吉林长春市第八中学2025-2026学年度下学期月考高二年级数学试卷

长春市第八中学2025-2026学年度下学期月考 数学试卷 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（   ） A．20种 B．6种 C．8种 D．5种 3．定义在R上的函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．计算的值为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 6．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，记，，则分别为（    ） A．1，729 B．1，1 C．，729 D．，1 8．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（  ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题 12．函数的极大值为____________ 13．的展开式中所有有理项的系数之和为________． 14．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 四、解答题 15．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： (1)求的值. (2)求展开式中的系数. 16．已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值． 17．将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. (3)求的期望和方差. 18．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 19．已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C C A B A BC BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 2．C 【详解】第一步，为大客车选司机．从甲、乙两位司机中选1人，有2种选法． 第二步，为小客车选司机．从剩下的四位司机中选1人，有4种选法． 由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有种， 3．A 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 4．C 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【详解】. 故选：C 5．C 【详解】的展开式中的常数项为． 6．A 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 7．B 【详解】令，可得，得到， 令，可得，则. 8．A 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 9．BC 【分析】由有，结合图象逐项去分析即可判断. 【详解】由，得， 若过的曲线为的图象， 则当时，，函数在上单调递减，矛盾， 故的图象过点，的图象过点， 即的图象关系如下： 对于A，当时，，，则， 所以，即在上单调递增，故A错误； 对于B，当时，，所以，即， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 故当时，函数有极小值，故C正确； 对于D，当时，，所以，即， 所以在上单调递增，又在上单调递减，， 所以当时，函数有极大值，故D错误. 10．BC 【分析】A选项通过分步乘法计数原理直接计算总方法数；B选项通过分组分配法计算每项工作至少1人的方法数；C选项针对人员分组的两种形式，结合平均分组的去重规则进行计算；D选项按司机岗位的人数分类，分别计算两类情形的方法数并求和. 【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确. 对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人）， 再将4组分配至4项工作，所以总方法数为， B选项错误. 对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式. 分组的有效分组数为，分组的有效分组数为， 总方法数为， C选项错误. 对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论： 司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为； 司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为. 总方案数为，D选项正确. 11．ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 12． 【详解】由题可知函数定义域为， ， 令，即， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 故为函数极大值点，. 13． 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 14．432 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求. 【详解】先排4个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）, 步骤2：将2个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻， 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法， 故不满足条件的情况有，故总数为：. 15．(1)6 (2)1 【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解. 【详解】（1）由题意，，解得. （2）的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 16．(1)函数的增区间为和，减区间为 (2) 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 17．(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【详解】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 18．(1) (2)0.9 (3) 【分析】（1）利用全概率公式计算可得. （2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可； （3）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品， 则． （2）由（1）知，则． 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为 （3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”， 则，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 ． 19．(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值. （2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $