专题01 一次函数的图像与性质十五大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题01 一次函数的图像与性质 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 正比例函数的图象 1 题型二 正比例函数的性质 2 题型三 判断一次函数的图象 3 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 4 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 5 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 6 题型七 画一次函数图象 6 题型八 一次函数图象平移问题 7 题型九 一次函数图象与对称问题 8 题型十 一次函数图象与旋转问题 9 题型十一 判断一次函数的增减性 10 题型十二 根据一次函数增减性求参数 11 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 11 题型十四 比较一次函数值的大小 12 题型十五 一次函数的规律探究问题 12 B综合攻坚 能力跃升 14 题型一 正比例函数的图象 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型二 正比例函数的性质 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，． (1)在同一平面直角坐标系中画出上述两个正比例函数的图象，并用量角器度量一下这两条直线的夹角，可以发现这两条直线的位置关系是________________． (2)根据（1）中两函数的图象及其位置关系，猜想直线与直线的位置关系是________________． (3)若直线（a为常数）与直线互相垂直，求a的值． 题型三 判断一次函数的图象 5．（2026八年级下·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京延庆·期末）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 12．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 题型七 画一次函数图象 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 14．（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 题型八 一次函数图象平移问题 15．关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标是 C．点和点都在该函数图象上，则 D．图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 16．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 题型九 一次函数图象与对称问题 17．（24-25八年级下·北京·期中）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 题型十 一次函数图象与旋转问题 19．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 20．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型十一 判断一次函数的增减性 21．已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 22．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（    ） A．此函数的表达式为 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 题型十二 根据一次函数增减性求参数 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 25．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 26．（24-25八年级下·北京平谷·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 题型十四 比较一次函数值的大小 27．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 28．（25-26八年级上·山东青岛·周测）对于一次函数，下列说法正确的有______（填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 题型十五 一次函数的规律探究问题 29．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·江西抚州·月考）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 11．（25-26八年级上·山东青岛·周测）一次函数的图象经过，两点． (1)求函数表达式； (2)求此图象与坐标轴围成的三角形面积． 12．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若方程组的解满足 (1)求关于x的函数的解析式； (2)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长度． 13．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 14．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 15．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    (1)试判断的形状，并说明理由． (2)将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数的图像与性质 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 正比例函数的图象 1 题型二 正比例函数的性质 3 题型三 判断一次函数的图象 5 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 7 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 8 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 10 题型七 画一次函数图象 11 题型八 一次函数图象平移问题 15 题型九 一次函数图象与对称问题 17 题型十 一次函数图象与旋转问题 20 题型十一 判断一次函数的增减性 23 题型十二 根据一次函数增减性求参数 25 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 26 题型十四 比较一次函数值的大小 28 题型十五 一次函数的规律探究问题 29 B综合攻坚 能力跃升 34 题型一 正比例函数的图象 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【思路引导】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【规范解答】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 题型二 正比例函数的性质 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【思路引导】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，． (1)在同一平面直角坐标系中画出上述两个正比例函数的图象，并用量角器度量一下这两条直线的夹角，可以发现这两条直线的位置关系是________________． (2)根据（1）中两函数的图象及其位置关系，猜想直线与直线的位置关系是________________． (3)若直线（a为常数）与直线互相垂直，求a的值． 【答案】(1)见解析   垂直 (2)垂直 (3) 【思路引导】本题考查了正比例函数图像和两条直线垂直的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据题干给出的解析式直接画图即可； （2）观察题干给的两个函数解析式与本小题给出的解析式有什么联系与区别即可得出位置关系； （3）根据前两问得到的规律进行计算即可．   【规范解答】（1）解：正比例函数，的图象如图所示． 垂直 （2）解：垂直 观察（1）中两函数k值的乘积为： 对于直线和的k值乘积为：； ∴猜想为垂直关系． （3）解：∵直线（a为常数）与直线互相垂直， ∴， ∴． 题型三 判断一次函数的图象 5．（2026八年级下·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【规范解答】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 6．（23-24八年级下·北京延庆·期末）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 【答案】①④/④① 【思路引导】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【规范解答】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【规范解答】解：由函数图象可知， ∵随的增大而减小， ∴， ∴ ∵直线与轴交于负半轴， ∴， 则函数的图象，随的增大而减小，直线与轴交于正半轴， 故选：A． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【思路引导】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【答案】D 【思路引导】根据一次函数的截距、交点、图象性质，逐一判断选项即可． 【规范解答】解：对选项A：∵ ， 令，得， ∴ 该函数在轴上的截距为，A错误，该选项不符合题意； 对选项B：∵ 一次函数与轴相交时，令得， ∴ 交点坐标为，B错误，该选项不符合题意； 对选项C：∵ ，当时，，此时函数图象经过第一、三象限， ∴ 该函数图象不一定经过第二、四象限，C错误，该选项不符合题意； 对选项D：∵ 一次函数的图象是直线， 又∵ 自变量的取值范围是， ∴ 图象是一条线段，D正确，该选项符合题意． 12．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【答案】， 【思路引导】根据两直线平行可求的值，再根据截距可知的值，进而可求得一次函数的解析式，代入可求交点坐标． 【规范解答】解：直线与直线平行， ， 则直线即为． 在轴上的截距是， ． 直线的解析式为． 当时，，解得 所以直线与轴的交点坐标为． 题型七 画一次函数图象 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令求出，即可得到点C的坐标； （3）根据点A，B的坐标画出函数图象，然后根据三角形面积公式进行计算． 【规范解答】（1）解：设表示这条直线的二元一次方程为， 把，代入得：， 解得， ∴表示这条直线的二元一次方程为； （2）令，得， 解得， ∴； （3）直线如图所示： 连接， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 题型八 一次函数图象平移问题 15．关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标是 C．点和点都在该函数图象上，则 D．图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，比较一次函数值的大小，求一次函数与y轴的交点坐标，一次项系数和常数项都大于0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，据此可判断A；求出自变量的值为0时的函数值即可判断B；根据一次项系数大于0得到y随x增大而增大，据此可判断C；根据“上加下减”的平移规律可判断D． 【规范解答】解：A、∵一次函数解析式为，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A说法错误，不符合题意； B、在中，当时，，则图象与轴的交点坐标是，故B说法错误，不符合题意； C、∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵点和点都在该函数图象上，且， ∴，故C说法正确，符合题意； D、图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 16．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【规范解答】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 题型九 一次函数图象与对称问题 17．（24-25八年级下·北京·期中）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误． 结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误． 结论③：代入和求解即可判断③错误． 结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可． 【规范解答】①当时， 当时，得 解得得或，结论错误； ②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误； ③将和代入， 得，， ∴，结论错误； ④若对于，，都有， 则， ， 整理得：， ，， ，， ， ，即， 满足条件的最大整数值为0．故④错误． 综上，正确结论的个数是0． 故选A． 【考点剖析】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【思路引导】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【规范解答】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【考点剖析】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 题型十 一次函数图象与旋转问题 19．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 20．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【规范解答】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 题型十一 判断一次函数的增减性 21．（25-26八年级下·全国·月考）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，见解析 (3)减小 【思路引导】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点.． （1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与轴、轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：（1）由是关于的一次函数， 得 解得． （2）解：由（1），得函数的解析式为， ∴当时，；当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，函数图象如图所示． （3）解：， 的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小． 22．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（    ） A．此函数的表达式为 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，先求出一次函数的解析式，再结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【规范解答】解：设该一次函数的解析式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为，故A正确； 由图象可得，当时，，当时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误； 将此直线向下平移2个单位所得到的直线为，经过原点，故D正确； 故选：C． 题型十二 根据一次函数增减性求参数 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数图象经过第二象限且，可得；代入点坐标求得b与k的关系式，进而得到k的取值范围；代入W的表达式，利用一次函数的单调性求W的范围 ． 【规范解答】解：因为一次函数（）的图象经过第二象限， 所以， 又因为图象过点，代入得：，即， 由，得，解得， 结合，得， 所以， 由于，所以 ； 故答案为：． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 25．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题； （2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出与关系后，代入不等式，得到m的取值范围； （3）利用一次函数的增减性可知，当时，y取最小值，代入解析式求出m即可． 【规范解答】（1）解：设， 将，代入解析式，得： ， 解得，， ∴，即； （2）解：将，代入解析式，得： ， ∵， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最小值5， ∴，解得，． 26．（24-25八年级下·北京平谷·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 【答案】①④ 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④ 题型十四 比较一次函数值的大小 27．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解． 【规范解答】解：∵为常数， 故 ∴； ∴随的增大而增大， 故函数图象上的两点，，当时，． 故答案为：>． 28．（25-26八年级上·山东青岛·周测）对于一次函数，下列说法正确的有______（填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 【答案】①②③⑥ 【思路引导】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【规范解答】解：①．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确； ②．∵时，， ∴函数图像必经过点，故②正确； ③．∵与的一次项系数k均为， ∴的图像与直线平行，故③正确； ④联立 解得： ∴图像与直线的交点为，在轴上，不在x轴上，故④不正确 ⑤．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故⑤不正确． ⑥由直线向右平移3个单位长度得到，故⑥正确； ⑦一次函数，当时，；当时， 图像与坐标轴的交点坐标为和 ∴图像与两坐标轴形成的三角形面积为，故⑦不正确 故答案为：①②③⑥． 题型十五 一次函数的规律探究问题 29．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【规范解答】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【规范解答】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．本题利用一次函数的性质解题，先根据一次项系数k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到，的大小关系． 【规范解答】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【思路引导】根据正比例函数的性质，结合系数的符号判断各选项正误即可． 【规范解答】解：∵函数是正比例函数，系数， ∴该函数的图象经过第二，第四象限，且随的增大而减小，因此A，D说法正确，B说法错误； 当时，， ∴函数图象经过原点，原点在该函数图象上，C说法正确； 综上，说法错误的是B． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出直线与y轴的交点坐标为，然后观察图象，即可判定②结论正确；由图象可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误． 【规范解答】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴，， ∴，故①结论错误； ∵当时， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∴观察图象得，当时，，故②结论正确； ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，故③结论错误； 将，，代入直线解析式，得 ， ∴， ∴，故④结论错误． ∴正确的结论有②，共1个． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江西抚州·月考）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，根据，，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：对于一次函数，， ∴随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数的图象平行 ∵ ∴ 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数的性质，函数值随自变量增大而减小，得，图像不经过第一象限，得，据此求解即可． 本题考查了一次函数的性质． 【规范解答】解：∵函数y随x增大而减小， ∴， 解得； ∵图像不经过第一象限， ∴， 解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【思路引导】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【规范解答】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【规范解答】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【思路引导】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【规范解答】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到、是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出、，再利用一次函数的增减性求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限， ∴、， ∵点与在一次函数的图像上，， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【规范解答】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 11．（25-26八年级上·山东青岛·周测）一次函数的图象经过，两点． (1)求函数表达式； (2)求此图象与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查一次函数，涉及待定系数法，三角形面积等知识，本题属于中等题型． （1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求得一次函数的图象与坐标轴的交点，根据三角形的面积即可求出答案． 【规范解答】（1） 解：设一次函数的解析式为：， 将，代入， ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：令，可得， 解得， 则直线与轴的交点为， 令，可得， 则直线与轴的交点为， 所以此图象与坐标轴围成的三角形面积为． 12．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若方程组的解满足 (1)求关于x的函数的解析式； (2)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长度． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，求的值是解题的关键，如果分别求、、的值就显得麻烦，注意解题的简便思路． （1）让方程组中的三个方程相加得，再由，可得的值，从而求出解析式； （2）根据（1）中求出的函数解析式得到、两点的坐标，再利用勾股定理求出的长度． 【规范解答】（1）解：将方程组中的三个方程相加得：， ， ， ， 把代入得：； （2）解：， 时，则，时，则， ，， ． 13．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． （1）分别令和，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点，即， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：， （2）解：由（1）得，，， ， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ． 14．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)点D的坐标为或． 【思路引导】本题考查一次函数综合题、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． （1）利用待定系数法求出点、坐标即可解决问题； （2）设，则，即 ，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）如图，当点在轴的负半轴上时，根据条件只要证明，即可解决问题；再根据对称性确定坐标； 【规范解答】（1）解：当时，；当时，； 则，； （2）解：设， 则． 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， 可得， ， ， 则； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，， ∴点D的坐标为或． 15．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    (1)试判断的形状，并说明理由． (2)将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的形状是等腰直角三角形，见解析 (2)存在，点P的坐标为或或或 【思路引导】（1）由题意求得，把代入求出直线解析式为，从而求出，根据勾股定理求出，得到和，即可得出结论； （2）存在，把代入．求出k，设直线l的解析式为．以点E为直角顶点：①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，根据题意，点符合要求；②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴．证．得到，求出即可；以点D为直角顶点：①当点在第一象限，②当点在第四象限，同理证明全等，得到；综合以上结论即可得出答案． 【规范解答】（1）解：的形状是等腰直角三角形． 理由：过点， ， ， 当时，， ． 把代入，得， ∴直线解析式为， 当时，， ． 又， ，，， ，， 是等腰直角三角形． （2）解：存在，点P的坐标为或或或． 理由：把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为． 由平移得新直线l的解析式为， 则它与x轴的交点，与y轴的交点， ． 当以点E为直角顶点时， ①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，如图，    根据题意，得点符合要求； ②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴于点Q，   为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ∴点P的坐标为． 当以点D为直角顶点时， ①当点在第一象限，    同理可证， ，， ， ， ， ， ∴点P的坐标为； ②当点在第四象限，    同理可证，则，， ∴点P的坐标为． 综上，满足条件的，点P的坐标为或或或． 【考点剖析】本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，图形的平移的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．分类讨论思想的运用． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $