第17章 一元二次方程及其应用 习题课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 第3课时 公式法 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 核心必知 1.一般地，对于一元二次方程 ，如 果 ，那么方程的两个根为_ ______________， 这个公式叫作一元二次方程的求根公式．利用求根公式 解一元二次方程的方法叫作公式法． 3 2．用公式法解一元二次方程 4 1星题 基础练 1．[蚌埠期中]用求根公式解一元二次方程3x2－2x＝1时，a，b，c的值是(　　) A．a＝3，b＝－1，c＝－2 B．a＝3，b＝－2，c＝1 C．a＝3，b＝－2，c＝－1 D．a＝3，b＝2，c＝1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2.当用公式法解方程 时， 的值为( ) C A.2 B. C.17 D. D A．3x2＋2x－1＝0 B．2x2＋4x－1＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．3x2－2x－1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 4.［知识初练］用公式法解方程： . 解：将方程化为一般形式，得_________________， 所以___，____， ____， 所以 ____， 所以_ _____ ____， 所以_________________. 3 49 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 5. [2024·泉州期末] 下面是小明同学解方 程 的过程： 因为，， ，(第一步) 所以 ，(第二步) 所以 ，(第三步) 所以， .(第四步) 小明是从第____步开始出错的. 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 6.用公式法解下列方程： (1) ； 解：因为，， ， 所以 ， 所以 , 所以, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 (2) ; 解：因为，， ， 所以 ， 所以 ， 所以， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 (3) ; 解：整理，得 . 因为，， ， 所以 ， 所以原方程无实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2星题 中档练 7.[北京期末] 方程的一较小根为 ， 下面对 的估计正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 8.［数形结合思想］如图，在一次函数 的图象上取点，作 轴，垂足为，作轴，垂足为 ， 若长方形 的面积为2，则这样的点 共有___个. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (创新题·新考法深圳月考)对于任意实数a，b，定义一种运算：a⊗b＝2ab－1，若x⊗(x－2)＝1，则x的值为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 10.【一题多解】用两种方法解方程： . (1)配方法： 解：移项，得，配方，得 , 即，开平方，得 ， 所以， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 (2)公式法： 解：因为，，，所以 ， 所以 ， 所以， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 11.用公式法解下列方程： (1) ； 解：因为，， ， 所以 ， 所以 ， 所以， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 (2) . 解：化简，得 ， 所以,, ， 所以 ， 所以 ， 所以, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 3星题 提升练 12.(整体思想宿迁模拟)阅读材料：(8分) 已知(a＋b－3)(a＋b＋4)＝－10，求a＋b的值． 解：设t＝a＋b，则原方程变形为(t－3)(t＋4)＝－10，即t2＋t－2＝0. 根据材料解答问题：已知(a2＋b2－3)(a2＋b2＋1)＝8，求a2＋b2的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 解：设t＝a2＋b2，因为(a2＋b2－3)(a2＋b2＋1)＝8，所以(t－3)(t＋1)＝8，即t2－2t－11＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 3．[合肥期中]用公式法解一元二次方程的根为x＝，该方程为(　　) 1＋或1－ 所以t＝，得t1＝－2，t2＝1. 所以a＋b＝－2或a＋b＝1. 所以t＝＝＝1±2 ， 所以t＝2 ＋1或－2 ＋1. 因为a2＋b2＝－2 ＋1不存在， 所以a2＋b2＝2 ＋1. $第17章 17. 4 一元二次方程的根与系数的关系 沪科安徽 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题　基础练 2星题　中档练 3星题　提升练 2 核心必知 一般地，如果一元二次方程 的 两个根是和，那么_ ___， __. 1星题 基础练 1．[知识初练]不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (3)3x2＋x＝6x＋7：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (4)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____；x1x2＝____． －2 －1 6 2 1 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2．已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为________. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 3．[知识初练][马鞍山三模]已知方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为________. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 4.[天津二模] 已知一元二次方程 的两个 根分别为，，且，，则， 的值 分别是( ) B A.， B.， C.， D.， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 5.已知、是一元二次方程 的两个根，则 的值是( ) B A. B. C. D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 6.若方程的两个根为 ， ，则 的值为( ) C A.2 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 7. 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2＋mn＋2m的值．(8分) 思维过程 (1)分析问题：观察m2＋mn＋2m与x2＋2x－5＝0中的哪些整体或部分有关？ (2)写出解题过程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根， 所以mn＝－5，m2＋2m－5＝0， 所以m2＋2m＝5， 所以m2＋mn＋2m＝(m2＋2m)＋mn＝5－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5. 所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 8. (真实情境)兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　　) A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 B 2星题 中档练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9．[合肥模拟]已知关于x的方程2x2－3x＋k＝0的两根分别为x1和x2，若4x1＋x2＝0，则k的值为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 10．[蚌埠三模]已知两个不相等的实数m，n满足m2－4＝2m，n2＝4＋2n，则 (m－n)2＝________. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 11. (分类讨论思想)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根． (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； 解：根据题意得 ， 解得，， ， 因为 ， 即 ， 所以 ， 整理,得，解得， ， 因为，所以 的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．(8分) 当腰长为7时，则 是一元二次方程 的一个解，记 , 把代入方程得 ， 整理,得，解得， . 当时， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10， 解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系， 所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2， 方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3， 而3＋3<7，故舍去． 所以这个三角形的周长为17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (运算能力)已知关于x的方程a1xn＋a2xn－1＋…＋anx＋an＋1＝0有n个实数根(n为正整数)．某数学小组对当n＝2时根与系数的关系进行探究，部分探究过程如下． 3星题 提升练 设：该方程的两个实数根为x1和x2， 有a1(x－x1)(x－x2)＝0，展开得①____________. 又由题知a1x2＋a2x＋a3＝0， 故x1＋x2＝②________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 (1)请你补全上述过程； 设：该方程的两个实数根为x1和x2， 有a1(x－x1)(x－x2)＝0，展开得①____________________________________. 又由题知a1x2＋a2x＋a3＝0， 故x1＋x2＝②________. a1x2－a1x(x1＋x2)＋a1x1x2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 (2)当n＝3时，设该方程的三个实数根为x1，x2和x3，求x1x2＋x1x3＋x2x3和x1x2x3的值(用系数表示)； 当n＝3时，a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝0， 因为该方程的三个实数根为x1，x2和x3， 所以a1(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0， 展开得a1x3－a1x2(x1＋x2＋x3)＋a1x(x1x2＋x1x3＋x2x3)－a1x1x2x3＝0，所以a1(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝a3，－a1x1x2x3＝a4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 (3)设关于x的方程a1xn＋a2xn－1＋…＋anx＋an＋1＝0的n个实数根为x1，x2，…，xn，请直接写出x1x2…xn的值(用系数表示)．(12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 － A．－ B．－2 C. D．2 － 解得x1x2＋x1x3＋x2x3＝，x1x2x3＝－. x1x2…xn的值为(－1)n. $第17章 17.3 一元二次方程根的判别式 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 核心必知 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为 ___________，用符号“Δ”表示． 根的判别式的范围 方程根的情况 Δ＝b2－4ac>0 有两个不相等的实数根 Δ＝b2－4ac＝0 有两个相等的实数根 Δ＝b2－4ac<0 没有实数根 3 1星题 基础练 1.［知识初练］方程 化为一般形式 后，,____, ___, _______. 8 2.方程 的根的判别式的值是____. 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3.［知识初练］已知一元二次方程 的判别式的 值为____，它___0(填“ ”“ ”或“ ”)，故这个方程根的情 况为____________. 没有实数根 4．[合肥三模]下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根 的是(　　) A．x2－2x＋3＝0 B．x2＋6x＋9＝0 C．x2－x＝2 D．3x2－x＋2＝0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5．用根的判别式判别下列方程根的情况：(16分) (1) ; 解：因为 , 所以方程有两个不相等的实数根. (2) ； 解：方程可化为 . 因为 ， 所以方程有两个相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 (3) ； 解：方程可化为 . 因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 6．若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 7．[宣城二模]若关于x的一元二次方程mx2－4x－3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(　　) C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 8．已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值范围是________. 9．已知关于x的方程x2＋ax－2＝0. (1)当该方程的一个根为1时，求a的值； 解：将x＝1代入方程x2＋ax－2＝0，得12＋a×1－2＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．(8分) 证明：因为Δ＝a2－4×1×(－2)＝a2＋8，而a2≥0，所以a2＋8>0，即Δ>0，所以不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 2星题 中档练 10. (真实情境)老师让学生写一个一元二次方程，使其没有实数根，以下是某学习小组的四位同学给出的答案： 小明的答案为x2＋3x＋1＝0； 淇淇的答案为2x2＋3x＋1＝0； 佳佳的答案为－2x2＋3x＋1＝0； 轩轩的答案为3x2＋2x＋1＝0. 老师看后，说只有一位同学的答案是对的，则这位同学是(　　) A．小明 B．淇淇 C．佳佳 D．轩轩 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 11. (创新题·新题型)如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个(“＋”变为“－”或“－”变为“＋”)，使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 B A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 解：由题意,得 ， 解得 . 13．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根．(8分) (1)求k的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 由题意得 . 解方程，得， . (2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求m的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为与 有一个相 同的根， 所以 的一个根为1或2, 所以 或 ， 所以或 . 由题意知，所以.所以的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3星题 提升练 14. (推理能力)已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0. (1)求证：此方程必有实数根； 证明：(1)整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0， 得3x2－(4b＋4c－2a)x＋4bc－a2＝0. Δ＝[－(4b＋4c－2a)]2－12(4bc－a2)＝16b2＋16c2＋16a2－16ab－16bc－16ac＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]． 因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，　 所以Δ≥0. 所以原方程必有实数根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 (2)若a，b，c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形． 因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c. 易知a，b，c均不为0，所以△ABC为等边三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 (4)2y2＋y＋35＝0. 因为Δ＝()2－4×2×35＝－277<0， 所以方程没有实数根． A．m> B．m>－ C．m>－且m≠0 D．m<且m≠0 12.(创新题·新考法广州一模)对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算＝ad－bc，例如：＝3×5－2×6＝3，则关于x的方程＝0的根的情况为(　　) $第17章 17.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 2 核心必知 3 1星题 基础练 1.［知识初练］解方程 .解：移项，得_______, 开平方，得_________，解得____, ______. 2.一元二次方程 的根是_________________. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3．[苏州月考] 的根是( ) C A., B. C.无实数根 D.以上均不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 4.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 (2) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 5.［知识初练］解方程： . 解：两边同除以2，得_____________， 直接开平方，得____________， 即 ______， 解得___, ____. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 6. 一元二次方程 可转化为两个一 元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个 一元一次方程是____________. 7. 若方程有实数根，则 的 值可以是______________. (写出一个即可) 2(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 8.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 解：开平方， 得 . 解得 , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 (2) . 解：开平方， 得 , 所以 或 ， 解得, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2星题 中档练 9.[合肥期中] 若与互为倒数，则实数 的 值为( ) C A. B. C. D. 根据题意，得,即 ,解 得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 10.(分类讨论思想)已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是 方程 的一个根，则此三角形的周长为________. 15 11. [易 错 题北京期中] 若 ，则 ___. 4 忽略 致错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 解：移项，得 ，两边同除以4， 得，开平方，得 ， 解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 (2) . 解：开平方，得 ， 所以或 , 解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 解：二次项系数化为1，得x2＝5， 开平方，得x＝±，解得x1＝，x2＝－. 解：移项，得x2＝12，二次项系数化为1，得x2＝36，开平方，得x＝±6，解得x1＝6，x2＝－6. $第17章 17.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 2 核心必知 用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化为一般形式： ； ②把二次项系数化为 ； ③把常数项移到方程右边，得 ； 3 ④配方：在方程的两边分别加上一次项系数的一半的平方， 使方程左边成为完全平方式，得 ， 即_ ________________； ⑤求解：如果方程的右边是非负数，那么就用直接开平方法 解之；如果方程的右边是负数，那么原方程无实根. 4 1星题 基础练 1．填空： (1)___(___) ； (2)(__) ； (3)___(__) . 4 2 (4)x2＋bx＋__________＝(x＋________)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.把代数式 化成 的形式为 ______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 3.［知识初练］用配方法解方程： .解：将常 数项移到方程右边，得 ____， 配方，得___ ___， 即(___) ___， 由此得_________， _________. 9 9 3 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 4．用配方法解方程x2－8x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　) A．(x＋8)2＝56 B．(x－8)2＝56 C．(x＋4)2＝8 D．(x－4)2＝8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 5．[合肥期中]用配方法解下列方程：(8分) (1) ； 解：配方，得，即 ， 开平方，得 ， 解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 (2) . 解：移项，得 , 配方，得,即 , 开平方，得 , 解得, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 6．[知识初练]用配方法解方程：3x2＋6x＋2＝0. 解：移项，得_______________, 二次项系数化为1，得______________， 配方，得____________， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 开平方，得_ ___________， 所以_ ______， _________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．用配方法解下列方程：(8分) (1) ; 解：二次项系数化为1，得 , 移项，得,配方，得 ,即 ,解得, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 (2) . 解：二次项系数化为1，得 , 移项，得 , 配方，得,即 , 解得, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 2星题 中档练 8. (高阶思维·批判性思维)在解方程3x2＋12x－7＝0时，对 方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是(　　) ， ， ， . 甲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 ， ， ， . 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 A.两人都正确 B.甲正确，乙不正确 C.甲不正确，乙正确 D.两人都不正确 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 9. (整体思想)方程(x＋1)2－8(x＋1)＋17＝1的解为__________. x1＝x2＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 10.用配方法解下列方程： (1) ； 解：移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边同除以3，得 ， 配方，得，即 ， 所以，所以， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 (2) . 解：去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 配方，得，开平方，得 ， 所以， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 11．[福州月考]已知方程x2－10x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝5的形式，求方程x2＋10x＋m＝5的根．(8分) 解：因为x2－10x＋m＝0，所以(x－5)2＝25－m. 因为方程x2－10x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝5的形式，所以25－m＝5，解得m＝20. 把m＝20代入x2＋10x＋m＝5， 得x2＋10x＋20＝5，所以x2＋10x＝－15， 配方，得x2＋10x＋25＝－15＋25，即(x＋5)2＝10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 即时练透 【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三 项式配方成的形式，当, 时，该二 次三项式有最大值；当， 时，该二次三项式 有最小值 . 【例题】 求代数式 的最小值. 解：配方，得____________.因为_________ ，所以 的最小值是___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 【针对练习】 1．当x＝________时，代数式x2－2x＋6的值最小，这个最小值是________. 2．利用配方法求－m2＋2m＋4的最大值．(8分) 1 5 解：－m2＋2m＋4＝－(m－1)2＋5. 因为(m－1)2≥0，所以－(m－1)2≤0， 所以－(m－1)2＋5≤5，故－m2＋2m＋4的最大值是5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 解得x1＝－5＋，x2＝－5－. $第17章 17. 5 一元二次方程的应用 第2课时　一元二次方程的应用 (平均变化率与数字问题) 沪科安徽 八年级下册 1 01 02 03 1星题　基础练 2星题　中档练 3星题　提升练 2 1星题 基础练 1．某药企为了适应市场需求，不断改进生产工艺，降本增效，使两年前生产的某种药品的成本由60元降低到今年的40元．设这种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程中正确的是(　　) A．60(1－x2)＝40 B．40(1＋x)2＝60 C．60(1－x)2＝40 D．60(1－2x)＝40 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2. (真实情境)为了深刻践行低碳环保的生活理念，点点所在学校发起了“拒绝外卖，走出寝室”的活动．该校原来每周的外卖量为3 000单，若计划两周后外卖量下降到1 920单，则这两周该校外卖量平均每周的下降率为____________. 20% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3.安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若设日平均增长率为x，则x满足的方程为____________________. 100(1＋x)2＝144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 4．黄山烧饼是安徽省黄山市的一种特色传统小吃．刚出炉的黄山烧饼色泽金黄，吃起来酥脆爽口，油而不腻，令人回味无穷．据了解黄山烧饼3月份销售额为200万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计3～5月份销售额可以累计达700万元．设月销售额的增长率为x，则可列方程为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 5．合肥市“渡江战役纪念馆”是国内规模最大、收藏史料最全的纪念渡江战役辉煌历史的专题场馆，是红色主题教育的重要活动基地．某年5月份该馆接待参观人数10万人，7月份接待参观人数增加到14.4万人．(8分) (1)求5至7月份参观人数的月平均增长率． 解：(1)设5至7月份参观人数的月平均增长率为x， 依题意，得10(1＋x)2＝14. 4， 解得x1＝0. 2＝20%，x2＝－2. 2(舍去)． 答：5至7月份参观人数的月平均增长率为20%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 (2)若该馆每月的接待量不得超过17万人，按照这个增长率，则8月份该馆能否满足游客的接待量？ 14. 4×(1＋20%)＝17. 28(万人)，17. 28>17， 因为该馆每月的接待量不得超过17万人， 所以按照这个增长率，8月份该馆不能满足游客的接待量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 6．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为______________. x(x＋2)＝783 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 7. (创新题·新考法)小颖设计了一个神奇的魔术盒，当放任意实数对(M，N)进入其中时，会得到一个新的实数M2＋3N＋2，若将实数对(a，2a)放入其中，得到一个新数－3，则a＝__________. －5或－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 8.“半日走遍江淮大地，安徽风景尽在徽园”，位于省会合肥的徽园景点某年三月共接待游客m万人，四月比三月游客人数增加了15%，五月比四月游客人数增加了15a%，已知三月至五月徽园的游客人数平均月增长率为20a%，则可列式为(　　) A．(1＋15%)(1＋15a%)＝1＋20a%×2 B．(1＋15%)(1＋20a%)＝2(1＋15a%) C．(1＋15%)(1＋20a%)＝1＋15a%×2 D．(1＋15%)(1＋15a%)＝(1＋20a%)2 D 2星题 中档练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 9．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意框出2×2个数(如17，18，24，25)，如果框出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为(　　) A．40 B．48 C．52 D．56 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 点拨：设最小数为x，则另外三个数分别为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意得x(x＋8)＝153，解得x1＝9，x2＝－17(不符合题意，舍去)，所以x＝9，x＋1＝10，x＋7＝16，x＋8＝17，所以这四个数分别为9，10，16，17. 因为9＋10＋16＋17＝52，所以这四个数的和为52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. (创新题·新设问马鞍山模拟)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为 A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 11．[合肥三模]在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023年到2025年A型汽车年销售总量增加了80%，年销售单价下降了20%. (1)设该汽车企业2023年销售A型汽车总量为a万辆，年销售单价为b万元，请用代数式填表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 年份 A型汽车年销售总量/万辆 A型汽车年销售单价/万元 A型汽车年销售总额/亿元 2023年 a b __________ 2025年 1.8a 0.8b __________ ab 1. 44ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 (2)若该汽车企业A型汽车2023年到2025年的年销售总额的增长率相同，求该增长率．(8分) 解：设该汽车企业A型汽车2023年到2025年的年销售总额的增长率为x， 根据题意，得ab(1＋x)2＝1. 44ab， 解得x1＝0. 2＝20%，x2＝－2. 2(舍去)． 答：该汽车企业A型汽车2023年到2025年的年销售总额的增长率为20%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 12.(运算能力成都月考)某书店老板在9月底以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后该老板去进货时发现每本的进货价上涨了m%(m>0)，若进货量比九月底增加3m%，则他以12元/本的价格全部售出后，可比国庆节的总利润多1 200元，求m%的值．(8分) 3星题 提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 解：国庆节的总利润为500×(9. 6－8)＝800(元)， 国庆节后的进货量为500(1＋3m%)本，进货价为8×(1＋m%)元/本， 由题意得500(1＋3m%)[12－8(1＋m%)]＝800＋1 200， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 A．200＝700 B．200＝700 C．200＋200x＋200x2＝700 D．200＋200＋200＝700 (参考数据：≈1.414)(　　) 解得m%＝或m%＝0(不符合题意，舍去)． 所以m%的值为. $第17章 17. 5 一元二次方程的应用 第4课时　一元二次方程的其他应用 沪科安徽 八年级下册 1 1．有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是(　　) A．12 B．11 C．10 D．9 B 1 2 3 4 5 6 2 2．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的分支，若主干、枝干和分支的总数是57，则每个枝干长出________个分支. 7 1 2 3 4 5 6 3 3．[吉林二模]小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及其兄弟姐妹一共有多少人？若设小川及其兄弟姐妹一共有x人，则可列方程为________________. x(x－1)＝90 1 2 3 4 5 6 4 4. (高阶思维·批判性思维)一次围棋比赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各比赛1局)，且参赛者少于15人．下图是小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：(12分) 1 2 3 4 5 6 5 (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ 1 2 3 4 5 6 6 (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； 1 2 3 4 5 6 7 (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 解：共有13人报名本次比赛． 1 2 3 4 5 6 8 5．某商场将每件进价为20元的玩具以每件30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查发现：当单价每涨1元时，每天少售出5件．若商场想每天获得4 125元利润，设每件玩具涨x元，则下列说法错误的是(　　) A．(30＋x)元表示涨价后玩具的单价 B．5x件表示涨价后每天少售出玩具的数量 C．(300－5x)件表示涨价后每天销售玩具的数量 D．可列方程为(30＋x)(300－5x)＝4 125 D 1 2 3 4 5 6 9 6. (立德树人·增强安全意识)一人一盔，安全守规．为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：单价每降价10元，每月可多售出200顶．(8分) (1)头盔每降价1元，每月可多售出________顶； (2)若该商店某月获得的利润为8 000元，求该月每顶头盔的售价为多少元． 20 1 2 3 4 5 6 10 解：设该月每顶头盔的售价为x元， 则(x－50)[200＋20(80－x)]＝8 000， 整理得x2－140x＋4 900＝0，解得x1＝x2＝70. 答：该月每顶头盔的售价为70元． 1 2 3 4 5 6 解：由题意，得5人需比赛的局数为＝10. 解：小哲说的有道理，理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得＝70， 整理，得x2－x－140＝0， 解得x＝，不为整数， 所以方程的解不符合实际，所以小哲说的有道理． $第17章 17.5 一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程的应用(面积问题) 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 面积问题 主题情景 茶旅文化 为了提升茶园的旅游价值，某观光茶园决定对 茶园进行改造，将茶园打造成游客们品味生 活、感受自然的好去处. 1.如图，观光茶园有一块正方形的空地，计划改造 为长方形平台(空白部分)，搭建一个休息亭，剩余 区域建造宽为和 的小路(阴影部分)，供游客 A A. B. C. D. 活动，若平台的面积为 ，求原正方形空地的边长.设原 正方形空地的边长为 ，则可列方程为 ( ) 1 2 3 4 5 6 3 2.如图，观光茶园计划在一块长为 ，宽为 的长方形观赏游 乐区的四周修建同样宽度的通道， 设通道宽为 .如果通道所占面积 与观赏游乐区的面积相等，则此时 通道的宽度为______. 1 2 3 4 5 6 4 3.如图，为方便游客停车，观光 茶园设计了如下的停车场平面示 意图(示意图为长方形)，停车场 外围的长为，宽为 ， 若停车位总占地面积为 ， 停车场内车道的宽都相等，求车道的宽. 1 2 3 4 5 6 5 解：设车道的宽为 ， 根据题意， 得 ， 解得， (不符合题意，舍去). 答：车道的宽为 ． 1 2 3 4 5 6 6 4.为了增加游客体验感和弘扬中国茶 文化，观光茶园计划利用一面墙 (墙的最大可利用长度为 )，用栅 栏围成一个长方形宣传区 (靠墙一面不用栅栏)，中间再用栅栏分隔成两个小长方形， 且在如图所示的位置留两个 宽的小门，一个区域用来给 1 2 3 4 5 6 7 游客提供制茶、品茶服务，另一个区 域用来讲解茶道文化.若所用栅栏的 总长度为，设栅栏 的长为 ，解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 (1)__________(用含 的代数 式表示)； (2)若要围成面积为 的长方形 宣传区，则栅栏 的长为 ______； 1 2 3 4 5 6 9 (3)长方形宣传区的面积能不能等于 ，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 10 解：不能.理由：依题意， 得 ，整理， 得 ， ， 所以方程无实数根. 所以长方形宣传区 的面积不能等于 ． 1 2 3 4 5 6 11 5.观光茶园计划设计一个专属特色茶叶包装盒，设计师先用 一张长为，宽为 的长方形硬纸板进行尝试.具体 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方 形，折成一个如图②所示的有盖长方体包装盒，和 两 边恰好重合且无重叠部分. 1 2 3 4 5 6 12 (1)若包装盒的高为，求该包装盒的底面 的边 ， 的长； 1 2 3 4 5 6 13 解：由题意知， ， 由题意知 ， ，解得 ， 所以该包装盒的底面的边，的长分别为 ， . 1 2 3 4 5 6 14 (2)若包装盒的底面积为 .求该包装盒的高. 1 2 3 4 5 6 15 设该包装盒的高为 ， 则 ， ， 所以，所以 ， 依题意，得 ， 解得或 (舍去). 所以该包装盒的高为 ． 1 2 3 4 5 6 16 6.如图，在长方形中， ， ，点从点开始沿边向点 以 的速度移动，点从点开始沿 边向点 以的速度移动，当点到达点或点 到达 点时，两点停止移动，已知点，分别从点， 同时出 发，设运动时间为 . 1 2 3 4 5 6 17 (1)的面积为_______________(用含 的代数 式表示)； 1 2 3 4 5 6 (2)当的面积等于时，求 的值； 解：令，解得或 ． 1 2 3 4 5 6 19 (3)是否存在的面积等于，若存在，求出 的值； 若不存在，说明理由. 1 2 3 4 5 6 20 不存在.理由：令 ，整理， 得 ， 所以 ， 所以方程无实数根， 故不存在的面积等于 ． 1 2 3 4 5 6 21 $第17章 17.1 一元二次方程 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 2 核心必知 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫作一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是_________________________________,其中ax2叫作二次项,a是二次项系数,bx叫作一次项,b是一次项系数，c叫作常数项． 3．使一元二次方程左右两边________的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫方程的根． 2 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 相等 3 1星题 基础练 1．[安庆期中]下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　) A A. B. C. D. 2.关于的方程是一元二次方程，则 满足_______. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 3.填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 ____________ __________ ___ ____ ____ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 2x2＝8x ____________ _ ___ ____ ___ x(7x－1)＝4－x ___________ ___ ___ ____ 2 0 7x2－4＝0 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 4．[杭州模拟]已知一元二次方程x2＋2mx＋1＝0的 一个根为1，则m＝________. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 5. 下列各数： ，0，1，2，3，其中是一元二 次方程 的根的是______. 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 6．[滁州期末]两个连续奇数的积为99，设其中较小的一 个奇数为 ，则可列方程为______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 7．[福建中考改编]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x m，根据题意可列方程为(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2星题 中档练 8. 若关于 的一元二次方程 的常数项为0，则 的值为 ____. 容易忽略二次项系数不等于0而直接得出 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 9．[合肥期中]已知 是一元二次方程 的一个根，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 解：将代入方程 ， 得 . 所以， ， 所以 . 所以 的值为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 【变式题】[合肥月考]若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. $第17章 17. 5 一元二次方程的应用 *第3课时　列可化为一元二次方程的 分式方程及应用 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 1．[合肥月考]A，B两地相距48 km，一艘轮船从 地顺 流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去 .已知 水流速度为，若设该轮船在静水中的速度为 ， 则可列方程为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2．[上海徐汇区二模]某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6 km，返回时由于步行速度比去时每小时少1 km，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是(　　) A．2 km/h B．3 km/h C．4 km/h D．5 km/h B 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3. (真实情境)十一期间，几名同学共同租一辆中巴车去游玩， 中巴车的租价为525元/辆，出发时又有4名同学参加，结果每 名同学比原来少分摊4元车费，设原来游玩的同学有 名，则 可列方程为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4.某采购员到钾盐厂采购钾盐 运往B地，如果租用甲种货 车若干辆刚好装满，租用乙种货车，可少租1辆并且最后1辆 还差才能装满，已知甲种货车的载质量比乙种货车少 ， 则甲、乙两种货车的载质量分别是_______. , 1 2 3 4 5 6 7 8 5 5．[南通一模]甲、乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2 h，若两人合作处理，仅需1.2 h即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥.若租两车合运，则 10天可以完成任务;若单独租用乙车完成任务，则比单独租 用甲车完成任务多用15天.那么甲车单独完成任务需要____天， 乙车单独完成任务需要____天. 15 30 1 2 3 4 5 6 7 8 7 7.某品牌瓶装饮料每箱的价格为26元，某商店对该饮料进行 “买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相 当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有____瓶. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8. 端午节是中国的传统节日，人 们有吃粽子的习俗.在端午节来临之际，某 商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千 克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子 的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，求该商场每 千克A粽子节后的进价是多少元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：设该商场每千克A粽子节后的进价是 元，则每千克A粽子节前的进价是 元， 根据题意，得 ， 解得， ， 经检验，， 都是原方程的解， 但 不符合实际，舍去. 答：该商场每千克A粽子节后的进价是10元． 1 2 3 4 5 6 7 8 10 A.＋＝1.2 B.＋＝1.2 C.＋＝ D．x＋(x－2)＝1.2 $第17章 17.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 核心必知 1.因式分解法的依据：如果 ，那么______________. 2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为0； ②将方程的左边化为两个一次因式的________的形式； ③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根． 或 乘积 3 1星题 基础练 1．[杭州期末]方程x(x－3)＝0的根是__________________. 2．方程(x－1)(x－2)＝0的根是_________________. x1＝0，x2＝3 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 3．一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A．x＝0 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝2 D．x1＝－2，x2＝－1 4．[杭州模拟]关于y的方程y(y－2)＝4(y－2)的解是__________________. B ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5.解方程： (1) ； 解：, ， ， 或，所以， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 (2) . 解：, ， ， ， 或，所以， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6. (高阶思维·批判性思维 嘉兴二模)小李与小王两位同学解方程2(x－2)＝(x－2)2的过程如下： 小李： 解：两边同除以(x－2)，得 2＝x－2， 则x＝4. 小王：解：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)(2－x－2)＝0. 则x－2＝0或2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若 错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．(8分) 解：小李：×；小王：×. 正确的解答过程：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)[2－(x－2)]＝0， 即(x－2)(4－x)＝0，所以x－2＝0或4－x＝0， 解得x1＝2，x2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.因为 ,所以一元二次方程 可以用因式分解法解，原方程化为_______ ____________，可得 或__________，所以原方程的 解是__________________. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 8.如果二次三项式能因式分解成 ， 那么方程 的两个根为( ) A A.， B., C., D., 9．解方程：x2－4x－21＝0.(8分) 解：x2－4x－21＝0，(x－7)(x＋3)＝0， x－7＝0或x＋3＝0，所以x1＝7，x2＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2星题 中档练 10. (分类讨论思想 安庆期中)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，则该三角形的周长是(　　) A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 11. (真实情境)如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．－1或－3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 12.解方程： (1) ； 解：， ， ，或 ， 解得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) . 解： ， ， ， ， 所以或，所以， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3星题 提升练 13. (整体思想)解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程x4＋2x2－8＝0时，可设y＝x2，则原方程可化为y2＋2y－8＝0，先解出y，再将y的值代入y＝x2中解x的值，由此高次方程得解． 根据上述方法，回答下列问题：(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 (1)若，则 的值 为___； 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 (2)解方程： . 解：设 ， 整理原方程，得 ， 即 ， 则，解得或 . 当时，，即 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 解得或 ； 当时，，即 ， 解得或 . 综上，或或或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 即时练透 【例题】解方程：x2＋3x＋2＝0. 【思路点拨】(1)将式子x2＋3x＋2用十字相乘法分解因式： ①分解二次项系数，因数分别写在交叉线的左上角和左下角； ②分解常数项，因数分别写在交叉线的右上角和右下角； ③交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图)． 得到x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 (1) ； 解：因式分解，得 ， 可得或 ， 解得， . (2)原方程可因式分解为(x＋1)(x＋2)＝0，解得x1＝－1，x2＝－2. 【针对练习】利用十字相乘法解一元二次方程：(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 (2) . 解：因式分解，得 , 所以或 , 解得, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 $