲种品牌文化衫的单价为元，乙种品牌文化衫的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元． （2） 解：设购买甲品牌文化衫件，则购买乙品牌文化衫件，由题意得： ， 解得：， 设购买两种品牌的“文化衫”一共需要w元，则 ∵，∴w随m的减小而减小，即m越小，w越小 当时，最省钱，此时 答：购买甲品牌文化衫750件，乙品牌文化衫250件时，最省钱． 板块七：一次函数三角形存在性问题 1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点． (1)求函数 y1、y2的解析式． (2)求△ABC的面积． (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)或或或 【详解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y2＝k2x＋b2得， 解得：， 故函数y2的函数关系式y2＝−x＋3； 把A（0，3），B（1，0）代入y1＝k1x＋b1得， 解得：， 故y1的函数关系式为：y1＝−3x＋3． （2）解：， ． （3）解：∵OA＝OC＝3， ∴， ①当时，， ∴P1（−3，0）； ②当时，， ∴P2； ③当时，P在AC的垂直平分线上， ∴P与O重合， ∴P3（0，0）， ④当时，， ∴P4； 综上所述：P点坐标为：或或或． 2.如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵D是AB的中点， ∴D（2，2）， 设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则 ，解得， ∴直线CD的函数表达式为y＝x+1； （2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC＝2＝4＝6， ∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6； （3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）； 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 板块八：一次函数四边形形存在性问题 1．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的坐标为． （1）直接写出和的值：______，______． （2）在轴上有一动点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． ①若，求的值； ②是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，2；（2）①；②存在，． 【详解】解：（1）由题意，将点代入函数得：， 则， 将点代入函数得：，解得， 故答案为：3，2； （2）①由（1）可知，直线的解析式为， 当时，，即， ， ， ，且轴， ， ， 则， 解得； ②由（2）①已求：， 轴，轴， ， 要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则， 则， 解得， 则点的坐标为， 故存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为． 2．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点． （1）求点D的坐标和的值； （2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标； （3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．          图1           图2     图3 【答案】（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（，−）或（−，）；（3）点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）． 【详解】解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，2）， ∴点D的坐标为（2，−2）， ∴S▱ABCD＝6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2＝14， ∵点G是对角线AC的中点， ∴S四边形BEFC＝S▱ABCD＝7； （2）∵点G是对角线AC的中点， ∴G（1，1）， 设直线GH的解析式为y＝kx＋b， 则， 解得， ∴直线GH的解析式为y＝−x＋； ①点P在AC右边， S△ACH＝×6×2＝6， ∵S△PAC＝S四边形BEFC， 1＋4×＝， 当x＝时，y＝−×＋＝−， ∴P（，−）； ②点P在AC左边， 由中点坐标公式可得P（−，）； 综上所述，点P的坐标为（，−）或（−，）； （3）如图， 设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则， 解得， 则直线GK的解析式为y＝−x＋， CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）； CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝x＋， 直线CP的解析式为y＝−2x＋8， 故点P的坐标为（，−）； AP⊥AC时， 同理可得点P的坐标为（−，）； 综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）． 板块九：一次函数线段最值问题 1.如图，在平面直角坐标系内，直线l1：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，直线l2：y＝﹣3x与直线l1交于点C，P为y轴上一动点． （1）点A坐标 　 　，点B坐标 　 　； （2）求点C的坐标； （3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值． 【答案】（1） （﹣4，0），（0，4）； （2） （﹣1，3） （3）点P的坐标为（0，） 【解答】解：（1）在y＝x+4中，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， 故答案为：（﹣4，0），（0，4）； （2）联立直线l1，l2的表达式，得，解得． 所以点C的坐标为（﹣1，3）； （3）作点A（﹣4，0）关于y轴的对称点A′（4，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+PA最小，如图： 设直线A′C的表达式为y＝kx+b（k≠0）把A′（4，0），C（﹣1，3）代入得， ，解得， 所以直线A′C的表达式为y＝﹣x+． 当x＝0时，所以点P的坐标为（0，）， 此时PA+PC＝A′C． 过点C作CH⊥x轴于点H． ∵点C的坐标为（﹣1，3），A′（4，0）， ∴CH＝3，HA′＝5， 所以A′C＝＝＝． 所以当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，），这个最小值为． 2.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点． （1）求a，b的值； （2）当线段AB最短时求点B的坐标； （3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值． 【答案】解：（1）把点P（3，b）代入直线y＝x+1， 解得：b＝4， 把P（3，4）代入y＝﹣2x+a， 解得：a＝10， ∴a＝10，b＝4； （2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短， 把直线y＝x+1与y轴的交点（0，1）标记为E， 由（1）可得A（0，10），且∠AEB＝45°，△AEB是等腰直角三角形， ∴AE＝9，AB＝BE＝， ∴B的横坐标为，纵坐标为， ∴B（，）； （3）在x轴上取点C，由三角形的三边关系得，AP＞AC﹣PC， 当A、P、C三点共线时，AC﹣PC＝AP，即AC﹣PC最大，即为AP， 所以点C在y＝﹣2x+10上， 把y＝0代入y＝﹣2x+10中， 得0＝﹣2x+10， 得x＝5， ∴C（5，0）， ∵P（3，4）， ∴AP＝． 学科网（北京）股份有限公司 $