立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何表面积与体积、外接球、内切球三大核心考点，按“空间几何体概念-公式推导-特殊问题解决”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导（如外接球模型分类、内切球等体积法）、真题训练（含近年高考题及分层例题变式），帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与模型建构，如外接球问题按长方体、直棱柱等模型分类教学，引导学生用数学眼光抽象几何体结构，用数学语言表达公式与逻辑关系。设置基础例题与变式训练分层突破，助力学生在有限时间内掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题复习讲义 立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题复习讲义 考点目录 表面积与体积问题 外接球问题 内切球问题 知识点解析 1.空间几何体 （1）旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. 几何体 组成分析 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体. （2）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. 几何体 组成分析 棱柱 上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体. 棱锥 底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体. 棱台 上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出）. 2.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 3.体积公式 立体图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 2.旋转体的侧面积与表面积公式 立体图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 4.常见多面体的侧面积与表面积 （1）棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. （2）棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. （3）棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长构造直角三角形进行转换. 4.外接球问题 模型 计算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 5.长方体模型的变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 6.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半. （3）等边三角形外接圆半径等于. （4）正方形与矩形的外接圆半径为对角线的一半. 7.内切球问题 （1）内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 真题速递 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 3．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 【答案】 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．    【答案】 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 5．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 考点一 表面积与体积问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    设圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则， 解得，则， 所以该圆台的体积为. 故选：C 例2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】B 【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高， 由可得，， 作，垂足为， 则，， 则， 则. 故选：B. 例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为2:3， 所以即，故， 故圆锥的体积为． 故选：C 例4．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 例5．（24-25高一下·青海西宁·期中）在正四棱台中，，则该棱台的表面积为 ，体积为 ． 【答案】 / / 【详解】如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高， 因为，，， 所以上底面面积为，下底面面积为， 棱台的侧高为， 所以侧面积为， 所以该棱台的表面积为， 又，， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：，. 例6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为 . 【答案】 【详解】如图，根据题意，，， 所以，在中，，， 设上底面半径为，则下底面半径为， 所以圆台的侧面积为，解得 所以圆台的体积为 故答案为：    例7．（25-26高二上·上海松江·月考）若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为 （损耗忽略不计） 【答案】 【详解】已知圆柱形铁料的半径为，高为， 圆柱体积为， 设球的半径为，体积不变， ，解得． 故答案为：． 例8．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为 . 【答案】 【详解】如图，连接，作的中点，连接， 过作，垂足为，则， 所以，； 所以正四棱台的上底面、下底面的边长分别为， 所以正四棱台的上底面、下底面的面积分别为， 又正四棱台的高为，所以该正四棱台的体积为； 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 变式2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱部分的高度为h，底面半径为r，因为轴截面是正方形，所以. 容器总高度. 圆柱体积，半球体积. 水的高度是容器高度的一半，即，水的体积为. 容器倒置后水先填满半球（体积），剩余体积为， 剩余体积在圆柱中的高度为，倒置后水的总高度为， 水的高度与容器高度的比值为. 故选：B 变式3．（2026·安徽宿州·一模）一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（    ） A．42cm B．44cm C．48cm D．50cm 【答案】A 【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积， 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度， 即，故水槽中水面的高度达到了42cm. 故选：A 变式4．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 变式5．（25-26高二上·上海·期中）要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为 克．（精确到0.1）    【答案】 【详解】此零件的表面积为 平方毫米. 则1000个零件的表面积为平方毫米. 故需锌的质量为克. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·北京·期末）已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则 圆柱的表面积，即，解得 圆柱的体积为 令，得（舍）， 当时，， 当时，， 当时，圆柱体积取得的最大值为 故答案为：. 变式7．（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为 . 【答案】 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 变式8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为 .    【答案】 【详解】如图1，过圆心作于，于， 则四边形为正方形，设小圆半径为，扇形半径为，则， 小圆周长为，扇形弧长为， 剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， 正方形铁皮边长为，， ，； 在图2中，圆锥的表面积. 故答案为：.    考点二 外接球问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 例3．（25-26高二上·云南文山·期末）在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设DE为外接圆的直径，且为外接圆圆心，O为外接球的球心， 则根据对称性，知D、E、、处于同一平面， 因为平面ABD，平面ABD，所以，也即C也在平面ODE中， 且由于，所以CE为球O某一截面圆的直径，又因为该截面过球心O， 所以CE即为外接球的直径， 根据正弦定理可得外接圆的直径， 则在中，可得外接球直径为， 则三棱锥的外接球体积为． 故选：C． 例4．（23-24高三下·贵州贵阳·月考）如图，在菱形中，，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 【答案】/ 【详解】取的中点，连接， 因为为菱形，所以， 可得即为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形，则， 则和均为正三角形， 取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 过点作平面，过点作平面，交于点， 则为三棱锥外接球的球心，连接， 由题意得，，， 故，则，， 因为，所以平分， 得到，所以， 所以外接球的半径， 故外接球的表面积为. 故答案为： 例5．（25-26高二上·山东淄博·期末）如图所示的四棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的半径为 .    【答案】 【详解】以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，    根据已知条件平面，，，且， 可得各顶点坐标：； 由，，得， 设外接球的球心为，则球心到的距离相等，即， 由列方程：， 令两者相等，展开化简得， 由列方程：， 令两者相等，展开化简得， 由列方程：代入， 化简得，解得，因此， 球心的坐标为，计算球心到任意顶点的距离：， 验证球心到的距离为， 因此外接球的半径为. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】如图，正四棱锥，则平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为，所以在中，， 设外接球球心为，则必在直线上， 由可知，， 得，即外接球半径为， 故外接球的表面积为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得， 所以圆锥的外接球的表面积. 故选：C 变式2．（25-26高二上·广东·期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别取、的中心，连接，过作， 因为，由正弦定理得，得，同理可得， 由题意， 设正三棱台的外接球球心为O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 变式3．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 变式4．（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是 . 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面平面， 所以为二面角的平面角，所以， 取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线， 过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为， 所以， 则在中，， 所以三角形的外接圆半径满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为， 所以，所以四棱锥的外接球半径满足， 所以外接球表面积为. 故答案为： . 变式5．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为， 在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图， 因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为， 所以，， 设，则，所以， 所以，解得，所以该球的半径， 所以该球的表面积. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·上海·期末）已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为 . 【答案】 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则， 由，所以， 所以球的体积. 故答案为： 考点三 内切球问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河南南阳·月考）在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设底面正三角形中心为，连接（高），则， 由勾股定理得， 可知四面体底面积，体积， 可知正四面体表面积， 设内切球半径为，由，解得. 根据球的体积公式，代入， 解得. 故选：C. 例2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 例3．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 【答案】 【详解】 如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内切球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内切球与的三边的切点分别为， 设此圆锥的内切球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为，所以， 所以. 故此圆锥内切球的半径为. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 变式2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·青海·月考）若一正方体外接球的体积为，则该正方体内切球的表面积为 . 【答案】 【详解】设该正方体外接球的半径为，由，得. 设该正方体的棱长为，所以，即， 设该正方体内切球的半径为，则，所以， 故该正方体内切球的表面积为. 故答案为：. 变式4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示： 易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心， 连接、、， 设球的半径为，则， 即，解得， 由正棱柱的几何性质可知， 易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，    则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为， 因此，该三棱柱外接球表面积为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题复习讲义 立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题复习讲义 考点目录 表面积与体积问题 外接球问题 内切球问题 知识点解析 1.空间几何体 （1）旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. 几何体 组成分析 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体. （2）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. 几何体 组成分析 棱柱 上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体. 棱锥 底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体. 棱台 上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出）. 2.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 3.体积公式 立体图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 2.旋转体的侧面积与表面积公式 立体图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 4.常见多面体的侧面积与表面积 （1）棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. （2）棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. （3）棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长构造直角三角形进行转换. 4.外接球问题 模型 计算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 5.长方体模型的变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 6.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半. （3）等边三角形外接圆半径等于. （4）正方形与矩形的外接圆半径为对角线的一半. 7.内切球问题 （1）内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 真题速递 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 4．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．    5．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 考点一 表面积与体积问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·青海西宁·期中）在正四棱台中，，则该棱台的表面积为 ，体积为 ． 例6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为 . 例7．（25-26高二上·上海松江·月考）若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为 （损耗忽略不计） 例8．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为 . 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 变式2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽宿州·一模）一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（    ） A．42cm B．44cm C．48cm D．50cm 变式4．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高二上·上海·期中）要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为 克．（精确到0.1）    变式6．（25-26高二上·北京·期末）已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为 ． 变式7．（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为 . 变式8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为 .    考点二 外接球问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·云南文山·期末）在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24高三下·贵州贵阳·月考）如图，在菱形中，，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 例5．（25-26高二上·山东淄博·期末）如图所示的四棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的半径为 .    例6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为 . 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·广东·期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是 . 变式5．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为 ． 变式6．（25-26高二上·上海·期末）已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为 . 考点三 内切球问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河南南阳·月考）在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 例4．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·青海·月考）若一正方体外接球的体积为，则该正方体内切球的表面积为 . 变式4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $