精品解析：广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高二第一阶段质量监测数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 3. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 6. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 7. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 11. 已知 则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含项的系数为 C. D. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 13. 将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 14. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知． （1）求各项的系数和； （2）求展开式中的常数项； （3）求二项式系数最大的项． 18. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 19. 已知函数． （1）求曲线垂直于y轴的切线方程； （2）求的极值 （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由导数的定义，， 已知，故. 3. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，切点为，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】依题意，切点为，， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 【答案】A 【解析】 【详解】通项公式，由， 代入得. 6. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 7. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令f（x）＝0得出ax＝lnx，在同一坐标系内画出y＝ax和y＝lnx的图象， 利用图象求出曲线y＝lnx过原点的切线方程，即可求出实数a的取值范围． 【详解】函数f（x）＝ax﹣lnx，其中x＞0； 令f（x）＝0，ax＝lnx； 在同一坐标系内画出y＝ax和y＝lnx的图象，如图所示； 设曲线y＝lnx上点P（x0，y0）， 则y′， ∴过点P的切线方程为y﹣y0（x﹣x0）， 且该直线过原点，∴y0＝1，lnx0＝1， 解得x0＝e， ∴过点P的切线斜率为， ∴所求实数a的取值范围是（0，）． 故选D． 【点睛】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，是中档题． 8. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 【答案】C 【解析】 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可． 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数可判断AB选项，根据零点的定义可直接解函数的零点，再根据奇偶性判断D选项. 【详解】由函数，， 当或时，,当时，. 所以函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增，所以A正确； 所以是的极大值点，且,所以B正确； 令,解得或或,所以函数有三个零点，故C错误； 对任意实数x，满足， 因此函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，D正确. 11. 已知 则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含项的系数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数. 【详解】已知，令， 则，即，选项A正确； 展开式的通项公式为，（其中）， 要求的系数，令，解得， 当时，， 所以展开式中含项的系数为，选项B错误； 令，可得， 即①， 令，可得， 即②． ①＋②得：， 则，选项C正确； 对两边求导， 可得， 令，则， 即，又因为，所以 ，选项D错误. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【解析】 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 13. 将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 【答案】61 【解析】 【分析】先算总的将三个不同的小球放入盒子内，再计算5号盒子内没有球的情况即可求解. 【详解】将三个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，共有种放法， 若5号盒子中没有球，则每个球只能放入1，2，3，4号盒子，共有种放法， 则5号盒子中至少有一个球的放法有种. 14. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）函数的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值. 【小问1详解】 的定义域为，， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 函数的定义域为，. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）减区间，增区间 （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【小问1详解】 ，若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 17. 已知． （1）求各项的系数和； （2）求展开式中的常数项； （3）求二项式系数最大的项． 【答案】（1）4096 （2）960 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法令，可得各项的系数和； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可； （3）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【小问1详解】 令，各项的系数和： 【小问2详解】 设展开式中常数项为第项， 即， 令，得. 【小问3详解】 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， ∴二项式系数最大的项为． 18. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 【答案】（1）60 （2）180 （3）180 （4）210 【解析】 【分析】（1）优先安排甲乙跑中间两棒，再从其余6人中选2人排列在剩下2个位置. （2）使用捆绑法，将甲乙看作是一个元素，与另外选出的2人进行全排列. （3）使用插空法，先从除甲乙外的6人中选出2人进行排列，再将甲乙插入到已经排列好的元素的邻近位置. （4）使用占位法分类讨论，先讨论甲在乙的限制位置，再讨论甲不在乙的限制位置，即可求解. 【小问1详解】 甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. 【小问2详解】 将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. 【小问3详解】 先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. 【小问4详解】 若甲在第四棒， 则从剩下6人选出2人，有种选法， 3人全排列，共有种排法， 此时共有种排法， 若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法， 乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法， 再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有种排法， 此时共有种排法， 综上，共有种排法. 19. 已知函数． （1）求曲线垂直于y轴的切线方程； （2）求的极值 （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围 【答案】（1）； （2）极小值为，无极大值； （3） 【解析】 【分析】（1）设出切点，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）由函数极值的概念进行求解； （3）参变分离进行求解 【小问1详解】 ，设切点为， 则，即，解得， 故，所以曲线垂直于y轴的切线方程为； 【小问2详解】 ，令得， 故当时，，当时，， 故为的极小值点，的极小值为，无极大值； 【小问3详解】 ，即， ，，只需， 令，则， 令得，，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 所以； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $