专题02等腰三角形期中复习讲义(12大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记定义：两腰相等的三角形是等腰三角形。 2.掌握性质：等边对等角、三线合一、轴对称性。 3.熟用判定：等角对等边；会判定等边三角形。 4.理清关联：等边三角形是特殊等腰三角形。 1.规范几何证明，严谨书写推理过程。 2.快速角度 / 边长计算，灵活用三线合一。 3.准确分类讨论，规避多解 / 漏解。 4.提升逻辑推理与几何直观能力。 1.选择填空：秒解性质判定基础题，不丢分。 2.解答证明：规范步骤，拿下三线合一核心分。 3.综合题型：结合全等 / 垂直平分线，高效破题。 4.规避易错：分类讨论、边角对应、多解情况全掌握。 题型01.等腰三角形性质应用 题型02.等边三角形性质应用 题型03.等腰三角形判定应用 题型04.等腰三角形性质与判定综合 题型05.等腰三角形识别与作图 题型06.等腰三角形点的存在性探究 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 题型08.等边三角形判定与性质综合 题型09.等腰三角形与折叠问题 题型10.等腰三角形动点问题 题型11.等腰三角形分类讨论问题 题型12.等腰三角形与最值问题 解答题5题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 题型01.等腰三角形性质应用 【典例】一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】/108度 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：设顶角的度数为．因为等腰三角形的两个底角相等，且每个底角为， 所以根据三角形内角和定理，得 ， 即， 解得． 故答案为． 【跟踪专练1】如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ________ ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，结合，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 【跟踪专练4】如图，在中，，点为内部一点，且，点为线段上一点，且，设，若且，当的大小发生变化时，线段与的长度关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而求出，根据证明，则，，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质可得出，则可求出，，过D作于F，根据三线合一的性质得出，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 过D作于F， ∴，， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出是解题的关键． 题型02.等边三角形性质应用 【典例】如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由等边三角形的性质得到，则可证明，得到，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 题型03.等腰三角形判定应用 【典例】如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解． 【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A， ∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C， ∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形， ∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为__________．    【答案】 【分析】在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，根据等边三角形的性质，得，，从而求得，得等腰直角，利用勾股定理求出，，再证是等边三角形，得，然后证明，得，即可求解． 【详解】解：如图，在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，    ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．通过作辅助线构造全等三角形与直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练4】如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型04.等腰三角形性质与判定综合 【典例】在中，平分交于点，则___． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，根据等腰三角形的三线合一可得是中线，由此即可求解，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：5 ． 【跟踪专练1】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定条件、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的定义和判定是解题的关键． 根据等边三角形的定义和判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 三个角都相等的三角形一定是等边三角形，故A选项不符合题意； B．有两个角等于的三角形，那么第三个角也为，一定是等边三角形，故B选项不符合题意； C．一边上的高也是该边上的中线，则该三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形，故C选项符合题意； D．有一个角等于的等腰三角形，则其他两个角也均为，一定是等边三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 _______________ ． 【答案】15或12.5或18 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想． 分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 如图，作于点H， 则 ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的值为15或12.5或18． 故答案为：15或12.5或18． 【跟踪专练3.】如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、等角对等边等知识．求出，得到，则，设，根据即可求出答案． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得 即 故选：C. 题型05.等腰三角形识别与作图 【典例】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【跟踪专练1】在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： . ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 题型06.等腰三角形点的存在性探究 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且，若P为坐标轴上的一点，则使为等腰三角形的点P有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 分类讨论：时，时，时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】解：①当时，在y轴上有2点满足条件的点，在x轴上有1点满足条件的点． ②当时，在y轴上有1点满足条件的点，在x轴上有2点满足条件的点． ③当时，在x轴、y轴上各有一点和满足条件，点与时的x轴负半轴的点P重合． 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练2】如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个． 【答案】 【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【详解】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 【跟踪专练3】如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 【典例】用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设___________． 【答案】是直角三角形 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设“是直角三角形”． 故答案为：是直角三角形． 【跟踪专练1】用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 【跟踪专练2】用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________． 【答案】每一个内角都大于或等于45° 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45° 故答案为：每一个内角都大于或等于45°． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【跟踪专练3】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 题型08.等边三角形判定与性质综合 【典例】已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___． 【答案】12 【分析】先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可． 【详解】解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4， ∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4， 它的周长为3×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【跟踪专练1】在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 【跟踪专练2】.已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 【跟踪专练3】如图，在，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（  ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及勾股定理，关键是由等边三角形得到三角形的全等，然后利用勾股定理进行求解即可．过D作于G，过E作，交的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可得到的长，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过D作于G，过E作，交的延长线于H， ∵是等边三角形， ． ， ． ， ． 在中，，， ，，． 和是等边三角形， ，. ． ． 在和中， ． ． 在中，， ． ． ． ． ． 故选：D． 【跟踪专练4】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义可判定①；根据三角形中线平分三角形面积可判定②；根据三角形的三线合一可判定③；作的角平分线，可证，得到，同理可证，得到，由此可判定④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 当是的中线时，，设点到的距离（高）为， 此时，，则， ∵题目中缺少条件是的中线， ∴的面积不一定相等，故②错误； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据三线合一得到是中线， ∴，故③正确； 如图所示，作的角平分线交于点， 由①正确可得，，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 题型09.等腰三角形与折叠问题 【典例】如图，在中，，于点D，E为上一点，，连接，将沿所在直线翻折至所在的平面内得到，连接，若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形折叠，解题关键是全等三角形性质的应用． 作，设，由，得，得，由，得，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：作， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后由折叠得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长． 【详解】解：由折叠性质得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型10.等腰三角形动点问题 【典例】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【答案】D 【分析】分和两种情况，利用直角三角形的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的分类计算，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当，时， 则， ∴， 解得：， 当，时， 则， ∴， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故选：D． 【跟踪专练2】已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 【答案】3或4 【分析】分和两种情况讨论，根据三线合一的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等求解即可． 【详解】解：当时，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， ∴， 当，如图2， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴； ∴或4，． 【跟踪专练3】.如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】1或7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 题型11.等腰三角形分类讨论问题 【典例】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ∵， ∴， ∴ 当是钝角三角形时，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 【跟踪专练1】中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点E，交直线于点D，则可求得的外角，再利用外角的性质可求得，可求得答案． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，如图2，设的垂直平分线交于点E，交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是分类讨论不同情况； 由三边两两相等需分三种情况讨论，又点在轴上，设坐标为，计算满足条件的值，并排除与点重合的情况． 【详解】解：设点 ∵ ， ， ， ， 当时， ， 解得：（舍）， ∴； 当时， ， ， ∴； 当时， ， 解得：， ∴ ； 综上，共4个． 故选：B 【跟踪专练3】如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1) (2)的值为、16、5 (3)的值为5或11 【分析】（1）由，可得，再利用勾股定理即可求得结果； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即：， ∴， ∵，， ∴， 则； （2）根据题意，得，， 在中，，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，，解得； 若，则，即：，解得． 即：当为等腰三角形时，的值为、16、5． （3）①点在线段上时，过点作于，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，角平分线的判定定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 题型12.等腰三角形与最值问题 【典例】如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题． （1）如图2，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______． （2）如图3，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键． （1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为，由角平分线的性质可得，则，根据直角三角形度角的性质结合勾股定理求得长即可； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长，由对称的性质可得长，根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：（1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 所以的最小值为． 故答案为：． （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长    由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中由勾股定理得 所以的最小值为 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 【跟踪专练3】如图，等腰中，，，点为直线上一点，以为边作等边，连接，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过A点作于F， 过E点作于P，连接，然后证明可得，进而证明是等边三角形，再说明点P为的中点，即点A关于直线的对称点为点C；如图：连接，即，然后得到当B、E、C共线时，即E为图中的；如图：连接，则，最后根据等腰三角形的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A点作于F， 过E点作于P，连接， ∵， ∴， 在等边中，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点为直线上一点， ∴点为直线上运动， ∵， ∴，即点P为的中点， ∴点A关于直线的对称点为点C， 如图：连接，即， ∴， 当B、E、C共线时，即E为图中的， ∴为的最小值， 如图：连接，则， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【跟踪专练4】．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用三角形的面积公式可求出，利用等面积法可得，则的最小值为． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； ∴， 如图，过点作，交于点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 又， ∴； 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵的面积为，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【解答题】 1．如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求的作角平分线； （2）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 3．如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据等角对等边得到，证明，即可得到； （2）过点D作交于点H，根据同角的余角相等得到，根据得到，证明，得到，根据等边对等角得到，，进而得到，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在等边三角形的边，上分别取一点D，E，使，，相交于点M． (1)求证：； (2)填空：若，则的面积等于______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可求出答案； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，作于点F，由“三线合一”知， ， ， ，． 由勾股定理得， ． 5.．如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记定义：两腰相等的三角形是等腰三角形。 2.掌握性质：等边对等角、三线合一、轴对称性。 3.熟用判定：等角对等边；会判定等边三角形。 4.理清关联：等边三角形是特殊等腰三角形。 1.规范几何证明，严谨书写推理过程。 2.快速角度 / 边长计算，灵活用三线合一。 3.准确分类讨论，规避多解 / 漏解。 4.提升逻辑推理与几何直观能力。 1.选择填空：秒解性质判定基础题，不丢分。 2.解答证明：规范步骤，拿下三线合一核心分。 3.综合题型：结合全等 / 垂直平分线，高效破题。 4.规避易错：分类讨论、边角对应、多解情况全掌握。 题型01.等腰三角形性质应用 题型02.等边三角形性质应用 题型03.等腰三角形判定应用 题型04.等腰三角形性质与判定综合 题型05.等腰三角形识别与作图 题型06.等腰三角形点的存在性探究 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 题型08.等边三角形判定与性质综合 题型09.等腰三角形与折叠问题 题型10.等腰三角形动点问题 题型11.等腰三角形分类讨论问题 题型12.等腰三角形与最值问题 解答题5题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 题型01.等腰三角形性质应用 【典例】一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ________ ． 【跟踪专练3】如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【跟踪专练4】如图，在中，，点为内部一点，且，点为线段上一点，且，设，若且，当的大小发生变化时，线段与的长度关系满足（   ） A． B． C． D． 题型02.等边三角形性质应用 【典例】如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【跟踪专练1】如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【跟踪专练3】如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型03.等腰三角形判定应用 【典例】如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个． 【跟踪专练1】如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则_____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为__________．    【跟踪专练4】如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 题型04.等腰三角形性质与判定综合 【典例】在中，平分交于点，则___． 【跟踪专练1】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 【跟踪专练2】如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 _______________ ． 【跟踪专练3.】如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型05.等腰三角形识别与作图 【典例】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【跟踪专练1】在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有______个． 【跟踪专练3】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 题型06.等腰三角形点的存在性探究 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且，若P为坐标轴上的一点，则使为等腰三角形的点P有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____． 【跟踪专练2】如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个． 【跟踪专练3】如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 【典例】用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设___________． 【跟踪专练1】用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【跟踪专练2】用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________． 【跟踪专练3】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 题型08.等边三角形判定与性质综合 【典例】已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___． 【跟踪专练1】在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】.已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 【跟踪专练3】如图，在，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（  ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练4】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型09.等腰三角形与折叠问题 【典例】如图，在中，，于点D，E为上一点，，连接，将沿所在直线翻折至所在的平面内得到，连接，若，，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 【跟踪专练2】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 【跟踪专练3】如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 题型10.等腰三角形动点问题 【典例】如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【跟踪专练2】已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 【跟踪专练3】.如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 题型11.等腰三角形分类讨论问题 【典例】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 【跟踪专练1】中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则______． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 题型12.等腰三角形与最值问题 【典例】如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【跟踪专练1】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题． （1）如图2，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______． （2）如图3，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练3】如图，等腰中，，，点为直线上一点，以为边作等边，连接，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【解答题】 1．如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 2．如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 3．如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 4．如图，在等边三角形的边，上分别取一点D，E，使，，相交于点M． (1)求证：； (2)填空：若，则的面积等于______． 5.．如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $