2025-2026学年沪科版数学八年级下册期中复习 课件

数学沪科版新教材八年级下册 期中复习 通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图. 知识结构 期中复习 勾股定理 二次根式 知识结构 一元二 次方程 二次根式的概念与性质 二次根式的乘法和除法 二次根式的加法和减法 勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理与逆定理的应用 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 根与系数的关系 一元二次方程的应用 直接开平方法、配方法、 公式法、因式分解法 a²+b²=c²，(a,b直角边，c为斜边) 三边满足a²+b²=c²，则三角形是Rt△ 知识要点提炼 二次根式的概念及性质 概念 性质 ①二次根式的根指数是2. ②被开方数a可以是数，也可以是式子. 知识要点提炼 二次根式的乘法和除法 二次根式的乘法法则 积的算术平方根的性质 知识要点提炼 二次根式的乘法和除法 二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质 知识要点提炼 二次根式的乘法和除法 最简二次根式 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式. 同类二次根式 化简后被开方数相同的几个二次根式叫作同类二次根式. ①根号下有分数、小数都不是最简二次根式. ②被开方数要求是开不尽的整数或整式. 知识要点提炼 二次根式的加法和减法 二次根式的加减法法则 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的同类二次根式，按照合并同类项法则，将系数相加减，被开方数与根指数不变. 四则混合运算 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在:运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的. 知识要点提炼 一元二次方程的概念 概念 ①未知数只有1个，未知数的最高次数是2. ②方程是整式方程. 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式(又叫做标准形式). 知识要点提炼 一元二次方程的解法 直接开平方法 通过直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 配方法 通过配成完全平方形式，再直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做配方法. ①二次项系数不为1时，需将二次项系数化为1后再利用配方法求解; ②二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方. 知识要点提炼 一元二次方程的解法 配方法的一般步骤 ②移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方 程边为(x + m)2 = p (p≥0)的形式； ④开—如果p≥0，就可左右两边开平方得 ； ⑤解—解两个一元一次方程得 . ①化—二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，将其化为1； 知识要点提炼 一元二次方程的解法 求根公式 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)， 当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是： 求根公式 公式法 解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值代入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法. 知识要点提炼 因式分解法 一元二次方程的解法 通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. ①将方程化成一般形式，再进行因式分解. ②因式分解需彻底. ③如果二次项系数不为1，先提取公因式或用十字相乘法. 知识要点提炼 一元二次方程的根的判别式 根的判别式 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ= b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中Δ= b2-4ac. 当Δ＞0，有两个不相等的实数根； 当Δ=0，有两个相等的实数根； 当Δ＜0，没有实数根. 知识要点提炼 根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2 ，那么： (1)两根之和，等于一次项系数与二次项系数比的相反数： (2)两根之积，等于常数项与二次项系数的比： 韦达定理 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ，则 一元二次方程的根与系数的关系 知识要点提炼 一元二次方程的应用 列一元二次方程解方程的步骤 审 设 列 解 答 验 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2. ┌ B C A a（勾） c（弦） b（股） 变式： a2＝c2-b2，b2＝c2- a2 知识要点提炼 勾股定理 勾股定理 当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5 都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数. 勾股数 知识要点提炼 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 勾股定理的应用 从实际问题中抽象出几何图形； 确定所求线段所在的直角三角形； 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 求得结果，解决实际问题. 1 2 3 4 知识要点提炼 文字语言 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形，∠C=90°. A B C a b c 知识要点提炼 勾股定理的逆定理的应用 解决实际问题的基本步骤： 1.明确已知条件和所求结论，将实际问题转化为数学问题，判断是否可以用勾股定理的逆定理来解决； 2.根据题意画出几何图形，将已知条件转化为图形中的边、角等几何元素； 3.利用勾股定理的逆定理，列出相应的关系式； 4.通过计算求出未知边长或角度，验证三角形是否为直角三角形； 5.将数学计算的结果还原到实际问题中，给出最终答案. 题型1 二次根式有意义的条件 题型2 二次根式的性质 题型3 一元二次方程根的情况 题型4 一元二次方程的解法 题型5 勾股定理的应用 题型6 二次根式的乘法 题型9 二次根式的混合运算 题型8 勾股定理与逆定理的综合 题型10 公式法解一元二次方程 题型归纳·内容归纳 重点知识巩固 题型11 勾股定理逆定理的应用 题型12 一元二次方程的应用 题型13 二次根式的综合 题型7 一元二次方程根与系数的关系 重点知识巩固 题型1 二次根式有意义的条件 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数. 方法总结 D 重点知识巩固 题型2 二次根式的性质 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 a2− b2− (a−b)2的结果是(     ) A. −2b B. −2a C. 2b−2a D. 0 A 利用数轴得实数的范围，再根据二次根式的性质、绝对值的性质进行解答. 方法总结 由数轴上点的位置关系，得1>b>0>a>−1， 所以 a2− b2− (a−b)2=−a−b−(b−a)=−a−b−b+a=−2b， 故选：A． 关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 重点知识巩固 题型3 一元二次方程根的情况 方法总结 新 情 境 A ∵Δ=m2−4×1×(−8)=m2+32>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 重点知识巩固 题型4 一元二次方程的解法 B 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 方法总结 台阶展开如图，则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15(dm)， 在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 202+152=25(dm)． 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm． 故选D. 重点知识巩固 题型5 勾股定理的应用 D 方法总结 “化曲为直，化立体为平面”，通过展开图形，将空间路径转化为平面上的直线距离，再利用勾股定理求解. 重点知识巩固 题型5 勾股定理的应用 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________． 2π 方法总结 根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理. 重点知识巩固 题型6 二次根式的乘法 12 方法总结 套用面积公式求面积，根据二次根式的乘法及性质化简. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0的两个实数根，且x12+x22−x1x2=13，则k的值为________． -2 题型7 一元二次方程根与系数的关系 重点知识巩固 方法总结 先判断方程有实数根，保证判别式大于等于零，求出参数范围，再用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，把题目要求的式子，用完全平方公式变形，换成只含两根之和与两根之积的形式，代入计算，解出参数. 长与宽和为60步，长比宽多x步，长为+步，宽为步. 60+x.60-=864.依题意得:2 故选:B. 因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根，所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2.由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1，所以x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k.又x12+x22−x1x2=13，所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意．故k的值为−2因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根，所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2.由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1，所以x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k.又x12+x22−x1x2=13，所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意．故k的值为−2因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根，所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2.由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1，所以x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k.又x12+x22−x1x2=13，所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意．故k的值为−2．因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根，所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2.由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1，所以x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k.又x12+x22−x1x2=13，所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意．故k的值为−2．因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根，所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2.由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1，所以x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k.又x12+x22−x1x2=13，所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意．故k的值为−2． 因为关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个实数根， 所以22−4×1×(k−1)≥0，解得k≤2. 由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2=−2，x1x2=k−1， 所以x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=(−2)2−3(k−1)=7−3k. 所以7−3k=13，解得k=−2，符合题意． 故k的值为−2． 综合能力提升 为了绿化环境，我区某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m. (1)求空地ABCD的面积; 题型8 勾股定理与逆定理的综合 (2)∵每种植1m2的草皮需要400元 ∴总共需要24×400=9600(元). 综合能力提升 为了绿化环境，我区某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m. (2)若每种植1m2的草皮需要400元，问总共需要多少元? 题型8 勾股定理与逆定理的综合 方法总结 这类不规则四边形面积问题的核心是通过对角线分割为三角形，利用勾股定理及逆定理判定直角三角形，将面积转化为直角三角形面积的差，关键在于选择合适的对角线实现图形的 “直角化” 分割. 综合能力提升 题型9 二次根式的混合运算 方法总结 先把每一个二次根式化成最简二次根式或利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再进行加减计算即可. 题型10 公式法解一元二次方程 小敏与小霞两位同学解方程3x−3=(x−3)2的过程如下框： 小敏： 小霞： 两边同除以x−3， 移项，得3x−3−(x−3)2=0， 得3=x−3， 提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0， 则x=6． 则x−3=0或3−x−3=0，解得x1=3，x2=0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 综合能力提升 题型10 公式法解一元二次方程 小敏：没有考虑x−3=0的情况；小霞：提取公因式时出现了错误． 正确的解答方法：移项，得3(x−3)−(x−3)2=0， 提取公因式，得(x−3)(3−x+3)=0． 则x−3=0或3−x+3=0， 解得x1=3，x2=6．  方法总结 解此类方程核心是避免丢根和变形错误，严禁直接除以含未知数的整式. 综合能力提升 如图，∵AB=60，BC=80，AC=100， ∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°， ∵AD//NM， ∴∠NBA=∠BAD=30°， ∴∠MBC=180°−90°−30°=60°， ∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．  综合能力提升 题型11 勾股定理逆定理的应用 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由． 综合能力提升 方法总结 判断三角形形状：先根据三边长，用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角位置; 分析方位角关系：利用平行线性质（如南北方向线平行），结合已知方位角，求出三角形内角与方向角的关系; 计算目标方向角：在直角三角形中，用平角或已知角度减去相关角，得到从 B 点出发的方向角; 规范表述方向：用 “南偏东 / 西多少度” 等标准方位角术语，给出最终行走方向. 题型11 勾股定理逆定理的应用 综合能力提升 题型12 一元二次方程的应用 学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易长方形自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28 m)，另外的边利用学校现有的总长为55 m的铁栏围成，开有两个长为1 m的木质门． (1)求线段AB的取值范围． 综合能力提升 题型12 一元二次方程的应用 学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易长方形自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28 m)，另外的边利用学校现有的总长为55 m的铁栏围成，开有两个长为1 m的木质门． (2)若围成的面积为270 m2，试求出自行车车棚的长和宽． (3)不能围成面积为300 m2的自行车车棚．理由如下：   根据题意，得x(55-3x+2)＝300，  整理，得x2-19x+100＝0． ∵Δ＝(-19)2-4×100＝-39＜0， ∴方程无实数根，∴不能围成面积为300 m2的自行车车棚．  综合能力提升 题型12 一元二次方程的应用 学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易长方形自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28 m)，另外的边利用学校现有的总长为55 m的铁栏围成，开有两个长为1 m的木质门． (3)能围成面积为300 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 综合能力提升 题型12 一元二次方程的应用 方法总结 ①仔细阅读题目，明确已知量和未知量，找出等量关系，将实际问题转化为数学问题，设出合适的未知数; ②列写方程：根据等量关系，列出一元二次方程，注意单位统一； ③求解方程：选择合适的方法（如因式分解法、公式法、配方法）解方程，求出未知数的可能值； ④合理性：将解代回原问题，检验是否符合实际意义（如边长、时间、数量必须为正数，且不超过题目给定的限制条件），舍去不符合条件的解； ⑤规范作答：根据题目要求，清晰、完整地写出最终答案，包括单位. 综合能力提升 题型13 二次根式的综合 综合与探究： 观察下列等式，根据你发现的规律解决问题： ...... 综合能力提升 题型13 二次根式的综合 综合能力提升 题型13 二次根式的综合 方法总结 先对每一项进行分母有理化，将其转化为两个根式的差的形式,再将所有项相加，利用中间项相互抵消的特点，快速求出总和, 最后对结果进行化简，得到最简二次根式. $