精品解析：江西宜春中学2026届高三下学期四月测试数学试题

2026届高三年级四月测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4，本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，则． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 由，得， 所以，解得． 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以． 5. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 8. 在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式两边同时除以，再由等差数列的基本量法求出，再由累乘法得到，最后利用裂项相消法可得. 【详解】由，得， 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，又，所以， 所以当时， ， 又，也符合上式，故， 则， 所以， 由，得，所以，解得， 所以正整数n的最大值为22． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，4，5，5，6，m，7，8，10，14的60%分位数为7，则（ ） A. B. 该组数据的极差为10 C. 剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变 D. 剔除该组数据中的m后，剩余数据的方差变小 【答案】BC 【解析】 【分析】分的取值结合百分位数的算法可得A；由极差的定义可得B；由平均数的算法可得C；由方差的算法可得D. 【详解】因为，所以该组数据的60%分位数为将其按从小到大的顺序排列后第6个数和第7个数的平均数， 当时，其60%分位数为，不合题意； 当时，其60%分位数为，解得，不合题意； 当时，其60%分位数为7，符合题意； 当时，其60%分位数为，得，不合题意； 当时，其60%分位数为，不合题意，故，A错误； 该组数据的极差为10，B正确； 该组数据的平均数为， 所以剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变，C正确； 该组数据的方差为， 剔除该组数据中的m后的方差为 ， 所以剔除该组数据中的m后，剩下数据的方差变大，D错误． 10. 已知函数与的图象关于原点对称，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象 D. ，存在唯一的，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】设为函数图象上任意一点，则. 因为点P关于原点的对称点在的图象上，. 即. 所以，， 所以.其最大值为，A正确； 在中，令，，得，， 令，得，所以的图象关于点对称，B正确； 将的图象向左平移个单位长度可得，C错误； 当时，，所以在上的值域为，当时，. 所以函数在单调递增，且值域为，又. 所以，存在唯一的使得，D正确． 11. 在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（ ） A. C的方程为 B. 点P到C的两渐近线的距离之积为 C. D. 若Q为的内心，则定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用渐近线方程和点在双曲线上代入可得A；由点到直线的距离公式可得B；当时，代入带特殊值验证可得；当时由正切二倍角公式可得可判断C；利用向量关系表示内心的性质结合双曲线的定义可得D. 【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线方程为，由题意得，解得，，则双曲线C的方程为，A错误； 设，则，即， 所以点P到C的两渐近线的距离之积为，B正确； 当时，，， 所以， 又，所以， 当时，，易知，，所以，所以，C正确； 设，因为，，则， ，，， 因为Q为的内心，所以与共线，且， 所以，即①， 同理与共线， ， 所以， 即②，由①②，得，， 所以 ， 所以点Q在C的右支上，根据双曲线的定义知，D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则的公比________． 【答案】 【解析】 【详解】等比数列中，，又， 所以，而， 则，， 由，得，而， 所以． 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），若的面积为，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意，，设，，且点在第一象限. 由的面积为，得，所以，所以. 所以，则直线的方程为，代入. 整理得，解得，. 所以，，所以． 14. 如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据镜像距离列出 表达式,构造函数求导判断其最小值恒大于 0,消去绝对值,再以 分段讨论目标函数,分别求导得出两段区间内各自最小值,最后通过对数与指数放缩比较两个最小值大小,从而得到 的最小值. 【详解】由题意得，设，则. 当时，，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 则，即. 所以． 令 当时，， 则， 令，得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 当时，，则. 易知在上恒成立，所以在上单调递减. 所以， . 因为，所以，即. 所以，所以，所以. 所以的最小值为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由与余弦定理，得， 所以，所以， 所以，又， 故． 【小问2详解】 由正弦定理及，得， 所以，又，所以， 在中，由正弦定理，得，即，所以． 则， 故的面积为． 16. 如图，在正三棱柱中，，，D为棱的中点，G为的重心． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接BG并延长交AC于E，则E为AC的中点，连接DE，则，且， 又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形． 所以，又平面，平面，所以平面． 连接，，易证得， 因为平面，平面，所以平面； 因为，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接BG并延长交AC于E，连接DE，利用面面平行的判定定理证明平面平面后可得； （2）利用空间向量法求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易证BE，EC，ED互相垂直，以E为原点，以直线EB，EC，ED分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则， 令，得，，所以． 设平面的一个法向量， 则， 令，得，，所以． 设二面角的大小为， 则． 所以， 故二面角的正弦值为． 【点睛】 17. 甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． （1）求，； （2）求X的分布列； （3）当时，求． 【答案】（1）， （2） X 2 3 4 … 2n P … （3）【解析】 【分析】（1）由概率公式得到和； （2）分析得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）在（2）基础上，由错位相减法和条件概率公式进行求解. 【小问1详解】 ，即甲两次投篮均不中，， ，即甲前两次投篮有1次中，1次不中，第三次投篮不中， 故； 【小问2详解】 的可能取值为， 当时，第k次投篮未进， 则前面次投篮中有1次未投中， 所以； 当时，若前面次投篮都投中，其概率为； 若前面次投篮中有1次未投中， 其概率为， 故， 所以X的分布列为 X 2 3 4 … 2n P … 【小问3详解】 由上可知， ，① ，② 由得， ， 所以， 故当时， . 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求C的方程； （2）已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设，，， 由，得， 则，， 即，， 同理得，， 由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为， 由B，D，M三点共线，得， 则． 故直线恒过定点． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义和点在椭圆上代入计算可得； （2）（i）设，，，利用向量关系得到坐标关系，然后由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为，再利用B，D，M三点共线化简可得； （ii）由点在椭圆上代入方程化简可得①②两方程，再表示出斜率关系化简可得. 【小问1详解】 记C的半焦距为c，由题意知，， 解得，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：因为B在椭圆上，则， 所以，则， 又A在椭圆上，则，所以， 又，则，① 同理得，② 由，得， 由，得， 则，． 因为，，所以， 又，则， 所以 ． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知，当时，在上恒成立， 所以当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立． 因为，所以，， 所以，所以， 同理，则，所以， 因为，所以． 由，得当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以，，即在上恒成立，所以在上又单调递增． 又，，所以存在，使得， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，故存在唯一的，使得， 所以当时，，当时，． 由上可知，，且，在上单调递增，所以，即， 因为，所以，又，则， 所以，则， 由，所以． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求解可得； （2）分离参数后求导判断单调性和最值可得； （3）由（2）的单调性得到和，进而得到，然后构造新函数，利用导数分析单调性得到隐零点后可证明. 【小问1详解】 设曲线的斜率为的切线的切点为，， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以，则， 故曲线的斜率为的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意知在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 由题意可知， 即实数m的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级四月测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4，本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，4，5，5，6，m，7，8，10，14的60%分位数为7，则（ ） A. B. 该组数据的极差为10 C. 剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变 D. 剔除该组数据中的m后，剩余数据的方差变小 10. 已知函数与的图象关于原点对称，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象 D. ，存在唯一的，使得 11. 在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（ ） A. C的方程为 B. 点P到C的两渐近线的距离之积为 C. D. 若Q为的内心，则定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则的公比________． 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），若的面积为，则________． 14. 如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积． 16. 如图，在正三棱柱中，，，D为棱的中点，G为的重心． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． （1）求，； （2）求X的分布列； （3）当时，求． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求C的方程； （2）已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $