精品解析：吉林长春市第八中学2025-2026学年度下学期月考高二年级数学试卷

长春八中2025-2026学年度下学期月考考试 高二年级（数学）试卷 出题人：王丽锋 审题人：阚秀敏、杨帆、王丽梅 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分共40分） 1. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（ ） A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【详解】第一步，为大客车选司机．从甲、乙两位司机中选1人，有2种选法． 第二步，为小客车选司机．从剩下的四位司机中选1人，有4种选法． 由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有种， 3. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 4. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【详解】. 故选：C 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中的常数项为． 6. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 7. 已知，记，，则分别为（ ） A. 1，729 B. 1，1 C. ，729 D. ，1 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得，得到， 令，可得，则. 8. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 二、多选题（每题6分共18分） 9. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由有，结合图象逐项去分析即可判断. 【详解】由，得， 若过的曲线为的图象， 则当时，，函数在上单调递减，矛盾， 故的图象过点，的图象过点， 即的图象关系如下： 对于A，当时，，，则， 所以，即在上单调递增，故A错误； 对于B，当时，，所以，即， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 故当时，函数有极小值，故C正确； 对于D，当时，，所以，即， 所以在上单调递增，又在上单调递减，， 所以当时，函数有极大值，故D错误. 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项通过分步乘法计数原理直接计算总方法数；B选项通过分组分配法计算每项工作至少1人的方法数；C选项针对人员分组的两种形式，结合平均分组的去重规则进行计算；D选项按司机岗位的人数分类，分别计算两类情形的方法数并求和. 【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确. 对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人）， 再将4组分配至4项工作，所以总方法数为， B选项错误. 对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式. 分组的有效分组数为，分组的有效分组数为， 总方法数为， C选项错误. 对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论： 司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为； 司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为. 总方案数为，D选项正确. 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 函数的极大值为____________ 【答案】 【解析】 【详解】由题可知函数定义域为， ， 令，即， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 故为函数极大值点，. 13. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 14. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 【答案】432 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求. 【详解】先排4个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）, 步骤2：将2个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻， 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法， 故不满足条件的情况有，故总数为：. 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解. 【小问1详解】 由题意，，解得. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 16. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 17. 将个标号不同的红球和个标号不同的白球排成一排. （1）求个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为个白球之间红球的个数，求的分布列； （3）求的期望和方差. 【答案】（1） （2）的分布列： （3）期望，方差 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球； （2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率即可； （3）由的分布列，即可求出的期望和方差. 【小问1详解】 根据题意，先从个标号不同的红球中选出个排在两端，方法数为种， 剩下的个球排在中间的个位置，由于这个球各不相同，因此方法数为种， 根据分步乘法计数原理，所有的排法数为种. 【小问2详解】 根据题意，这个球的全排列为种，并且的可能取值为， 当时，即个白球相邻，先对这个白球全排列，再把这个白球看成一个整体，和剩余的个红球全排列， 因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再从个红球中选个红球放在白球中间， 再把这个球看成一个整体，和剩余的个红球全排列，因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再从个红球中选个红球放在白球中间， 且这个红球有顺序，再把这个球看成一个整体，和剩余的个红球全排列， 因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再对中间个红球全排列，因此排法数为种， 则， 因此的分布列为： 【小问3详解】由（2）中的分布列可知，的期望， 的方差为. 18. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． （1）求自动检测判断零件为次品的概率． （2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． （3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 【答案】（1） （2）0.9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得. （2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可； （3）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品， 则． 【小问2详解】 由（1）知，则． 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为 【小问3详解】 设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”， 则，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 ． 19. 已知函数 （1）当时，求函数的极大值； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围； （3）设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值. （2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. 【小问2详解】 ，，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度下学期月考考试 高二年级（数学）试卷 出题人：王丽锋 审题人：阚秀敏、杨帆、王丽梅 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分共40分） 1. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（ ） A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种 3. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 6. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，记，，则分别为（ ） A. 1，729 B. 1，1 C. ，729 D. ，1 8. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分共18分） 9. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题（每题5分共15分） 12. 函数的极大值为____________ 13. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 14. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 16. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 17. 将个标号不同的红球和个标号不同的白球排成一排. （1）求个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为个白球之间红球的个数，求的分布列； （3）求的期望和方差. 18. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． （1）求自动检测判断零件为次品的概率． （2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． （3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 19. 已知函数 （1）当时，求函数的极大值； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围； （3）设，对任意的，且，证明：恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $