江西宜春中学等校2026届高三下学期四月测试数学试题

2026届高三年级四月测试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C因为A={x0≤x<4},B={-3,-2,0,1,4〉，所以A∩B={0,1}.故选C. 2D因为=-2+i,所以=-2-，则平2=二2=-1+2i故选D 3.A由题意得a十b=(1-2,-1+入)，a-b=(3,-2),由(a+b)⊥(a-b),得(a+b)·(a-b)=0,所以3×(1-2λ) 十(-2)×(-1十)=0，解得=8.故选A 4.B将圆C的方程化为标准形式，得(x一1)2+(y一1)2=3，故圆心为C(1,1),半径为r=√3，所以圆心到直线的距离为 d=1+1一生=2，所以AB=2P一F=2.故选B √1+1 5.C因为函数y=logax(0<a<1)在(0，十o∞)上单调递减，y=logx(a>1)在(0，+∞)上单调递增，所以log20.2< 1og1=0=log.21<1og.20.3<loga20.2=1=log,30.3<log.0.2,又f(x)=2-2在R上单调递增，所以f(log0.2) <f(log.20.3)<f(1og.30.2),即a<c<b.故选C 6.D设圆锥的底面半径为r,则其母线长为2r,高为√3r,所以该圆锥的表面积为π十πr×2r=3π，设球O的半径为R, 则球O的表面积为R,由题意知3=4R所以京=后圆能的体积V=寸X,-号，球0的体积- 点出热进 7.A因为f(3.x一2)为奇函数，所以f(-3.x-2)=一f(3x-2),令t=3.x-2,则f(-1-4)=-f(1),即f(-x-4)= -f(x):因为f(4x-1)为偶函数，所以f(-4x-1)=f(4x-1),令s=4x一1，则f(-s-2)=f(s),即f(-x一2)= f(x),所以f(-x-4)=-f(-x-2),所以f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以f(x十4)=f(x),所以4是 f(x)的一个周期.所以f(4)=f(0)=-f(-2)=-f(2)=0,f(1)=-f(-1)=-f(3)=-2,所以f(1)+f(2)+ f3)+④=0，则号f)=506Lf1)+2)+f3)+4]+f2025)+f2026=fID+2)=-2.放选A &B由a2i=ad+d,相兰-会=1，又号=2，所以是}是首项为2，公差为1的等差数列，所以是=2+ ant an a a (m-1)=n十1，又a>0,所以=Vn+1,所以当n≥2时，an=aX二X…XXa1=nX√n-1X…X2X1 an-1 an-2 a =Dm短=原.汉a=1:也将合上式放a=瓜，则众=而高示器 nXn! /(+1)I-√！，所以S.=(√2I-1)+(√3！-√2I)+(√/4I-√3)+…+((+1)I-√I)=√(+1)I-1, 由宁5，得票所以V<5解得3，所以正整数的最大位为22放选B W√(n+1)I 9.BC因为60%×10=6，所以该组数据的60%分位数为将其按从小到大的顺序排列后第6个数和第7个数的平均数， 当m<6时，其606分位数为士7<7，不合题意：当6<m<7时，其60%分位数为"士=7，解得m=7,不合题意：当 m=7时，其60%分位数为7，符合题意：当7<m<8时，其60%分位数为7士”=7，得m=7,不合题意：当m≥8时其 60%分位数为7>7，不合题意，故m=7,A错误：该组数据的极差为10，B正确：该组数据的平均数为(4十4十5十5 十6十7+7+8+10+14)=7，所以剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变，C正确；该组数据的方差为 【高三四月·数学参考答案第1页（共6页）】 JX [4-7)+(4-0+6-7+(6-79+6-7)+(7-7)+(7-7)+(8-7)9+10-7y+14-刀门-=器剔 除该组数据中的m后的方差为日[(4-7)2+(4-7)2+(5-7)2+(5-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)+(10-7)+ (14一7)P]-89,所以别除该组数据中的m后，剩下数据的方差变大，D错误.故选C 10.ABD设P(x,y)为函数f(x)图象上任意一点，则y=cos(2x一)，点P关于原点的对称点Q(一x,一y)在g(x)的图 象上，则-y=sin(-oa-吾)，即y-sin(ar+晋)=os[吾-(ar+若)]-os(-ar+号）=cos(ar-号)，所以 w=2,9=号，所以f(x)+g(x)=cos(2x-苓）+sin(2x-否)=5sin2x,其最大值为5，A正确：在f(x)= 0(2x-吾)巾，令2江-晋=x+受，k∈Z,得x-经+受k∈乙令k=-1,得x=一意，所以八)的图象关于点 (-受0)对称，B正确：将f(x)的图象向左平移号个单位长度可得y=cos[2(x+吾）-子]=cos(2x+) -sim(2x-吾)≠g(),C错误：当xe[0,受]时，2x-吾∈[-吾，]，所以f)=cos(2x-吾)在[0，受]上的 值城为[-，1]，当m∈[-吾，吾]时，2a。-吾∈[-受，受]，所以gx)=sn(2x-吾)在[-吾，吾]上单调递 增，且值域为-1,1，又[-，1]=[-1，，所以Vx[0,受]存在唯一的m∈[-吾，答]，使得f()=g( D正确.故选ABD. 23 62 =1, 11.BCD由题意知双曲线C的一条渐近线方程为y=√3.x,由题意得 解得a2=1,=3,则双曲线C的方程 b=, 为r2-背-1，A错误：设P(),则后-普=1，即3一哈=3，所以点P到C的两渐近线的距离之积为 B.5十3⊥-子，B正确：当≠2时，aPFA=2m☑PAF=所以 2 2 4 tan2∠PAF2= 2 1-( =2=tan∠PFA,又∠PF,A,∠PAF,∈(0，，所以∠PF,A=2∠PAF2,当x= x十1/ 2时，%=3，易知∠PAF=,AF=PF,所以∠PAF=平，所以∠PFA=2∠PAF,C正确：设Q(,y),因为 A(-1,0),F(2,0),则FP=(x-2,%),1FP1=√m-2)+元=V6-4x0+4+3x-3=2x-1,F,A= 3,0,E02m,因为Q为△PA的内心，所以05器+黔共线，且+行 1F2P||F2A1 （品号2产与+《一10=(-云2”)所以经2学=会，m一20=-十1w①同理 A0=(x+1,y)与 n+1 ）+(1,0)= /x+1+√(xn+1)土话 ,所以 (x+1) [+1++D+]y,即(x+1)w= √/(x0+1)2+% √/(+1)2十% √/(+1)2+% √/(x0+1)十喝 [+1++)+%]y②，由①②，得x=+1+2m+土 2m+2+√(m+1)2+元 y2远+2+0可所以2-苦 3地 8+2+1+4[+1)+6]+4(十1D+1D+-36_十1D2++4(m+12+46m+DYm+Y干正-1， (2m+2+√/(+1)2+)2 (2x+2+√(m+1)+3话)2 【高三四月·数学参考答案第2页（共6页）】 JX 所以点Q在C的右支上，根据双曲线的定义知|QF1|一|QF2|=2a=2,D正确.故选BCD. 12.一2由等比数列的性质知a3=a1a3=a,所以a1=1,所以am=q-1,由S=3可知，1十q十d=3,解得q=一2，或q= 1(舍去)，故q=-2. 13.是易知F(受，0），设P(m,yp),Qoo),由△PMF的面积为子，得2(1-令)×p=子，所以p=1,所以，= 豆，所以w= 1-0 21 1 -2,则直线1的方程为y=一2x十2，代人=2x,整理得2x-5x十2=0，解得x=合= 2,即=2o=2,所以1QF1-lPFl=(a+2）-(m+)= 14是-2h3由题意得De=是-3+-子-2-小3z-引+2m+,设)=1n+子则f =兰之-2>0当e(0,号)时，a)<0,当e(合+)时，f)>0,所以)在(o)上单调 递减，在（分，+∞）上单调递增，则fx)m=(合）=2-2h2>0,即fx)>0,所以Da=3x-+2hx+2 令g)=3x-引+hx+ 2h++-是>， 当x>子时，g()=2nx+子+3x-是，则 2h++-a,0K≤ g)=是是+3=-士》3D,令g0,得<r<令g>0,解得x>所以g 在（什，号）上单调递减，在（兮，十∞）上单调递增，所以当>时，g(x)=g(行）=8-2h3.当0<<时， 8)=+}+子-3则g)=2子-3=-3二2士，易知g)<0在(o,士）)上恒成立所以g 在(0，]上单调递减，所以g(0m=g(子)=4-4n2,-2h3-(4-4n2)=4h2-2h3-=2n兰-= 4 h日-he=1n,因为(9)-e<2-e<-27<0.所以（得9）广<e.p9<e,所以<1，所u华 2n3-(4-4n2)<0,所以3-2h3<4-4n2,所以Ds的最小值为3-21n3. 15.解：(1)由6c0sA=c与余弦定理，得b.+2a 2bc …2分 所以b十c2一a2=2c2,所以=a2+2,… 4分 所以0sB=2+。E=0,又B∈(0，， 2ac 故B=受. 6分 (2)由正弦定理及sinA=√3sinC,得a=√3c, 所以anA=名=3，又A∈(0，受)，所以A=号，… …8分 在△ABD中，由正弦定理，得sn乙BAD sin/BDC:即_Y6 AB =C,所以c=2.…10分 sin sin子 3 则a=5c=2√5，… …11分 1 故△ABC的面积为S△Mxc=2ac=2√3. 13分 16.(1)证明：连接BG并延长交AC于E,则E为AC的中点，连接DE,则DE∥CC,且DE=CC1, 又BB∥CC,且BB=CC,所以DE∥BB,且DE=BB1,所以四边形BEDB为平行四边形，…1分 【高三四月·数学参考答案第3页（共6页）】 JX 所以BE∥BD,又BE对平面AB1D,BDC平面ABD,所以BE∥平面AB1D.… …3分 连接CB,CE,易证得AD∥CE, 因为CE过平面ABD,ADC平面AB1D,所以C1E∥平面AB1D: 4分 因为CE∩BE=E,CE,BEC平面BCE,所以平面BCE∥平面AB1D,. 5分 又CGC平面BCE,所以CG∥平面ABD. 6分 (2)解：易证BE,EC,ED互相垂直，以E为原点，以直线EB,EC,ED分别为x轴， D y轴，2轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一1,0)，C(0,1,0),D(0,0,1), B1W3,0,1),所以AB=(5,1,1),DB=(3,0,0),BC=(-5,1,-1).…8分 AB·m=√3.m+y十名=0， 设平面ABD的一个法向量m=(1,y1,之1)，则 令 DB1·m=√3x1=0, =1,得x1=0,y=-1,所以m=(0,-1,1)；…10分 AB1·n=√5x2十为十2=0， 设平面ABC的一个法向量n=(2,2,2),则 令 BC.n=一5m十y-2=0, x=1,得2=一3,2=0，所以n=(1,0,一√3). …12分 =3= 设二面角C-AB,-D的大小为0，则cos0l=osm,m=mm:动方X2=空 …14分 所以sin0= -( =10 故二面角C-AB1-D的正弦值为@ 4 …15分 1.解：P(X=2》=×号=日 1 2分 PX=3)=号×号×号+×号×3=2 …4分 (2)当X=k(2≤k≤2n-1,k∈N")时，第k次投篮未进， 则前面k-1次投篮中有1次未投中，所以P(X=)=C-1×弓×（号）×号-号×（号），…7分 当X=2n(n≥2，n∈N")时， 若前面21一1次投篮都投中，其概率为（号） 若前面21一1次投篮中有1次未投中，其概率为”×（层）》， 放PX=2w=(号)》+2”×（号）=2×（号） …9分 所以X的分布列为 X c2 3 21-1 21 日×（号）” 号×（号} ×(学) 2-2 9 (号) x(号 2n-2 3 10分 (3)由上可知P(X=2)=号 Px≤w=寸×（号）°+号×（号）广++”号×（号），①… 11分 号Px≤)=×（号）}'+号×（号）广++"号x(号)，@ 【高三四月·数学参考答案第4页（共6页）】 JX @-@得，3PX≤W=}[1+(号)广+（号）+…+（号）》门"写×（号）…12分 号”-专xy 1-3 所以PX≤W=1-X(号)，… …14分 3n- 3n-2 &P0N8.3a传w+吸+X157 181)解：记C的半焦距为c,由题意知-√1--写，是 =1, …2分 解得a=2√2，b=√2， 所以C的方程为发+兰=1. …4分 (2)(1)证明：设A(y),B(x1y),D(2y2), 由AP=sPB,得(21-m,0-h)=(0-2t,y-0),则21-xm=s(x1一2t),一%=sy, 即s01=21(s+1)-m,sy=-%, 同理得12=2s(1十1)一x0,2=一%，… …6分 由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为M(x',O), 由BD,M三点共线，得。=”则 x'=4业二y=四：1业二2·sy=[2s+1)-](=)-[2(1十1)-](-） y2一y1 s·ty2一t·Sy1 s(y)-t(一yo) =21-2=-2, 9分 s一t 故直线BD恒过定点（一2,0）.… 10分 (1)解：因为B在椭圆写+号1上，则号+兰1， 所以s+y2=,则2s+D-1+兰=， 8 8 2 又A在椭圆上，则管+兰-1所以2+D。+正=F-1, 又s+1≠0，则(s+1)-t.0=2(s-1),① 同理得s2(t十1)-xx0=2(t-1),②… 12分 由①-②，得s十t+s=n一2， 由①Xs-②Xt,得1十2(t+s)=2, 则t=2x0一6，t十5=4-xm.… 14分 因为”6=“ 呢 =。”2s所以6：=0-20o-29 又号+兰=1.则6=2-。 4 15分 8-x品 8-x6 8-x品 8-x 所以6。=400200。-2546-2+9x+4-4后-24-0)0+42-6)-403-24一2 17分 19.(1)解：设曲线一f0(x>0)的斜率为1的切线的切点为(ax)>0)f()=1一是一c 令8=1--e,则g)=是+e>0, 【高三四月·数学参考答案第5页（共6页）】 JX 所以g(x)在(0，十o∞)上单调递增，即(x)在(0，十∞)上单调递增，… 2分 又f(1)=-1,所以xo=1,则f(xo)=1+1十e°=3，… 3分 故曲线y=f(x)(x>0)的斜率为-1的切线方程为y一3=一(x一1)，即x十y一4=0.…4分 (2)解：由题意知m>(21mx-x一1)e一在(0，十∞)上恒成立， 令)=(2nx-x-子)e(>0),则(x)=(2nx-x-1+2+3e …5分 令m)=2hx一x-1+}+子则m)=是-1--是=-是-（任-1）<0， 所以m(x)在(0，十∞)上单调递减，且m(1)=0,…6分 所以当x∈(0,1)时，m(x)>0,即h'(x)>0,当x∈(1，+o∞)时，m(x)<0,即'(x)<0, 7分 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减，所以h(x)mx=h(1)=一2，…8分 由题意可知m≥一2， 即实数m的取值范围为[一2，十o∞).… …9分 (3)证明：由2)可知，当m≥-2时，(2hx一x-子）e1<-2在0，十c∞)上恒成立，所以当m=-2时，()=r+ }-2e≥2hx在(0，十∞)上恒成立，当且仅当x=1时等号成立， 10分 因为a,b∈(1，+o∞)，所以f(a)>2ha,f(合)>21n2. 所以fa)+f(2)>2na+2n2=2h(a·士)=0，所以fa>-f(日)， 同理6+f(合)>0，则（号）>-6，所以a)+f(名)>-[f(日）+f]: 因为fa)+f(6)=0,所以f(2）+f>0, 12分 由f(x)=1-之+2e,得当≥1时，f(x)>0,所以f(x)在(1，+o∞)上单调递增： 当0<<1时，令om0=1-是+2e-,则w(x)=是-2e-=是1-re) 令v(x)=1-x2e-r(0<x<1),则0'(x)=x2e(x-3)<0, 所以v(x)在(0,1)上单调递减，所以Vx∈(0,1)，v(x)≥u(1)=0,即w'(x)≥0在(0,1)上恒成立，所以w(x)在(0,1)上 单调递增。… …13分 又m(号）=2e-8<2e-8<0w1D=2>0.所以存在m∈（号1），使得w()=0, 当x∈(0，m)时，w(xn)<0,即f(x)<0,当x∈(，1)时，w(x)>0,即f'(x)>0, 所以∫(x)在(0，)上单调递减，在(。，I)上单调递增.… …14分 又f(合）=日+6-2e>6-2e>0,m)<f1)=0,故存在唯-的a∈（日），使得a)=0, 所以当x∈(0，m)U(1,+∞)时，f(x)>0,当x∈(x1,1)时，f(x)<0. …15分 由上可知，f(a)=-(6)<f(b),且a,be(1,+∞)，f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a<b,即号<1， 因为f(6)=-fa)<0,所以a<6<1,又a>1,则号>6 所以<6<号<1，则（号）<0， 16分 又f(2)+f>0,所以（号）<（日）+6. 17分 【高三四月·数学参考答案第6页（共6页）】 JX2026届高三年级四月测试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={xx-2<0},B={-3,-2,0,1,4},则A∩B= A.{-3,-2,0,1} B.{0,1,4》 C.{0,1} D.{1 2.已知复数=-2+i.则千2 A.-2-i B.-2+i C.-1-2i D.-1+2i 3.已知向量a=(1,一1)，b=(-2,1),若(a十b)⊥(a一b),则入= A号 B C. D.-i 4.已知直线x+y一4=0与圆C:x2+y2-2x-2y一1=0相交于A,B两点，则|AB引= A.2√2 B.2 C.√2 D.1 5.已知函数fx)=2-是，若a=f1og0.2),b=f1og0.2,c=f01oga20.3》.则 A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的 体积之比为 A.3⑤ B.2v15 5 15 c子 n号 .已知函数f)的定义域为R./3.一2)为奇函数，f4-1)为偶函数，且-1)=2，则学f)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 【高三四月·数学第1页（共4页）】 JX 8.在正项数列{a,中，41=1，a,=2,u+2ag=41十a1a2,若，=”Xm!,Sn为数列{h,)的前n项 an十a+1 和，者气十<5，则正整数，的最大值为 A.21 B.22 C.23 D.24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组数据4,4,5,5,6，m,7,8,10,14的60%分位数为7，则 A.m=6.5 B.该组数据的极差为10 C.剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变 D.剔除该组数据中的m后，剩余数据的方差变小 10.已知函数f(x)=cos(2.x一9)(1g<吾）与gx)=sin(ax一晋)w>0)的图象关于原点对称，则 A.函数f(x)十g(.x)的最大值为√3 B.函数f(x)的图象关于点（一是0）对称 C.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象 D.Vx[0,受]存在唯一的xw∈[一吾，晋]，使得fx)=gx) 1在平面直角坐标系0中，点户，5分别为双线C片芳=1（口>0，b>0)的左，右焦点，点 A(一1,0)，C经过点(-√2，√3)，其一条渐近线经过点(1√)，第一象限内的点P在C上，则 AC的方程为写-苦-l B点P到C的两渐近线的距离之积为 C.∠PF2A=2∠PAF2 D.若Q为△PAF2的内心，则QF|一QF2为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a,}的前n项和为Sm,公比为q(q0),若a=a3,S3=3,则{am}的公比q= 13.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,过点M(1,0)的直线1与C相交于P,Q两点(P在第一象限)，若 △PMF的面积为子，则|QF-|PF- 14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决.镜 像距离是一种基础且重要的工具.定义两点A(x1,yM),B(x2,y2)的镜像距离为DB=x1一y2|+ |x一.若A(,2nx,B(-之，3x)(x>0),则Ds的最小值为 【高三四月·数学第2页（共4页）】 JX 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=c. (1)求B; (2)若sinA=sinC,点D在边CA的延长线上，∠BDC-开，且BD=6,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1BC中，AB=2,AA1=1,D为棱AC1的中点，G为△ABC的重心. (1)证明：CG∥平面AB1D: (2)求二面角C-AB1-D的正弦值. G 17.(本小题满分15分)》 甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮2n(n≥3，n∈N)次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中， 则换成另一人投篮，否则一直投篮2次.假设甲每次投篮投中的概率为号，且各次投篮结果相互独 立.若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数， (1)求P(X=2),P(X=3): (2)求X的分布列； (3)求P(X=2|X≤n). 【高三四月·数学第3页（共4页）】 JX 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C若+芳=1(a>b>0)的离心率为号，且经过点(0，一2. (1)求C的方程； (2)已知点P(2t,0),Q(2s,0)(t≠s),点A在C上，直线AP与C交于另外一点B,直线AQ与C交于 另外一点D,且AP=sPB,AQ=tQD. (ⅰ)证明：直线BD恒过定点； (i)记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求k1·k2的值 19.(本小题满分17分)》 已知函数f()=x++me。 (1)当m=1时，求曲线y=f(x)(x>0)的斜率为一1的切线方程： (2)若不等式f(x)≥2lnx在(0，十o)上恒成立，求m的取值范围； (3)当m=-2时，若a,b∈(1，+∞)，且f(a)+f(合）=0，证明：f(号)<f(日)+fb). 【高三四月·数学第4页（共4页）】 JX