第17章　一元二次方程及其应用 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第3课时　利润问题 知识点：利润问题 1．“砀山梨”是安徽砀山著名特产，产品畅销省内外．现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品每涨价2元，日销售量将减少5箱．据此规律，要使每天的盈利达到600元，设每箱产品涨价x元，则列出关于x的方程是( ) A．(10－x)(50－2.5x)＝600 B．(10＋x)(50＋2.5x)＝600 C．(10－x)(50＋2.5x)＝600 D．(10＋x)(50－2.5x)＝600 D 2．水果店用1 500元购进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出．经结算，这批水果共盈利242.4元，已知两次打折的折扣相同，则每次的折扣是( ) A．7.5折 B．8折 C．8.8折 D．9折 3．一件进价为5元的小商品，当销售数量和销售单价一样大时，可获利84元，设销售数量为a件，则可列方程为 . C a(a－5)＝84 4．某商品现在的售价是每件130元，每日的销售量是70件．市场调查反映：若每件商品的售价涨1元，每日的销售量就减少1件．已知该商品的进价是每件120元，那么每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？ (1)解：设每件商品涨价x元，用含x的代数式表示： ①每件商品的售价为 元； ②日销售量为 件； (2)根据题意，列出相应方程为 ； (3)解这个方程，得 ； (4)130＋x＝ ； (5)答：每件商品定价为 元时，每日盈利可达到1 600元． (130＋x) (70－x) (130＋x－120)(70－x)＝1 600 x1＝x2＝30 160 160 5．某水果批发商经销一种苹果，1月份时该苹果的批发价为10元/kg，此后每个月该苹果的批发价逐月下降，到了3月份时该苹果的批发价为6.4元/kg. (1)苹果批发价每个月的平均降低率为 ； (2)2月份时，某水果店在该批发商处按该月批发价购进了300 kg苹果，第一天将苹果零售价格定为15元/kg，售出了5a kg；第二天，水果店将苹果的零售价降低了0.2a元/kg，又售出了剩下的所有苹果；结果这批苹果的利润为2 100元．则a的值为 . 20% 60 6．合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒．经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，水果店要想平均每天盈利3 000元，则每盒枇杷应降价多少元？ 解：设每盒枇杷降价x元，则每盒的利润为(30－x)元，平均每天可卖(50＋10x)盒．依题意得 (30－x)(50＋10x)＝3 000， 整理得x2－25x＋150＝0， 解得x1＝15，x2＝10. ∵要尽快减少库存，∴x＝15. 答：每盒枇杷应降价15元． 7．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．据市场调查发现，该商品的售价与销售量的关系：若每件的售价为a元，则可卖出(320－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.若商店要获利400元，则每件商品的售价应定为( ) A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 A 8．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数表达式； (2)在这段时间内，若商场销售总利润要达到7 500元，且还要完成不少于220件的销售任务，求此时的销售单价． 解：(1)由题意，设一次函数的表达式为y＝kx＋b， ∵图象过(100，300)，(120，200)， ∴∴ ∴所求函数表达式为y＝－5x＋800. (2)由题意得－5x＋800≥220，解得x≤116. 由题意得(x－80)(－5x＋800)＝7 500， 解得x1＝110，x2＝130(舍去)． 答：当销售单价为110元时，商场销售总利润达到7 500元，且还能完成不少于220件的销售任务． 9．古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． 【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． 【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力，如景区推出古城著名经典冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个． (2)若要使每天销售冰箱贴获利1 800元，则售价应降低多少元？ 解：(1)设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为x，由题意，得 5(1＋x)2＝7.2， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)． 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为20%. (2)设售价降低a元，则每天售出(500+)个，由题意，得 (10－5－a)(500++25)＝1 800， 解得a1＝2，a2＝－7(不符合题意，舍去)． 答：售价应降低2元． 微专题3： 巧用配方法求值 Ⅰ 【阅读理解】 先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4. ∵(y＋2)2≥0， ∴(y＋2)2＋4≥4， ∴y2＋4y＋8的最小值是4. 固本夯基 综合运用 拓广探索 请利用以上方法，解答下列问题： 1．当x＝ 时，代数式x2－2x－3有最 (选填“大”或“小”)值，是 . 2．当x＝ 时，代数式－2x2＋8x＋5有最 (选填“大”或“小”)值，是 . 3．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，则x－y＝ . 1 小 -4 2 大 13 3 固本夯基 综合运用 拓广探索 $17.5　一元二次方程的应用 第1课时　图形面积问题 知识点：面积问题 1．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为( ) A．x(x－12)＝864 B．(x＋x－12)2＝864 C．x(x＋12)＝864 D．(x＋x＋12)2＝864 C 2．如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边(宽度相同)，制成一幅长方形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2，设金色纸边的宽度为x cm，则x的值为( ) A．10 B．8 C．7 D．5 D 3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余空地的面积为20 m2，则原正方形空地的边长为 . 4．一个直角三角形的斜边长是2 cm，两条直角边长的和是 6 cm，则这个直角三角形的面积是 cm2. 7m 4 5．如图，某农场有一块长20 m，宽16 m的长方形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为252 m2，求小路的宽． 解：设小路的宽为x m，根据题意，得(20－x)(16－x)＝252， 解得x1＝2，x2＝34(不合题意，舍去)． 答：小路的宽为2 m. 6．如图，有一长方形空地，长为x m，宽为120 m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形． (1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长： m； (2)若丙地的面积为3 200 m2，请求出x的值． (x－120) 解：(2)丙的宽为120－(x－120)＝(240－x)m， ∴丙的面积为 (x－120)(240－x)＝3 200. 解得x1＝200，x2＝160. 答：x的值为200或160. 7．如图，一农户要建一个长方形猪舍，猪舍的一边利用长为15 m的住房墙，另外三边用27 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，当所围长方形猪舍的长＝ m，宽＝ m时，猪舍的面积为96 m2. 12 8 8．已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为1 125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1 800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意，得15x(20－x)＝1 125， 整理，得x2－20x＋75＝0. 解得x1＝5，x2＝15. ∴x的值为5或15. (2)不存在．理由：根据题意，得 15x(20－x)＝1 800，即x2－20x＋120＝0. ∵Δ＝(－20)2－4×1×120＝－80＜0， ∴此方程无解， 即不存在这样的x的值，使得包装盒的容积为 1 800 cm3. 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始，沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P沿射线AB方向从A点出发以 1 cm/s 的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动．若P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? 解：(1)设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2，依题意，得 (6－x)·2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4. ∴经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)设经过m s，△PBQ的面积为1 cm2. ①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(0<m<4)， 则(6－m)(8－2m)＝1，m2－10m＋23＝0， 解得m1＝5＋(不符合题意，舍去)，m2＝5－. ②点P在线段AB上，点Q在射线CB上(4<m<6)，则 (6－m)(2m－8)＝1，m2－10m＋25＝0， 解得m1＝m2＝5. ③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(m>6)，则(m－6)(2m－8)＝1， m2－10m＋23＝0， 解得m1＝5＋，m2＝5－(不符合题意，舍去)． 综上所述，经过(5－)s，5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2. 17.2.2　公式法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点：用公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是( ) A．5，6，－8 B．5，－6，－8 C．5，－6，8 D．6，5，－8 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac 的值为( ) A．52 B．32 C．20 D．－12 3．以x＝为根的一元二次方程是( ) A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 C D 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．用公式法解方程5x＋2＝3x2. 解：将方程化为一般形式，得 ， ∴a＝3，b＝ ，c＝ ，b2－4ac＝ ， 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 3x2-5x-2=0 -5 -2 49 2 － 固本夯基 综合运用 拓广探索 5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0中，b2－4ac＝8，则m＝ . 6．用公式法解下列方程： (1)x2－x－2＝0； 1 解：∵a＝1，b＝－1，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－2)＝9>0. 代入求根公式，得x＝＝， ∴x1＝－1，x2＝2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)x2＋3x－1＝0； (3)x2－3x＝－. 解：a＝1，b＝3，c＝－1， b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13＞0， ∴x1＝，x2＝. 解：将原方程化为一般形式为 x2－3x＋＝0， ∵b2－4ac＝9－4＜0， ∴方程无实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 易错点：利用公式法解方程时未化成一般形式 7．小明在解方程x2－5x＝－3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵a＝1，b＝－5，c＝－3，···································第一步 ∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3) ＝37，·······················································第二步 ∴x＝，····························································第三步 ∴x1＝，x2＝.···············································第四步 (1)小明的解答是从第 步开始出错的； 二 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)请写出本题正确的解答． 解：(2)方程化为一般式为x2－5x＋3＝0， a＝1，b＝－5，c＝3， Δ＝(－5)2－4×1×3＝13＞0， x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 8．若代数式2x2＋3x－5与2x＋1的值相等，则x的值为( ) A．x1＝，x2＝－2 B．x1＝－，x2＝2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝x2＝－ A 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．设x1为一元二次方程2x2－4x＝较小的根，则( ) A．0<x1<1 B．－1<x1<0 C．－2<x1<－1 D．－5<x1<－ B 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．【核心素养·几何直观】如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的长方形．若x＝1.则 　　 (1)y的值为 ； (2)正方形纸片的面积为 . 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．用公式法解下列方程： (1)－x2－x＋＝0 解：将方程两边同乘－6，得3x2＋2x－5＝0， 则a＝3，b＝2，c＝－5， ∴b2－4ac＝64＞0， 代入求根公式，得x1＝1，x2＝－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2. 解：将方程化为一般形式，得y2－4y＋2＝0， ∴a＝1，b＝－4，c＝2， ∴b2－4ac＝8>0. 代入求根公式，得y1＝2＋，y2＝2－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．【换元思想】已知(m2＋n2)2－(m2＋n2)－6＝0，求m2＋n2的值． 解：令m2＋n2＝x，则(m2＋n2)2－(m2＋n2)－6＝0可整理为 x2－x－6＝0. 此时a＝1，b＝－1，c＝－6. ∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0. 代入求根公式，得x＝＝. ∴方程x2－x－6＝0的解为x1＝－2，x2＝3. 又∵m2＋n2≥0， ∴x≥0. ∴x＝3，即m2＋n2的值为3. 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题 ，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能通过图解等方法来求解．欧几里得的《几何原本》记载，形如x2＋ax＝b2(a>0，b>0)的方程的图解法是(如图)：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根为( ) A．CD的长 B．AC的长 C．AD的长 D．BC的长 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 $第2课时　变化率问题 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：平均变化率问题 1．好几个省作为国家首批电子商务进农村示范省，这些省先后携手多家电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“省特产卖全国”．根据某农村超市统计十月份的营业额为38万元，十二月份的营业额为 50万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ) A．50(1＋x)2＝38 B．38(1－x)2＝50 C．38(1＋x)2＝50 D．50(1－x)2＝38 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A．20% B．11% C．22% D．44% 3．某市2023年8月山区森林覆盖率为58.8%，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植树造林活动之后，在2025年8月山区森林覆盖率达到67%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程为 . A 58.8%(1＋x)2＝67% 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比 2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率． 解：设3月份到5月份营业额的平均增长率为x，则400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6， (1＋x)2＝1.44，x＝20%. 答：3月份到5月份营业额的平均增长率为20%. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：下降率问题 5．某厂生产某种电子产品的技术高速发展，起初该厂生产一件产品的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本下降了30.2元．设每次的成本下降率均为x，则下列方程正确的是( ) A．225(1－2x)＝225－30.2 B．30.2(1＋x)2＝225 C．225(1－x)2＝30.2 D．225(1－x)2＝225－30.2 B 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．某商品每件300元，经过两次降价后，售价为243元．若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件 元． 7．某工厂计划用两年将某产品的成本降低19%，求平均每年降低成本的百分数． 270 解：设原来的成本为a，平均每年下降x，则 a(1－x)2＝a(1－19%)， (1－x)2＝1－19%， x＝10%或x＝190%(舍去)． 答：平均每年降低成本的百分数为10%. 固本夯基 综合运用 拓广探索 8．某品牌手机经过5，6月份连续两次降价后，每部的售价由5 000元降到3 600元，且第一次降价的百分率是第二次的2倍．设第二次降价的百分率为x，则可列方程为( ) A．5 000(1－x)(1－2x)＝3 600 B．3 600(1－x)(1－2x)＝5 000 C．5 000(1－x)(1-)＝3 600 D．3 600(1＋x)(1＋2x)＝5 000 A 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．某乡为了让农民走上致富的道路，准备贷款给农民建池塘办养殖业.2024年乡政府共投资贷款 2万元人民币修建池塘80 m2.预计到2026年底乡政府三年累计投资贷款9.5万元人民币用于修建池塘，若在这两年内乡政府每年投资贷款的增长率相同． (1)求每年乡政府投资贷款的增长率； (2)若近几年内的修建成本不变，则到2026年底某乡共贷款修建多少平方米的池塘？ 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：(1)设每年乡政府投资贷款的增长率为x， 根据题意得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5. 解得x＝0.5＝50%或x＝－3.5(舍去)． 答：每年乡政府投资贷款的增长率为50%. (2)根据题意得9.5×＝380(m2)． 答：若近几年内的修建成本不变，到2026年底共修建380 m2的池塘． 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． (1)求冰箱贴的原价； 解：(1)设冰箱贴的原价为x元，由题意，得 5x＋(x－5)(x－2)＝90， 整理，得x2－2x－80＝0， 解得x1＝10，x2＝－8(舍去)． 答：冰箱贴的原价为10元． 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． (2)设降价的百分率为m，由题意，得 10(1－m)2－2＝6.1， 整理，得(1－m)2＝0.81， 解得m1＝0.1＝10%，m2＝1.9(舍去)． 答：降价的百分率为10%. 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． (1)A社区居民人口至少有多少万人？ 解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5－x)万人，依题意得 7．5－x≤2x，解得x≥2.5. 即A社区居民人口至少有2.5万人． 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． (2)依题意得1.2(1＋m%)2＋1×(1＋m%)×(1＋2m%)＝7.5×76%， 设m%＝a，方程可化为 1．2(1＋a)2＋(1＋a)(1＋2a)＝5.7， 化简得32a2＋54a－35＝0， 解得a＝0.5或a＝－(舍)，∴m＝50. 答：m的值为50. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $微专题2： 巧用一元二次方程根的定义求值 Ⅰ 【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解． 【针对训练】 1．若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为( ) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 D 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．已知m为方程x2＋3x－2 026＝0的根，那么m3＋2m2－2 029m＋2 026的值为( ) A．－2 025 　 B．0 C．2 025 D．4 050 3．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝ . B -2 【解析】m3＋2m2－2 029m＋m2＋3m＝m(m2＋3m)－2 026m＝0. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $数学活动　 挪球游戏 Ⅰ 1．现有三堆球，数量分别为 a＝1，b＝5，c＝44，按照挪球规则，应该如何操作，请填写表格： 操作步骤 A堆球数 B堆球数 C堆球数 初始状态 1 5 44 第一步 2(B→A，移1个) 4 44 第二步 4(C→A，移2个) 4 42 最终结果(至多两堆) 8(B→A，移4个) 0 42 固本夯基 综合运用 拓广探索 2.若三堆球数量为 a＝1，b＝15，c＝34，请写出前3步的操作过程(说明移出堆，移往堆及移动球数)，并写出最终合并后的两堆球数． 解：第一步：B→A，移1个(A＝2，B＝14，C＝34)； 第二步：B→A，移2个(A＝4，B＝12，C＝34)； 第三步：B→A，移4个(A＝8，B＝8，C＝34)； 最终合并后两堆球数：16和34(第四步B→A移8个，A＝16，B＝0，C＝34)． 固本夯基 综合运用 拓广探索 3．观察教材及本页前两题中A堆球数的变化，回答下列问题： (1)A堆球数在操作过程中呈现什么规律？请用具体数据说明； (2)操作步骤中，每次移动的球数与哪一堆的球数相关？有什么特征？ (3)分析B堆球数的变化特点，结合操作规则解释：为什么在多数情况下，最终能将三堆球合并为两堆？合并后两堆球数的和与初始总球数有什么关系？ 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：(1)A堆球数呈2倍递增规律(1→2→4→8→16)，如教材中A堆从1到2，4，8，16，本页题中A堆从1到2，4，8，16. (2)每次移动的球数与移往堆当前球数相等，特征为均是2的整数次幂(1，2，4...)． (3)因为操作中总有一堆球数会通过2倍递增达到可覆盖另一堆的数量，最终使其中一堆球数变为0(如B堆被A堆合并)，故能合并为两堆；合并后两堆球数的和等于初始总球数(如前两题初始和为50，最终两堆和均为50)． 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．当 a>1 时，现有三堆球 a＝3，b＝11，c＝36，请尝试按照规则完成挪球操作，记录关键步骤，并回答：此时A堆球数的变化规律与 a＝1 时相比，有什么相同点和不同点？ 解：关键步骤： 第一步：B→A，移3个(A＝6，B＝8，C＝36)； 第二步：C→A，移6个(A＝12，B＝8，C＝30)； 第三步：C→A，移12个(A＝24，B＝8，C＝18)； 第四步：A→B，移8个(A＝16，B＝16，C＝18)； 第五步：B→A，移16个(A＝32，B＝0，C＝18)． 相同点：最终均合并为两堆，总球数不变； 不同点：a＝1 时A堆呈2倍递增，a>1时A堆无固定2倍递增规律，初始堆数较大时易先合并其他堆． 固本夯基 综合运用 拓广探索 $第2课时　配方法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：配方 1．将二次三项式x2＋4x－96配方，下列正确的是( ) A．(x＋2)2＋100 B．(x－2)2－100 C．(x＋2)2－100 D．(x－2)2＋100 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．用适当的数填空： (1)x2＋4x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－3x＋＝(x－ )2； (3)4x2－20x＋ ＝( －5)2； (4)x2－x＋ ＝ (x－ )2. 4 2 25 2x 1 固本夯基 综合运用 拓广探索 3．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋4＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为 . 5或－3 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：用配方法解方程 4．用配方法解方程x2＋4x＝5时，配方正确的是( ) A．(x＋2)2＝－1 B．(x＋2)2＝－9 C．(x＋2)2＝1 D．(x＋2)2＝9 5．对方程x2＋x－＝0进行配方，得x2＋x＋m＝＋m，其中m＝ . D 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．用配方法解方程x2＋10x＋16＝0. 解：移项，得 . 两边同时加52，得 ＋52＝ ＋52. 左边写成完全平方的形式，得 . 方程两边开方，得 . 解得 . x2＋10x＝－16 x2＋10x -16 (x＋5)2＝9 x＋5＝±3 x1＝－2，x2＝－8 固本夯基 综合运用 拓广探索 7．用配方法解下列方程： (1)x2－2x－5＝0； (2)x2＋x－＝0； 解：x2－2x＝5， x2－2x＋1＝5＋1， 即(x－1)2＝6， ∴x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 解：(x＋)2＝， ∴x1＝，x2＝－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)2x2＋5x－12＝0； 解：2x2＋5x＝12， ∴x2＋x＝6， ∴x2＋x＋＝6＋， 即(x+)2=， ∴x＋＝±， ∴x1＝，x2＝－4. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (4)x2＋x－2＝0. 解：x2＋x＝3， (x+)2＝， ∴x1＝，x2＝－2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 8．用配方法解下列方程，其中应在等号左右两边同时加上9的方程是( ) A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3 C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3 9．对于任意实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是( ) A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2 B D 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．已知P＝m2－m，Q＝m－2，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．无法确定 11．一元二次方程x2－2x＋m＝0配方后得(x－1)2＝n，则m＋n的值是 . A 1 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．用配方法解方程： (1)x2－6x－7＝0； (2)x(x＋4)＝6x＋12； 解：x2－12x－14＝0， x2－12x＝14， (x－6)2＝50，x－6＝±5， ∴x1＝6＋5， x2＝6－5. 解：方程可化为x2－2x＝12， 配方，得(x－1)2＝13， x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)3(x－1)(x＋2)＝x－7. 解：(x+)2＝－， ∵－<0， ∴原方程无实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．规定 ＝ad－bc.例如 ＝1×4－(－3)×2＝10，若 ＝0，求x的值． 解：根据新定义，可得＝(2x2－3)×1－6x＝0， 即2x2－6x－3＝0. 二次项系数化1，得x2－3x－＝0， 移项，得x2－3x＝， 配方，得x2－3x＋＝＋， ∴(x-)2＝，∴x－＝±，∴x1＝，x2＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $复习提升(二)　 一元二次方程及其应用 Ⅰ 【考点突破】 考点一：一元二次方程的有关概念 1．下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A．x－1＝2x－3 B．2x－x2＝0 C．3x－2＝y D.－x＋3＝0 B 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．若一元二次方程(a－3)x2－2x＋a2－9＝0的一个根是x＝0，则a的值是( ) A．2 B．3 C．3或－3 D．－3 3．将一元二次方程3x2＝－2x＋5化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为 . D -3 固本夯基 综合运用 拓广探索 考点二：一元二次方程的解法 4．用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是 ( ) A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17 5．已知x≠0，且x2－xy－6y2＝0，则的值为( ) A．3 B. C．－ D.或－ C D 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．已知关于x的方程a(x－m)2＋k＝0(a，m，k均为常数，且a≠0)的两个解是x1＝1，x2＝4，则方程a(x－m－2)2＋k＝0的解是( ) A．x1＝1，x2＝－2 B．x1＝3，x2＝6 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝－1，x2＝2 7．一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为 . B 14 固本夯基 综合运用 拓广探索 8．用适当的方法解下列方程： (1)x2－4x－12＝0； (2)(x－5)2－8＝0； 解：将方程左边分解因式， 得(x－6)(x＋2)＝0， ∴x－6＝0，或x＋2＝0. ∴x1＝6，x2＝－2. 解：移项得(x－5)2＝8， ∴(x－5)2＝16， ∴x－5＝±4. ∴x1＝1，x2＝9. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)x2－x＋1＝0. 解：a＝，b＝－，c＝1， b2－4ac＝(－)2－4××1＝1>0. 代入求根公式，得x＝＝±1. ∴x1＝＋1，x2＝－1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 考点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 9．已知α，β是方程x2＋2 021x＋1＝0的两个根，则(1＋2 026α＋α2)(1＋2 026β＋β2)的值为( ) A．4 B．9 C．12 D．25 10．已知关于x的方程(m－1)x2－4mx＋4m－2＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≥且m≠1 B．m≥1 C．m> D．m≥ D D 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．已知关于x的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若x1x2＝5，求k的值． 解：(1)Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＞0， 解得k＞. (2)x1x2＝k2＋1＝5， 解得k1＝－2，k2＝2， ∵k＞，∴k＝2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 考点四：一元二次方程的应用 12．某厂1月份生产某大型机器20台，计划2，3月份共生产90台该大型机器，设2，3月份每月生产该大型机器数量的平均增长率为x，根据题意可列方程为( ) A．20(1＋x)2＝90 B．20(1－x)2＝90 C．20(1＋x)＋20(1＋x)2＝90 D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝90 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少 5件．若要使一天的总利润为1 120元，则该产品的质量档次为 . 6 固本夯基 综合运用 拓广探索 14．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4.求此次参加表演的机器人的总个数． 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为n2.根据题意，有 (n－4)(2n－1)＝n2－4， 化简得，n2－9n＋8＝0，解得n＝1或n＝8， ∵n＝1时，行数n－4＝－3(不合理)， ∴n＝8.总机器人数为n2＝64. 答：此次参加表演的机器人的总个数为64. 固本夯基 综合运用 拓广探索 综合提升】 15．某小区计划用40 m的篱笆围一个长方形花坛，其中一边靠墙(墙足够长，篱笆要全部用完)． (1)如图①，AB为多少米时，长方形ABCD的面积为200 m2? (2)如图②，长方形EMNF的面积比(1)中的长方形ABCD面积小20 m2，小明认为只要此时长方形的长MN比图①中长方形的长BC少2 m就可以了．请通过计算，判断小明的想法是否正确． 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：(1)设AB＝x m，则BC＝(40－2x)m， 依题意得x(40－2x)＝200， 整理得x2－20x＋100＝0， 解得x1＝x2＝10. 答：AB为10 m时，长方形ABCD的面积为200 m2. (2)由(1)可知：BC＝40－2x＝40－2×10＝20. ∵MN＝BC－2＝20－2＝18(m)， ∴EM＝＝＝11(m)， ∴长方形EMNF的面积＝MN·EM＝18×11＝198(m2)， 200－20＝180≠198， ∴小明的想法不正确． 固本夯基 综合运用 拓广探索 $17.3　 一元二次方程根的判别式 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：利用“Δ”判断方程根的情况 1．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 A 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．(上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 3．一元二次方程2x2－3x＋4＝0中，Δ＝ ，该方程的根的情况为 ． D -23 无实数根 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)2x2－2x＋1＝0； (2)16y2＋9＝24y； 解：a＝2，b＝－2，c＝1， Δ＝b2－4ac＝－4<0， ∴此方程无实数根． 解：原方程可变形为 16y2－24y＋9＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0. ∵a＝3，b＝－5，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝61>0. ∴此方程有两个不相等的实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：利用根的判别式求字母的值或取值范围 5．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有两个实数根，则a的值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝ . D 2 固本夯基 综合运用 拓广探索 7．关于x的方程：(x－1)×(x－p)＝1.试说明：无论p取任何值时，方程总有两个不相等的实数根． 解：原方程变形为一般形式为 x2－(1＋p)x＋p－1＝0， Δ＝[－(1＋p)]2－4×1×(p－1) ＝1＋2p＋p2－4p＋4 ＝1－2p＋p2＋4 ＝(1－p)2＋4， ∵(1－p)2≥0， ∴(1－p)2＋4>0， 即Δ>0， ∴无论p取任何值时，方程总有两个不相等的实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 易错点一：忽略一元二次方程的二次项系数不为0 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 . 易错点二：未对方程进行分类讨论导致漏解 9．已知关于x的方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是 . k>－1且k≠0 m≤3 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．已知一元二次方程ax2＋x＋1＝0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是( ) A．a＝－1，b＝－4 B．a＝0，b＝0 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝4 D 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 A 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为 . 13．已知关于x的一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－2)x＋1＝0有实数根， (1)m的取值范围为 ； (2)当m取最大整数值时，3x2＋12x＋3的值为 . 2 m≤且m≠±1 6 固本夯基 综合运用 拓广探索 14．(广州中考)已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2. (1)化简T； (2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值． 解：(1)T＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2 ＝6a2＋6ab. (2)∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0. ∴a2＋ab＝1. ∴T＝6×1＝6. 固本夯基 综合运用 拓广探索 15．如果关于x的方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的情况． 解：当m＝－1时，方程化为－3x－2＝0， 解得x＝－，不符合题意， 当m≠－1时，∵方程没有实数根， ∴(2m－1)2－4(m＋1)(m－1)<0，解得m>. 当m＝3时，方程化为－12x－8＝0， 解得x＝－，方程有一个根； 当m>且m≠3时，Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]>8[(+2)2－7]>0， 此时方程有两个不相等的实数解． 固本夯基 综合运用 拓广探索 16．【运算能力】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4(k-)＝0. (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． (1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4×4(k-) ＝(2k－3)2≥0， 故方程总有两个实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)解：若底边为a＝4，则b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝，x1＝x2＝2，有b＋c＝a，不能构成三角形；若腰为a＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可得k＝，从而解得 x1＝2，x2＝4， ∴△ABC的周长为10. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $小专题(一)　 一元二次方程解法归类 Ⅰ 类型一：直接开平方法 【方法指导】 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，用直接开平方法求解． 1．解下列方程． (1)3x2＝12； 解：x2＝4， x＝±2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)(x＋1)2－9＝0； (3)(2x＋3)2＝(3x＋2)2. 解：(x＋1)2＝9， x＋1＝±3， x1＝2，x2＝－4. 解：直接开平方，得 2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2. 解得x1＝1，x2＝－1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型二：配方法 【方法指导】 当方程可化为二次项系数为1，且一次项系数是偶数时，用配方法求解． 2．解方程： (1)x2＋4x－3＝0； 解：x2＋4x＝3， x2＋4x＋22＝3＋22， (x＋2)2＝7， x＋2＝，x＋2＝－， x1＝－2＋，x2＝－2－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)4x2－8x＋3＝0； (3)x2－x＝3x＋5. 解：4x2－8x＝－3， x2－2x＝－， x2－2x＋1＝1－， (x－1)2＝， x－1＝或x－1＝－， x1＝，x2＝. 解：移项，得x2－4x＝5. 配方，得x2－4x＋4＝5＋4， 即(x－2)2＝9. 开平方，得x－2＝±3. ∴x1＝5，x2＝－1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型三：公式法 【方法指导】 当方程没有明显特征时，用公式法求解，除了适合用直接开平方和因式分解法外的方程均可用公式法求解． 3．解方程： (1)x2－5x＋2＝0； 解： 这里a＝1, b＝－5, c＝2, 因而b2－4ac＝25－4×1×2＝17> 0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)3x2＋5x＝－4； (3)2x2－2x－1＝0. 解：原方程可化为3x2＋5x＋4＝0， 则a＝3，b＝5，c＝4. ∴b2－4ac＝52－4×3×4 ＝－23<0. ∴原方程无实数根． 解：2x2－2x－1＝0， a＝2，b＝－2，c＝－1， Δ＝b2-4ac＝4－4×2×(－1)＝12>0， ∴x1＝，x2＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型四：因式分解法 【方法指导】 当方程可化为一边为0，另一边为两个一次因式的积的形式或缺少常数项时，用因式分解法求解． 4．解方程： (1)3x2－5x＋2＝0； 解：因式分解可得 (3x－2)(x－1)＝0， ∴x－1＝0或3x－2＝0， ∴x1＝1，x2＝. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)3x(x－2)＝x－2； (3)(x＋2)2－4(x－3)2＝0. 解：3x(x－2)－(x－2)＝0. (x－2)(3x－1)＝0. ∴x1＝2，x2＝. 解：把方程左边分解因式，得 [(x＋2)＋2(x－3)][(x＋2)－2(x－3)]＝0， 即(3x－4)(－x＋8)＝0， ∴3x－4＝0或－x＋8＝0， ∴x1＝，x2＝8. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型五：换元法 【方法指导】 换元法时将较复杂的一元二次方程或次数较高的偶次方程，通过换元，转化为一元二次方程．先解换元后的一元二次方程，进而求出原方程的解． 固本夯基 综合运用 拓广探索 5．(金山区期中)降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程x4－x2－12＝0时，可以将x2看成一个整体，设x2＝y，则x4＝y2.原方程可化为y2－y－12＝0，解得y1＝4，y2＝－3.当y＝4时，x2＝4，所以x1＝－2，x2＝2；当y＝－3时，此方程没有实数根，所以原方程的根为x1＝－2，x2＝2.请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： 固本夯基 综合运用 拓广探索 (1)y4－16y2＝0； 解：(1)令y2＝t， 则t2－16t＝0， 解得t＝0或t＝16， 当t＝0时，y2＝0，∴y1＝y2＝0； 当t＝16时，y2＝16，∴y3＝4，y4＝－4. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)(y2－3y－3)(y2－3y＋1)＝5. (2)令y2－3y＝m， 则(m－3)(m＋1)＝5， 即m2－2m－8＝0， 解得m＝4或m＝－2， 当m＝4时，y2－3y＝4，y2－3y－4＝0， y1＝4，y2＝－1； 当m＝－2时，y2－3y＝－2，y2－3y＋2＝0， y3＝1，y4＝2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $小专题(二)　 一元二次方程的应用 Ⅰ 类型一：跨学科问题 1．如图，小球悬浮于液体中(F浮＝G，G＝mg，g＝10 N/kg)，若F浮＝20 N，小球质量m为(x2＋x)kg，则x的值为( ) A．1 B．4 C．1或－2 D．－2 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型二：变化率问题 2．某超市一月份的营业额为20万元，已知第一季度的总营业额共100万元．如果营业额平均每月的增长率为x，那么由题意可列方程为 . 3．已知某种型号的医 疗器械连续两年降价，第一年降价20%，第二年降价80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是 . 20[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝100 60% 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型三：面积问题 4．如图，某中学有一块长30 m，宽20 m的长方形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度均为x m的“U”形区域种花，则花带的宽度为 m. 5 固本夯基 综合运用 拓广探索 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动． (1)问几秒后△PBQ的面积为8 cm2? 解：设x s后△PBQ的面积为8 cm2. ∵AP＝x cm，QB＝2x cm， ∴PB＝(6－x)cm， CQ＝(12－2x)cm. 由题意，得×2x(6－x)＝8， 解得x1＝2，x2＝4. ∴2 s或4 s后△PBQ的面积为8 cm2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)是否存在这样的时刻，使得S△PDQ＝8 cm2？试说明理由． 解：不存在． 理由：设出发y s时△PDQ的面积为8 cm2. S△PDQ＝S长方形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ. 由(1)可得，12×6－×12y－×2y(6－y)－×6×(12－2y)＝8， 整理，得y2－6y＋28＝0. ∵Δ＝36－4×28＝－76<0，∴原方程无解， ∴不存在这样的时刻，使得S△PDQ＝8 cm2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型四：循环问题 6．某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，则参加比赛的球队个数为( ) A．6 B．12 C．7 D．14 7．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包．若此次活动中，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有( ) A．12人 B．13人 C．14人 D．15人 C B 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型五：和差倍分问题 8．把48张图片平均分给若干名学生，每人分得的图片数比学生人数少2.设学生有x人，则可列方程为 . 9．某果园种植了一片苹果树，总共有630棵．已知苹果树的行数比每行棵数多9，问果园有多少行苹果树？ x(x－2)＝48 解：设每行棵数为m，则行数为m＋9.根据题意得m(m＋9)＝630， 解得m1＝21，m2＝－30(舍去)，∴m＋9＝30， ∴果园有30行苹果树． 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型六：工程问题 10．西部建设中，某工程队承包了一段72 km的铁轨的铺设任务，计划若干天完成，在铺设完一半后，增添工作设备，改进了工作方法，这样每天比原计划可多铺3 km，结果提前了2天完成任务．原计划每天铺多少千米？计划多少天完成任务？ 解：设原计划每天铺x km.根据题意，得＝＋＋2. 整理，得x2＋3x－54＝0. 解得x1＝6，x2＝－9(不合题意，舍去)． 经检验，x＝6是原方程的根， 当x＝6时，＝12(天)． 答：原计划每天铺6 km，计划12天完成任务． 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型七：数字问题 11．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10，若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 . 24 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字、十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为x2－2.根据题意，得 [10(x2－2)＋x]－(10x＋x2－2)＝36. 整理，得x2－x－6＝0. 解得x1＝3，x2＝－2(不符合题意，舍去)． ∴x2－2＝32－2＝7. ∴原来的两位数为73. 固本夯基 综合运用 拓广探索 类型八：销售问题 13．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元/个的书包以40元/个的价格出售时，平均每月可售出600个，并且每个书包的售价每提高1元，则每月的销售量就减少10个． (1)若售价定为42元/个，则每月可售出书包多少个？ (2)若书包的月销售量为300个，则每个书包的售价为多少元？ (3)当该商场每月销售这种书包有10 000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为多少？ 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：(1)当售价为42元/个时，每月可售出的书包个数为 600－10×(42－40)＝580. (2)当书包的月销售量为300个时，每个书包的售价为 40＋(600－300)÷10＝70(元)． (3)设销售价格定为x元/个，根据题意，得 (x－30)[600－10(x－40)]＝10 000， 整理，得x2－130x＋4 000＝0. 解得x1＝50，x2＝80. 当x＝50时，销售量为 600－10×(50－40)＝500(个)； 当x＝80时，销售量为 600－10×(80－40)＝200(个)． 因此为体现“薄利多销”的销售原则，销售价格应定为50元/个． 固本夯基 综合运用 拓广探索 $17.2.3　 因式分解法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：解形如“AB＝0”或“A(x＋m)＝nA”的一元二次方程 1．方程x(x＋2)＝0的根是( ) A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2 【变式】若一元二次方程的二次项系数为1，两根分别为－2和3，则该一元二次方程为 ． C (x＋2)(x－3)＝0(或x2－x－6＝0) 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是( ) A．x＝5 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 3．一元二次方程7x2－21＝0的解为 . D x1＝，x2＝－ 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝0； (2)3x(x－2)＝2－x. 解：x(x－6)＝0， ∴x＝0或x－6＝0， ∴x1＝0，x2＝6. 解：3x(x－2)＋(x－2)＝0， (x－2)(3x＋1)＝0， ∴x＝2，x2＝－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：解形如“x2＋(a＋b)x＋ab＝0”的一元二次方程 5．方程x2＋4x＋3＝0的两个根为 ( ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3 D 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0； (2)x2－3x－28＝0. 解：(x＋4)(x－3)＝0， ∴x1＝－4，x2＝3. 解：(x－7)(x＋4)＝0， ∴x1＝7，x2＝－4. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点三：用适当的方法解一元二次方程 7．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 D 固本夯基 综合运用 拓广探索 易错点：方程两边同除以含有未知数的代数式致错 8．小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下： 小敏： 两边同除以(x－3) 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得 (x－3)(3－x－3)＝0. 则x－3＝0或3－x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝0. 固本夯基 综合运用 拓广探索 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 解：小敏：×；小霞：×. 正确的解答： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0. 则x－3＝0或3－x＋3＝0， ∴x1＝3，x2＝6. 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．【整体思想】若(x＋2y)2＋3(x＋2y)－4＝0，则x＋2y的值为( ) A．1 B．－4 C．1或－4 D．－1或3 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．等腰三角形ABC的两边长分别是一元二次方程x2－9x＋18＝0两个解，则这个等腰三角形的周长是( ) A．9 B．12 C．15 D．12或15 【变式】一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为 . C 12 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．已知正比例函数y＝－x的图象上有一个点M，点M的横坐标是方程x2＋5x－14＝0的根，则点M的纵坐标为 . 2或－ 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．用因式分解法解下列方程： (1)(3x＋2)2－4x2＝0； (2)x2－10x＋25＝2(x－5)； 解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0， (5x＋2)(x＋2)＝0， ∴x1＝－，x2＝－2. 解：(x－5)2＝2(x－5)， (x－5)2－2(x－5)＝0， (x－5)(x－5－2)＝0， (x－5)(x－7)＝0， ∴x1＝5，x2＝7. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝13. 解：原方程可化为x2＋2x－8＝0， (x－2)(x＋4)＝0， ∴x1＝2，x2＝－4. 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴正半轴上，且线段OA，OB(OA＜OB)的长分别为方程x2－5x＋4＝0的两个根，点C在y轴正半轴上，且OB＝2OC.求A，B，C三点的坐标． 解：方程变形为(x－1)(x－4)＝0， 解得x1＝1，x2＝4， ∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4， ∵A，B分别在x轴正半轴上， ∴A(1，0)，B(4，0)； 又∵OB＝2OC，且点C在y轴正半轴上， ∴OC＝2，∴C(0，2)． 固本夯基 综合运用 拓广探索 14．阅读下面的例题，解方程(x－1)2－5|x－1|－6＝0. 例：解方程x2－|x|－2＝0. 解：令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0， 解得y1＝2，y2＝－1， 当|x|＝2时，x＝±2； 当|x|＝－1时，不合题意，舍去， ∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：令y＝|x－1|， 原方程可化为y2－5y－6＝0， 解得y＝－1或y＝6， 当|x－1|＝－1时，不符合题意，舍去； 当|x－1|＝6时，即x－1＝6或x－1＝－6， 解得x＝7或x＝－5. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $17.2　一元二次方程的解法 17．2.1　配方法 第1课时　直接开平方法 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 知识点一：形如x2＝p(p≥0)的解法 1．一元二次方程x2－1＝0的解是( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝0 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．若关于x的一元二次方程x2－m＝0有实数根，则m的取值范围是 ( )A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0 3．一元二次方程x2＝0.09的解为 . D x1＝0.3，x2＝－0.3 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．解下列方程： (1)9x2＝25； (2)3x2＋5＝4. 解：x2＝， ∴x1＝，x2＝－. 解：3x2＝－1， ∴x2＝－. ∴方程无实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法 5．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 D 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．用直接开平方法解下列方程： (1)3(x－1)2＝12； (2)(2x＋3)2＝49. 解：x－1＝±2， ∴x1＝3，x2＝－1. 解：2x＋3＝±7， ∴x1＝2，x2＝－5. 固本夯基 综合运用 拓广探索 易错点：忽视一元二次方程若有解就是两个 7．方程(x＋2)2＝0的解是 . x1＝x2＝－2 固本夯基 综合运用 拓广探索 8．已知三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为( ) A．18 B．12 C．16 D．12或16 9．已知方程(x－2)2＝1的根也是方程x2－2mx＋1＝0的根，则m＝ . C 或1 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．【核心素养·创新意识】对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x2－1，2x2}＝2， (1)可列方程为 ； (2)x的值为 . x2－1＝2 ± 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．用直接开平方法解下列方程： (1)4(x－2)2－36＝0； 解：4(x－2)2＝36，(x－2)2＝9， x－2＝±3， ∴x1＝5，x2＝－1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)x2＋2x＋1＝3. 解：(x＋1)2＝3， x＋1＝±， x＝－1±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $第4课时　可化为一元二次方程的分式方程及应用 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：解可化为一元二次方程的分式方程 1．将分式方程2－＝去分母，整理后可得( ) A．5x－1＝0 B．5x＋3＝0 C．2x2＋3x＋1＝0 D．2x2－3x－1＝0 2．分式方程－＝1的解为 . D x=-1 固本夯基 综合运用 拓广探索 3．解方程：＋＝. 解：方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得 x－3＋6＝x2＋3x. 整理，得(x＋3)(x－1)＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. 当x＝－3时，(x＋3)(x－3)＝0， ∴x＝－3不是原方程的根． 当x＝1时，(x＋3)(x－3)≠0， ∴x＝1是原方程的根． ∴原方程的根为x＝1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：可化为一元二次方程的分式方程的应用 4．一列客车已晚点6 min，如果将速度每小时加快10 km，那么继续行驶20 km便可准时到达，如果设客车原来行驶的速度是x km/h，可列出分式方程为( ) A.－＝6 B.－＝6 C.－＝ D.－＝ C 固本夯基 综合运用 拓广探索 5．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且甲队提前天完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台空调，根据题意，列出方程为 . - 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．解放军某部接到了为干旱受灾区限期打 30口水井的工作任务，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务．原计划每天打多少口井？ 解：设原计划每天打x口井，由题意列方程为－＝5. 整理得x2＋3x－18＝0. 解得x1＝3，x2＝－6(舍去)， 经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天打3口井． 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点三：其他问题 7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 8．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场 个． 易错点：把“单循环赛”和“双循环赛”弄混淆 9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 . B 5 x(x－1)＝72 固本夯基 综合运用 拓广探索 10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12 m，在绿灯亮时，小敏共用22 s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是 . 1 m/s 固本夯基 综合运用 拓广探索 12．某玩具店采购员第一次用100元去采购某品牌玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元，则第二次采购玩具多少件？ 解：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x－10)件．根据题意，得＋＝， 整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60. 经检验，x1＝50，x2＝60都是原方程的解． 当x＝50时，每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)， 高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当x＝60时，每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)， 低于玩具的售价，符合题意． 答：第二次采购玩具60件． 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．【核心素养·推理能力】某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合作，6天可以完成，需工程费用10 200元；若甲队单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？ 固本夯基 综合运用 拓广探索 解：设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天完成，依题意得 ＋＝， 整理得x2－7x－30＝0， 解得x1＝10，x2＝－3(不合题意，舍去)， 经检验，x＝10是原方程的根，则x＋5＝15. 设甲队每天的工程费用为a元，乙队每天的工程费用为b元．依题意得解得 ∴甲队单独完成的费用：1 000×10＝10 000(元)， 乙队单独完成的费用：700×15＝10 500(元)． ∵10 000<10 500， ∴从节省资金的角度考虑，应选甲队． 固本夯基 综合运用 拓广探索 $17.4　一元二次方程的根与系数的关系 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系 1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．－2 B．－3 C．2 D．3 2．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝4的两根，则x1＋x2的值是( ) A．0 B．3 C．－2 D．4 B B 固本夯基 综合运用 拓广探索 3．以3和－1为两根的一元二次方程是( ) A．x2＋2x－3＝0 B．－2x2－4x＋6＝0 C．3x2－6x－9＝0 D．x2－2x＋3＝0 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x＋1＝0， x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (2)2x2＋3＝7x2＋x， x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (3)5x－5＝6x2－4， x1＋x2＝ ，x1x2＝ . -2 1 - - 固本夯基 综合运用 拓广探索 5．设方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值： (1)x12＋x22；　　　　 (2)＋. 解：∵x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝2. (1)原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12. (2)原式＝＝2. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点二：运用根与系数的关系求字母的值 6．如果一元二次方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根互为相反数，那么有( ) A．m＝0 B．m＝－1 C．m＝1　　 D．以上结论都不对 B 固本夯基 综合运用 拓广探索 7．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为( ) A．－ B. C．－6 D．6 8．一元二次方程x2－4x＋c＝0有一个根为3，则另外一个根为 ，c＝ . A 1 3 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－1＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，求k的值． (1)证明：∵b2－4ac＝k2＋4>0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)解：x1＋x2＝－k，x1x2＝－1， 由x1＋x2＝x1x2，得－k＝－1， ∴k＝1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 易错点：利用根与系数的关系时，忽略方程有实数根的前提 10．关于x的一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝2，则m的值为 . -2 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0时，甲看错了一次项系数，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和－10，则原方程为 ( ) A．x2－9x＋14＝0 B．x2＋9x－14＝0 C．x2－9x＋10＝0 D．x2＋9x＋14＝0 12．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝－1，则a－x12-x22的值为( ) A．7 B．－7 C．6 D．－6 D B 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．α，β是关于x的方程x2－x＋k－1＝0的两个实数根，且α2－2α－β＝4，则k的值为 . -4 【解析】将方程α2－2α－β＝4化为α2－α－(α＋β)＝4.由原方程根与系数的关系得α＋β＝1，把α代入原方程得α2－α＝1－k，代值计算即可． 固本夯基 综合运用 拓广探索 14．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0， (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一根是另一根的2倍，求k 的值． (1)证明：Δ＝b2－4ac ＝(k＋3)2－4×1×(2k＋2) ＝k2－2k＋1 ＝(k－1)2， ∵(k－1)2≥0， ∴Δ≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． 固本夯基 综合运用 拓广探索 (2)解：设x1，x2是一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0两个根，x1＝m，x2＝2m， ∴ 解得k＝0或k＝3， ∴k的值为0或3. 固本夯基 综合运用 拓广探索 15．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1. 则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1. 固本夯基 综合运用 拓广探索 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n，求＋的值； － 解：(2)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n， ∴m＋n＝，mn＝－. ∴＋＝＝＝－. 固本夯基 综合运用 拓广探索 (3)思维拓展：已知实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值. 解：(3)∵实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0， ∴s与t可看作是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根， ∴s＋t＝，st＝－. ∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st ＝()2－4×（-）＝， ∴s－t＝±， ∴－＝＝±. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $第17章　 一元二次方程及其应用 17．1　一元二次方程 Ⅰ 目 录 CONTENTS 固本夯基 1 综合运用 2 拓广探索 3 知识点一：一元二次方程的概念及根 1．下列方程中是一元二次方程的是( ) A．3x2＋x3＝0 B．(3x－1)(3x＋1)＝3 C．x2－2x＝x2 D．2x－3y＋1＝0 B 固本夯基 综合运用 拓广探索 2．若方程(m－1)x2＋x＋＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是( ) A．m≥0 B．m≠0 C．m≥1 D．m≠1 3．若关于x的一元二次方程x2－2x－c＝0的一个根为x＝1，则c的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 D C 固本夯基 综合运用 拓广探索 4．x＝1 方程2x2＋5x－3＝0的根；x＝－3 方程2x2＋5x－3＝0的根．(均选填“是”或“不是”) 知识点二：一元二次方程的一般形式 5．一元二次方程5x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为( ) A．5，－1 B．5，4 C．5，－4 D．5x2，－4x 不是 是 C 固本夯基 综合运用 拓广探索 6．将2x(x－1)＝3(x＋5)＋4化为一元二次方程的一般形式为 ，其二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 【变式】一元二次方程3x2＋4x＝－x＋2的二次项系数、一次项系数与常数项的和为 . 2x2 -5x-19=0 2 -5 -19 6 固本夯基 综合运用 拓广探索 7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x2＝5x－1； (2)(x－3)2＝x＋3； (3)(2x－1)(x＋5)＝6x. 解：(1)整理，得3x2－5x＋1＝0， 故二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1. (2)整理，得x2－7x＋6＝0， 故二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为6. (3)整理，得2x2＋3x－5＝0， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5. 固本夯基 综合运用 拓广探索 知识点三：一元二次方程的模型 8．如图，有一块长25 cm、宽15 cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231 cm2的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为x cm，则可列方程为 . (25－2x)(15－2x)＝231 固本夯基 综合运用 拓广探索 9．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得 . 易错点：忽视一元二次方程二次项系数a≠0这一条件 10．已知方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 . x(x－1)＝15 2 固本夯基 综合运用 拓广探索 11．已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，则它的解是 ( ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 12．已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为 . D -2 固本夯基 综合运用 拓广探索 13．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k－1)x－3＝0. (1)当k为何值时是一元一次方程？ (2)当k为何值时是一元二次方程？ 解：(1)当k2－1＝0，且k－1≠0时， 即k＝－1时，此方程是一元一次方程． (2)当k2－1≠0，即k≠±1时，此方程是一元二次方程． 固本夯基 综合运用 拓广探索 14．关于x的一元二次方程(x－1)2＝2(x＋m)－3的一个根为－2. (1)求m的值； (2)将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：(1)把x＝－2代入原方程，得 (－2－1)2＝2(－2＋m)－3.解得m＝8. (2)一般形式为x2－4x－12＝0， 二次项系数为1， 一次项系数为－4， 常数项为－12. 固本夯基 综合运用 拓广探索 15．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化为一般形式． 小明同学是一位古诗文爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？” 解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x＋(x＋3)＝(x＋3)2， 化为一般形式得x2－5x＋6＝0. 固本夯基 综合运用 拓广探索 $