精品解析：河南郑州市朗悦外国语学校2025-2026学年下学期九年级中考二模数学试卷

九年级数学模拟2试卷 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，， 交直线 于点，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 8. 如图，在菱形 中，，连接、 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，函数与的图象相交于点A（1,2）和点B，当时，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞1 B. －1＜x＜0 C. －1＜x＜0或x＞1 D. x＜－1或0＜x＜1 10. 如图1，点 在 边上，点 是 上的一动点，点是的中点，连接 ，设，，图2是点 运动时随变化的关系图像，其中点 是函数图像的最低点，则的值为（　　） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 15. 如图，在中，，，点 在射线上，将线段绕点 顺时针旋转得到线段 ，过点 作，交 于点．若，则的长为________． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定 分及 分以上为优秀，该社团共 名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 18. 如图，已知，，连接 ．将线段 向右平移1个单位长度，点 的对应点恰好落在反比例函数的图像上． （1）求该反比例函数关系式． （2）设点是轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）连接，并延长与（2）中所作角平分线相交于点 ．求证：． 19. 公元前二世纪中国就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要是利用了光的反射原理． （1）如图②， 呈水平状态，若入射角，（已知入射角等于反射角，图中，均为法线，即镜面，）；求的度数． （2）在（1）的条件下，若米，求点到 的距离（精确到米）．（参考数据：，，） 20. “九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的 倍少 个． （1）“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ （2）“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是 分钟、 分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 21. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点 为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与 相切于点，点 ， ，均在 上，且 为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点 ， ，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 23. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片 ，使点 与点重合，折痕为，将纸片展开，连接， ，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片 中，点 ，分别是， 边上的点，且，将沿翻折得到，将沿 翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线 与矩形 的一边平行时，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学模拟2试卷 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数比较大小，绝对值大的数反而小作出判断即可． 【详解】解：． 所以最小的数是． 故选：B． 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可. 【详解】解：的左视图是 ， 故选：D 4. 如图，直线，， 交直线于点 ，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂线的性质可得，利用三角形的内角和定理求出，最后根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法得到所有等可能的抽取结果，再找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为． A B C D A —— A,B A,C A,D B B,A —— B,C B,D C C,A C,B —— C,D D D,A D,B D,C —— ∵从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果共12种，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种． ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 故选：C． 6. 实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由数轴可得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：C． 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC=40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB=50°，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接AD， ∵D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 8. 如图，在菱形 中， ，连接 、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解． 【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示： ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵ ， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 9. 如图，函数与的图象相交于点A（1,2）和点B，当时，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞1 B. －1＜x＜0 C. －1＜x＜0或x＞1 D. x＜－1或0＜x＜1 【答案】C 【解析】 【详解】∵把A（1，2）代入得：k1=2；把A（1，2）代入得：k2=2， ∴，． 解方程组得：或． ∴B的坐标是（-1，-2）． ∴观察图象可知，当时，自变量x的取值范围是－1＜x＜0 或x＞1． 故选C． 10. 如图1，点 在 边 上，点 是上的一动点，点 是 的中点，连接，设，，图2是点 运动时 随 变化的关系图像，其中点 是函数图像的最低点，则的值为（　　） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取 中点 ，取 中点 ，连接 ， ，由图2可知，当时，，此时 与 重合， 为的中点，即 为 的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点 作于，连接并延长交于，由图2可知，点 与点 重合时， 取得最大值,最大值即的长． 【详解】解：如图， 取 中点 ，取 中点 ，连接 ， ， 由图2可知，当时，， ∴当时，，即当 与 重合时，， ∵此时 与 重合， 为的中点，即 为 的中点， ∴， 同理当 与 重合时，即时，， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可证是的中位线， ∴， ∴点 在 上， ∴当时，的值最小，即此时的 值最小， 过点 作于，连接并延长交于，由图2可知， ∴，， ∴， ∴， ∴点 与点 重合时， 取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 13. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 【答案】乙同学 【解析】 【分析】本题考查的是运用方差和平均数作决策，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析， ∴乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析， ∴乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故答案为：乙同学 14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 【答案】 【解析】 【分析】连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E，利用三角函数求出BF=CF=BCsin45°=2，，利用勾股定理求出AC=，先证四边形B′EFC为矩形，得出B′E=CF=2，利用三角函数求出∠BCB′=30°，再证△ABC≌△AB′C′，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E， ∵∠ABC=135°， ∴∠CBF=45°， ∴BF=CF=BCsin45°=2， ∵AF=AB+BF=4+2=6， ∴AC=， ∵点B′在CD上，四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB′=AB=4， ∵CF⊥AB，B′E⊥AB， ∴B′E∥CF， ∴四边形B′EFC为平行四边形， ∵∠CFE=90°， ∴四边形B′EFC为矩形， ∴B′E=CF=2， ∴sin∠B′AE=， ∴∠BCB′=30°， ∵将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度， ∴∠BAB′=∠CAC′=30°，AB=AB′，∠ABC=∠AB′C′，BC=B′C′， ∴△ABC≌△AB′C′， ∴将△ABC逆时针旋转30°得△AB′C′， ∴S阴影=S扇形CAC′-S扇形BAB′=． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查图形旋转，平行四边形性质，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积，掌握图形旋转性质、平行四边形性质、矩形的判定与性质、三角形全等判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、扇形的面积公式是解题关键． 15. 如图，在中，，，点 在射线 上，将线段 绕点 顺时针旋转得到线段 ，过点 作，交 于点 ．若，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点 作交 于点 ，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点 的位置不确定，故可做分类讨论，当点 在点 左右两侧时得出结果． 【详解】解：过点 作交 于点 ，如下图所示： ∵将线段 绕点 顺时针旋转得到线段 ， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理， 解得， ∴， ∴； 当点 在点 右侧时，同理可得， ∴； 综上，的长为或． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定分及分以上为优秀，该社团共 名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】（1）； （2）该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 （3）第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【小问1详解】 解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的 名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； 【小问2详解】 解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． 【小问3详解】 解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 18. 如图，已知，，连接 ．将线段 向右平移1个单位长度，点 的对应点 恰好落在反比例函数的图像上． （1）求该反比例函数关系式． （2）设点 是 轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）连接 ，并延长 与（2）中所作角平分线相交于点 ．求证：． 【答案】（1） （2） 如图所示，射线即为所求． （3） 由平移可知，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据平移的性质得到 的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）利用尺规作角平分线的方法求解即可； （3）首先证明出四边形为平行四边形，得到，然后根据等角对等边证明即可． 【小问1详解】 将点向右平移1个单位长度到点 ， 所以 的坐标为， 把点 代入反比例函数， 得． 即该反比例函数关系式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了平移的性质，待定系数法求反比例函数解析式，尺规作角平分线，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 公元前二世纪中国就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要是利用了光的反射原理． （1）如图②， 呈水平状态，若入射角，（已知入射角等于反射角，图中 ， 均为法线，即镜面，）；求的度数． （2）在（1）的条件下，若米，求点 到 的距离（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点 到 的距离为米 【解析】 【分析】（1）根据题意，由垂线的定义可得，则，使用三角形的内角和定理计算出即可； （2）作于点 ，设米，容易判断为等腰直角三角形，则米．在中，使用三角函数计算出米，利用构造方程，解出 的值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点 ，设米， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ， 在中，（米）， ∵， ∴， 解得， 答：点 到 的距离为米． 20. “九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的 倍少个． （1）“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ （2）“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是分钟、分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 【答案】（1）“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个 （2）开展个“能量传输”类项目， 个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟 【解析】 【分析】（1）设“能量传输”类项目有 个，则“鱼跃龙门”类项目有个，根据题意，可列方程，求解即可； （2）设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟，根据题意可得，结合题干条件可求得，因此当时，取得最小值． 【小问1详解】 解：设“能量传输”类项目有 个，则“鱼跃龙门”类项目有个， 根据题意，可列方程：， 解得， （个）， 答：“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个． 【小问2详解】 解：设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟， 根据题意可得， ， 解得， ∵为整数， ∴， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， （个）． 答：开展个“能量传输”类项目， 个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟． 21. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点 为圆心的圆，线段 为日晷的底座，点 为日晷与底座的接触点， 与相切于点 ，点 ， ， 均在上，且 为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与 相交于点 ， ，连接 ， ，已知． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵ 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得； （2）连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵ 与相切于点 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22. 在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】（1）①；②米 （2）不能投进 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键． （1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案； （2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断． 【小问1详解】 解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴． ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）． 【小问2详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进． 23. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片 ，使点 与点 重合，折痕为 ，将纸片展开，连接 ， ，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片 中，点 ， 分别是 ， 边上的点，且，将沿 翻折得到，将沿 翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线 与矩形 的一边平行时，请直接写出 的长． 【答案】（1）菱形 （2） 解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形 是矩形， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得， ，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线 交 于点，交 于点，连接 交 于点 ，连接交 于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【小问1详解】 解：∵由沿 折叠得到， ∴，，， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，如图，此时，设直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ， ∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线 交 于点，交 于点，连接 交 于点 ，连接交 于点， 同理①可得，点为 的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 与点 关于 对称， ∴ 垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述， 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $