精品解析：浙江杭州市公益中学2025-2026学年八年级下学期期中阶段性质量攀沿数学试题

杭州市公益中学2025学年第二学期期中阶段性质量检测 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 5. 在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 随着新能源电动汽车的快速增加，杭州市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，全市约有4.5万个公共充电桩，根据规划到2026年底，全市的公共充电桩数量将会达到5.445万个，则从2024年底到2026年底，全市公共充电桩数量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 8. 如图，在中，对角线与相交于点，，，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为6 9. 关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ） A. 当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B. 当，，时，方程一定没有实数根； C. 当，时，方程一定没有实数根； D. 当，，时，方程一定有实数根． 10. 如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 13. 如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 14. 如图，点O为的对称中心，点F为边上一点，连接，，，，若的面积为16，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程是三倍根方程； ②若是三倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是三倍根方程． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）． （1）在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中画，使面积为5； （3）在图3中画，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长． 20. 如图，在□ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形. （2）若AC平分∠BAE，AB=6，AE=8，求BF的长. 21. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________； （2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值； （3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 22. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 23. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 24. 如图1，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，若，，，求四边形面积和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市公益中学2025学年第二学期期中阶段性质量检测 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算． 根据二次根式运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不能合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程．根据定义即可求解． 【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，分母中含有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、，是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 5. 在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 6. 随着新能源电动汽车的快速增加，杭州市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，全市约有4.5万个公共充电桩，根据规划到2026年底，全市的公共充电桩数量将会达到5.445万个，则从2024年底到2026年底，全市公共充电桩数量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的数量关系列出一元二次方程，舍去不符合题意的解即可． 【详解】解：设全市公共充电桩数量的年平均增长率为， 由题意可得，， 解得，， 增长率不能为负，舍去， 因此年平均增长率为， 故选：． 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 【答案】C 【解析】 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 8. 如图，在中，对角线与相交于点，，，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，勾股定理，进行求解后，判断即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，的面积为， ∴， ∴； 综上：选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 9. 关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ） A. 当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B. 当，，时，方程一定没有实数根； C. 当，时，方程一定没有实数根； D. 当，，时，方程一定有实数根． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意； B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意； 故选D． 10. 如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， 故， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， 故， ∵，，， ∴， ∴，， 故， 当的值最小时，的值最小； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， ， 在中，， 故， 整理得：， 当时，的值最小为， 此时的最小值为， 故， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 12. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反证法的定义，反证法需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原结论的否定形式即可． 【详解】解：原命题的结论为，的否定为，因此用反证法证明该命题时，应假设． 13. 如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再利用多边形内角和定理计算内角和即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都等于， ∴多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为． 14. 如图，点O为的对称中心，点F为边上一点，连接，，，，若的面积为16，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．根据平行四边形的对角线互相平分可得，由等底等高的两个三角形面积相等可得的面积与的面积相等，由的面积为16，可得的面积为8，所以的面积与的面积均为4，根据与的面积的比等于它们的底边的比可得的面积为1，再把的面积与的面积相加即可． 【详解】解：的面积为16，， ， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程是三倍根方程； ②若是三倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是三倍根方程． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“三倍根方程”； ②根据“三倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当p，q满足，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为“三倍根方程”． 【详解】解：①， 将方程左边因式分解得，， 解得，， ， 方程是三倍根方程， 说法①正确； ②， ， 是三倍根方程, 情况1，，即，， 情况2，，即，， 综合两种情况可得，，即， 说法②正确； ③， ， ，， ， ， 方程是三倍根方程, 说法③正确； 故答案为：①②③ ． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将非最简二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，合并同类项即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 原方程无实数根 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法计算即可； （2）判断判别式为负数，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴原方程无实数根． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）． （1）在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中画，使面积为5； （3）在图3中画，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长． 【答案】（1） 如图1中，四边形即为所求作． （2） 如图2中，四边形即为所求作． （3） 如图3中，四边形即为所求作，． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）． （2）画边长为的正方形即可． （3）根据要求作出图形，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度即可．． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 另一条对角线的长度为：． 20. 如图，在□ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形. （2）若AC平分∠BAE，AB=6，AE=8，求BF的长. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ACB=∠CAD,∠AEF=∠EFC, 又∵O是AC的中点, ∴AO=CO, ∴△COF≌△AOE, ∴CF=AE, 又∵CF∥AE, ∴四边形AFCE是平行四边形. （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质和OA=OC易证△COF≌△AOE,从而可得CF=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明. （2）由AC平分∠BAE，可得BC=AB，结合（1）结论即可求出BF. 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠ACB=∠CAD 又∵AC平分∠BAE ∴∠BAC=∠CAD ∴∠ACB=∠BAC ∴BC=AB=6 又∵四边形AFCE是平行四边形,且AE=8 ∴FC=AE=8 ∴BF=CF-BC=8-6=2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定．由通过角平分线和平行线证明等腰三角形是解题关键． 21. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________； （2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值； （3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 22. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解； （2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 解得：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 23. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 【答案】（1） 且 （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【小问1详解】 解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； 【小问2详解】 解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 24. 如图1，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，若，，，求四边形面积和的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别是，的中点， ∴，； ∵，分别是，的中点， ∴，； ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）面积54，长10 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质分别得到，，，，从而判定，，即可证明平行四边形； （2）首先证明是菱形，可求出，和以及，再利用菱形面积公式计算，最后利用三角形中位线定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴是菱形， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理，菱形的判定和性质，解题的关键是利用中位线定理得到线段的二倍关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $