微专题 外接球、内切球讲义-2026届高三数学二轮复习

立体几何中的外接球、内切球问题 知识点01 外接球模型一：墙角模型（鳖臑模型） 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 3.（23-24高三上·宁夏银川·月考）银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得. 【详解】   如图，因平面，,故可以构造长方体,易得：长方体的外接球 即鳖臑的外接球，设球的半径为，，由， 且,解得: ,又因四边形为正方形，阳马的外接球即以 为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为，则有,解得： 故阳马的外接球的表面积为 故选：C. 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 2.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 2．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面等边三角形的外接圆半径，结合正三棱柱的结构特征求半径和体积. 【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 知识点04 外接球模型四：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由外接球的体积公式可得其半径，然后作出圆锥及其外接球的轴截面，由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：C 2．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 3.（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 知识点05 外接球模型五：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 2．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 3.（2025·江苏镇江·模拟预测）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 知识点06 棱台、圆台外接球 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 1．（24-25高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案. 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 知识点07 二面角模型 特殊三角形双线定心型 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心 3.坐标法 1．（2024·广西南宁·三模）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 2．（2025·福建宁德·模拟预测）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的对角线交点为， 则，， 翻折后所得图形如下图所示，    则的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 由于二面角的大小为120°，，则，且， 所以四面体的体积， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为． 故选：D． 3．（2025·河北承德·一模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 知识点08 内切球 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 1．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 【答案】/ 【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积. 【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图， 为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接是球与侧面的切点，可知在上，， 设内切球半径为， 则， 由△∽△可知，即，解得， 所以内切球表面积. 故答案为：. 2已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 3.正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 知识点09 最值问题 1.（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 2.（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.51 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算求解截面圆的直径即可. 【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切， 因为正方形的面积为12，所以， 如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为， 平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径， 易知， 易知， 故，所以， 所以截面圆周长为. 3.（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（   ） A．32 B． C．64 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据外接球的表面积，求出外接球的半径，建立圆锥的基本量和外接球半径的几何关系，结合导数求出圆锥体积的最大值. 【详解】由题意可得：外接球的表面积，根据球的表面积公式，可得. 设圆锥底面半径为，高为，由球的截面性质可知，，且. 故圆锥的体积为. 令，则. 当，，单调递增. 当，，单调递减. 即当时，取得体积最大值， 所以. 4.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 课后作业 1．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补形为长方体，得长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此求得外接球半径即得体积. 【详解】，，且平面， 可将三棱锥补形为长方体，如图， 则长方体的体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因 则三棱锥的外接球半径为. 故外接球体积为：. 故选：A 2．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三棱柱几何特征结合外接球公式求出半径，最后应用基本不等式求出最小值结合球的表面积公式计算求解. 【详解】设，，又， 所以直三棱柱的体积，解得. 设球O的半径为R，由题意知， 当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为. 故答案为：. 3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】利用圆柱的体积公式，结合圆柱的外接球球心在圆柱的中心，即可得到外接球半径，从而可求外接球的表面积. 【详解】 如图为圆柱上下底面圆圆心，已知圆柱的底面半径，由其体积为， 可得， 该圆柱的外接球记为球，则为的中点， 根据勾股定理有：，即外接球的半径为， 所以该外接球的表面积为， 故答案为：. 4．（高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上， 记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，， 由勾股定理得， ∴球的表面积，故选A. 考点：球的体积和表面积 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先求出外接圆的半径，再根据三棱锥的特征找出球心与外接圆圆心的位置关系，进而求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出球的表面积. 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 6．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 7．（高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，， ，则该球体积V的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B. 8．（高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为，    由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 9．（高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    10．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，已知四面体中，二面角的大小为且为正三角形，.若都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．60π B．240π C．61π D．244π 【答案】D 【详解】由题设，在中，则外接圆的半径， 由二面角的大小为且为正三角形，则的高为， 所以到平面的距离， 若在平面的投影点，则平面，平面，则， 若的中点分别为，则，即，且， 由在平面内，则平面，平面，故， 综上在同一直线上，所以，示意图如下， 设四面体外接球半径为，球心到平面的距离为， 则，可得，即，则， 所以球体表面积为. 故选：D 12．（2025·山东聊城·模拟预测）如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．    【答案】 【详解】取的中点，连接，，以为原点，，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 易知外接圆的圆心坐标为， 可设三棱锥外接球的球心为， 由，可得，解得， 故三棱锥外接球的半径的平方， 故外接球的表面积为． 故答案为：. 13.（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）正四棱锥的顶点都在半径为的球面上，当棱锥的体积最大时，它的高为（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设正四棱锥的底面正方形的边长为，高为， 因为正四棱锥的外接球的半径为，可设，且， 在直角中，可得，即， 即，解得， 则正四棱锥的体积为， 令，可得， 令，解得，所以在单调递增； 令，解得，所以在单调递减， 所以时，函数取得极大值，也是最大值， 所以当时，正四棱锥的体积取得最大值. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何中的外接球、内切球问题 知识点01 外接球模型一：墙角模型（鳖臑模型） 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·宁夏银川·月考）银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（    ）    A． B． C． D． 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 知识点04 外接球模型四：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点05 外接球模型五：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏镇江·模拟预测）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点06 棱台、圆台外接球 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 1．（24-25高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 知识点07 二面角模型 特殊三角形双线定心型 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心 3.坐标法 1．（2024·广西南宁·三模）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建宁德·模拟预测）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北承德·一模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 知识点08 内切球 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 1．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 2已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3.正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 知识点09 最值问题 1.（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（   ） A．32 B． C．64 D． 4.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后作业 1．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 4．（高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 7．（高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，， ，则该球体积V的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．（高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 9．（高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，已知四面体中，二面角的大小为且为正三角形，.若都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．60π B．240π C．61π D．244π 12．（2025·山东聊城·模拟预测）如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．    13.（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）正四棱锥的顶点都在半径为的球面上，当棱锥的体积最大时，它的高为（  ）. 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