专题14 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何的外接球、内切球及棱切球核心考点，按长方体、柱体、线面垂直等九大模型构建知识框架，通过考情精解、知能梳理、考点攻坚三环节，结合真题动向与命题预测，帮助学生系统掌握补形法、等体积法等解题策略，实现从模型认知到综合应用的能力提升。 讲义突出数学眼光与思维的培养，如在补成长方体模型教学中，引导学生将对棱相等三棱锥抽象为长方体面对角线模型，通过空间想象构建外接球直径公式，同步设置13个考向分层训练，从基础模型到多球相切、最值问题，配合真题精讲与模拟题演练，助力学生高效突破难点，为教师提供精准复习路径，提升备考针对性与实效性。

专题14 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·考向攻坚 3 考点一 外接球、内切球、棱切球 3 真题动向 必备知识 知识1长方体模型及可补成长方体模型 知识2柱体模型 知识3线面垂直模型 知识4正棱锥和侧棱相等模型 知识5面面垂直模型 知识6二面角模型 知识7台体模型 知识8内切球模型 知识9棱切球模型 命题预测 考向1补成长方体模型 考向2柱体模型 考向3线面垂直模型 考向4正棱锥模型 考向5侧棱相等模型 考向6面面垂直模型 考向7二面角模型 考向8台体模型 考向9锥体内切球模型 考向10台体内切球模型 考向11多球相切模型 考向12棱切球 考向13球的最值范围 命题轨迹透视 近三年全国卷中，多面体与球的切接问题是立体几何命题热点，以选择、填空题为主，2025年大题中首次出现外接球相关内容，打破以往命题惯例。 其中外接球考查频率最高，常结合长方体、柱体、三棱锥等模型，要求运用补形法、正弦定理确定球心与半径；内切球考查较少，聚焦等体积法求解半径；棱切球考频最低，多关联正方体模型。这类题综合化趋势显著，侧重考查空间想象与运算求解能力，整体难度中等，需熟练掌握各类模型的解题策略。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 外接球 一卷T17,15分 甲卷T16，5分 乙卷T16，5分 2026命题预测 2026年高考多面体与球的切接问题，仍会以小题为主，大题或有零星考查。外接球依旧是核心考点，常结合三棱锥补形模型命题。内切球大概率围绕等体积法设题。题目会侧重空间想象与计算能力，难度维持中等水平。 考点一 零点问题 1．（2022·全国乙卷·高考真题，9，5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C．[方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 4．（2021·全国甲卷·高考真题，11，5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解. 5．（2020·全国I卷·高考真题，12，5分）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A    【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6．（2023·全国甲卷·高考真题，16，5分）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 7．（2023·全国乙卷·高考真题，16，5分）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 8．（2025·全国一卷·高考真题，17，5分）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 知识1长方体模型及可补成长方体模型 ①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 ②可补成长方体模型 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型3：对棱相等模型，若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 模型1： 模型2： 模型3： 知识2柱体模型 外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径，可利用正弦定理得） 知识3线面垂直模型 面垂直模型的核心是补形为柱体求解外接球。当几何体存在一条侧棱与底面垂直时，可将其补成直棱柱。这条侧棱即为直棱柱的高，原几何体的底面就是直棱柱的底面。 知识4正棱锥和侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识5面面垂直模型 面面垂直模型的关键是双心垂线定位球心。若几何体有两个互相垂直的平面，先分别找出这两个平面内多边形的外接圆圆心。过每个圆心作对应平面的垂线，由于两平面垂直，两条垂线必然相交，这个交点就是外接球的球心。后续可结合两个圆心间的距离、底面外接圆半径，利用勾股定理计算外接球半径。 知识6二面角模型 多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 知识7台体模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 知识8内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 知识9棱切球模型 棱切球是与几何体各条棱均相切的球，球心多与几何体的对称中心重合。正方体的棱切球直径等于其面对角线长度，半径（为棱长）。长方体棱切球半径需结合长、宽、高计算，核心性质是球心到每条棱的距离等于半径。该模型适用于正多面体、长方体等具有中心对称性的几何体，解题时需抓住对称特性定位球心。 考向1补成长方体模型 1．（2025·广西河池·一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马中，侧棱底面ABCD，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】将该阳马放入长方体中，如图： 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故长方体的外接球的直径为， 故外接球的表面积为, 故答案为： 2．（2024·甘肃平凉·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图，    则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 3．（2025·黑龙江黑河·一模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    4．（2025·吉林吉林·模拟预测）若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】由三棱锥三条棱两两互相垂直， 得该三棱锥与以线段为共点棱的长方体有相同的外接球， 则外接球直径为该长方体的体对角线长， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 5．（2025·辽宁盘锦·二模）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 考向2柱体模型 6．（2025·四川内江·三模）正四棱柱的高为2，正四棱锥的高为1，若正四棱柱的所有顶点和点都在同一球面上，则正四棱锥的体积为 ． 【答案】2 【详解】由题意，点在平面的上方，设为和的中心， 如图，则在一条线上，则外接球的球心为的中点，则， 因为，所以，所以， 所以正四棱锥的体积为 故答案为： 7．（2025·辽宁鞍山·三模）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 8．（2025·湖北孝感·模拟预测）在正三棱柱中，为边上的中点，平面过点且与平面所成的锐二面角为，平面与线段相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：如图，因为为正三棱柱，所以三棱柱的侧棱垂直于底面， 可得：，又底面为正三角形，为中点，故, ，故平面，可得，又, 故是平面与平面所成的锐二面角的平面角，， 则，因为，所以，设外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理得． 平面(平面平面)，且， 所以设三棱锥外接球的半径为，则， 所以，故三棱锥外接球的表面积为. 方法二：以D点为坐标原点，AD为x轴，DB为y轴，D点引平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，由方法一的数据可得：， 设三棱锥的外接球的球心为，则， ， ， ， 设外接球半径为，则， 球的表面积为. 故选：C 9．（2024·河北衡水·一模）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，所求球的表面积最小时就是该几何体外接球的表面积． 旋转后所得几何体的上底面为正方形，且与下底面平行． 设旋转后得到的几何体上、下底面中心分别为点M，N，连接MN，则MN为两底面的垂线． 上、下底面的外接圆半径均为， 故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点． 球心O到两底面的距离均为． 如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则，， 且，连接NB，则，． 在直角梯形MNBH中，，， 所以， 所以． 连接OB，则OB的长为外接球半径R， 在中，， 于是该几何体外接球的表面积为． 故选：A． 10．（2025·四川广安·三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 【答案】52π 【详解】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则， 正六棱柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点， 其半径为，∴外接球的表面积为． 故答案为：． 考向3线面垂直模型 11．（2025·海南三沙·一模）在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设DE为外接圆的直径，且为外接圆圆心，O为外接球的球心， 则根据对称性，知D、E、、处于同一平面， 因为平面ABD，平面ABD，所以，也即C也在平面ODE中， 且由于，所以CE为球O某一截面圆的直径，又因为该截面过球心O， 所以CE即为外接球的直径， 根据正弦定理可得外接圆的直径， 则在中，可得外接球直径为， 则三棱锥的外接球体积为． 故选：C． 12．（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设是等腰三角形的外心， 由，， ， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得， 设三棱锥外接球球心为，半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D 14．（2025·广西柳州·二模）在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，记，过点O作， 在菱形中，， 又，所以均为等边三角形， 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 而球心在平面内的射影为的外心，也为重心，而， 设球心， 则，即，解得，则， 又， 所以外接球的半径，则外接球的表面积为. 故选：D． 15．（2024·宁夏固原·一模）三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，    设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，， 则，因为，解得， 所以该三棱锥外接球的半径长为2，所以该三棱锥外接球的体积. 故答案为： 考向4正棱锥模型 16．（2025·广西贺州·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 17．（2025·广东肇庆·二模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径， 设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，， 则，，故二面角的平面角为. 设，，，，， 则，，又，， 则， 又，，解得，即球的表面积为. 故答案为：. 18．（2025·黑龙江伊春·三模）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 19．（2025·辽宁朝阳·一模）正六棱锥底面边长为2，侧面积为12，则它的外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正六棱锥的斜高为a，则侧面积为12，解得a＝2， 又底面中心到底面边的距离为， 所以正六棱锥的高为1， 设正六棱锥的外接球的半径为R， 则根据勾股定理可得，解得， 所以正六棱锥的外接球的体积为． 故选：C． 20．（2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）在正三棱锥中，底面的边长为，侧面与底面所成的角为，则（   ） A． B． C．点到平面的距离为 D．该三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，正三棱锥中，. 取棱的中点，记为，连接，则. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以，故A正确. 对于B，因为，所以. 取棱的中点，记为，连接，交于点，则为的中心. 因为底面的边长为，所以， 可得，得到平面. 因为平面，所以. 在中，，所以. 在中，，故B正确. 对于C，正三棱锥的体积为， 因为的面积为，所以点到平面的距离如下， 为，故C错误. 对于D，的外接圆半径为. 设三棱锥的外接球的半径为，则， 即，解得， 可得三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 考向5侧棱相等模型 21．（2024·河南漯河·模拟预测）已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高， ∵各个顶点都在球的球面上，， ∴四点共圆，且为直径， ∴， 又∵，，∴ 在，解得，同理可得. ∵三棱锥的体积为, ∴，解得， 设，则，在中，，解得. 球的表面积为. 故选：A 22．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，，，且，则当的面积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图（1），则，．设．    图（1） ∵，∴．化简，得点C的轨迹方程为． 过点C作轴，D为垂足，易知当CD为圆的半径时，的面积最大．此时，， ∴．∵，∴． ∵，∴由正弦定理，得的外接圆半径． 如图（2），设为的外心，连接，，设三棱锥的外接球的球心为O， 则点O在上．连接OA，半径为R，则，． 由，得，解得， ∴三棱锥的外接球的表面积为．    图（2） 故选：C. 23．（2025·广东中山·三模）内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】是等腰梯形，，，，， 作于点，可得，， 设四边形的外接圆半径大小为，圆心到的距离为， 分别为和的中点，则，，，， 和中，，由勾股定理， ，解得，， 四条侧棱均相等，底面，侧棱与底面所成角的大小为， 则点到平面的距离为． 设球的半径为，中，，解得， 所以球的表面积为． 故答案为：. 24．（2024·安徽黄山·模拟预测）三棱锥中，，，设R为外接球半径，则 【答案】/ 【详解】设点在平面的投影为， 因为，则为的外心， 因为，所以的中点即为的外心， 取的中点，连接，， 设三棱锥外接球的球心为，则三点共线， 连接，则， 其中，由勾股定理得， 则， 由勾股定理得，即，解得， 故. 故答案为： 25．（2025·山西阳泉·三模）在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为 . 【答案】或1 【详解】因为，所以，所以， 即为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 因为，所以点在平面上的射影为的外心， 连接，根据球的性质可知三棱锥外接球的球心在上， 连接，设三棱锥外接球的半径为，则 因为球的表面积为，所以， 因为， 所以该三棱锥的高为或， 如图:    所以该三棱锥的体积为或. 故答案为：或1 26．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 考向6面面垂直模型 27．（2024·湖南郴州·三模）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，    连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 则由题意知，，为正方形外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理面， 设等边的外接圆的圆心为， 过作的平行线交过且与平行的线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为， 方法1：等边的外接圆半径为 ， 方法2：在等边中由正弦定理得，解得， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 28．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 29．（2024·甘肃陇南·一模）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】取中点，连接，所以，， 因为，所以， 又，，，所以， 所以，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 记的外心为，的外心为， 过在平面内作，过在平面内作两直线交于点， 可得为三棱锥的外接球的球心， 因为，设，则， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 31．（2025·海南海口·二模）如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，连接，，如图， 在中，，因为平面平面， 因为平面平面，所以平面． 设，则， ． 因为，所以，解得，则 所以，因为，所以． 取的中点，则为外接圆的圆心，过点作直线垂直于平面， 设外接圆的圆心为，过作直线垂直于平面，记， 在中，由正弦定理可得，解得， 则为四面体外接球的球心．连接， 则， 四面体外接球的半径为， 所以四面体外接球的表面积为． 故答案为：. 32．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为 ． 【答案】 【详解】如图，设，则， 过点作于点， 因为二面角的大小为，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 过点作于点，则，， 又，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以， 当时，有最小值2，此时平分，且，，三点重合， 三棱锥可看作是棱长为的正方体的一角， 设三棱锥外接球的半径为， 则，解得． 故答案为： 考向7二面角模型 33．（2024·广西南宁·三模）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 34．（2025·福建宁德·模拟预测）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的对角线交点为， 则，， 翻折后所得图形如下图所示，    则的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 由于二面角的大小为120°，，则，且， 所以四面体的体积， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为． 故选：D． 35．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，已知四面体中，二面角的大小为且为正三角形，.若都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．60π B．240π C．61π D．244π 【答案】D 【详解】由题设，在中，则外接圆的半径， 由二面角的大小为且为正三角形，则的高为， 所以到平面的距离， 若在平面的投影点，则平面，平面，则， 若的中点分别为，则，即，且， 由在平面内，则平面，平面，故， 综上在同一直线上，所以，示意图如下， 设四面体外接球半径为，球心到平面的距离为， 则，可得，即，则， 所以球体表面积为. 故选：D 36．（2025·山东聊城·模拟预测）如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．    【答案】 【详解】取的中点，连接，，以为原点，，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 易知外接圆的圆心坐标为， 可设三棱锥外接球的球心为， 由，可得，解得， 故三棱锥外接球的半径的平方， 故外接球的表面积为． 故答案为：. 37．（2025·河北承德·一模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 考向8台体模型 38．（2025·云南玉溪·模拟预测）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 39．（2025·吉林白城·模拟预测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以， 即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 所以，，故或， 即， 又，即， 即， 平方可得：，解得； 即，即， 平方得，无解， 所以球的表面积为． 故选：B． 40．（2024·广东东莞·三模）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 41．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连接，过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱台中，，， 则，，， 设上底面的中心为， 在直角梯形中，，，， 所以，即， 又，， 即，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 设球的球心坐标为，半径为，则， 即，，，， 解得，，，， 所以球的表面积为． 故答案为： 42．（2025·辽宁锦州·二模）正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则 ，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，连接，则底面， 由题意可得，，该正四棱台的体积，， 连接，故； 设， 则，， 由，解得， ，即球的半径， 球的表面积为． 故答案为：，. 考向9锥体内切球模型 43．（2025·江苏无锡·二模）已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱锥的底面正三角形的中心为，取中点，连接, 因为正三棱锥的性质，底面，， 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，即, 设底面正三角形的边长为，则， 在中，，已知， 所以， 设球的半径为，根据正三棱锥的体积公式，以及正三棱锥的表面积公式， 底面正三角形的面积，正三棱锥的体积， 正三棱锥的侧面积，在中，， 所以，，则正三棱锥的表面积， 根据正三棱锥的体积还可以表示为，即，解得. 设球的半径为，因为球与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切， 所以球的球心在上，且， 由于球与三个侧面相切，根据正三棱锥的对称性，球的球心到三个侧面的距离相等，且等于， 设球与侧面的切点为，则点在上，, 得相似于，则，即，解得， 所以球与球的半径之比. 故选：B.      44．（2025·四川宜宾·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型， 所以， 设三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC长分别为PA=x，PB=y，PC=z， 则由题意有①，所以有，， 所以代入①式， 所以， 设三棱锥的内切球半径为，则 ， 所以，，所以内切球的表面积为. 故答案为：. 45．（2025·宁夏银川·三模）在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于 . 【答案】 【详解】如图， 由已知，得的面积为， 因为三棱锥的高为， 所以，等腰三角形底边上的高为， 所以三棱锥的表面积为， 体积. 又三棱锥的体积（其中为三棱锥内切球的半径）， 所以， 所以三棱锥的内切球的表面积为. 故答案为：. 46．（2024·安徽淮南·模拟预测）已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为 . 【答案】 【详解】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为， 则， 由，所以，即， 在直角中，，， 解得，，所以体积. 故答案为： 47．（2024·山东潍坊·三模）如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为 ． 【答案】 【详解】设六边形边长为a，将图形还原得四棱锥，如下图， 由题意，侧面展开图的面积，解得． 由，，面，则面， 所以为的高， 设内切球的球心为O，半径为r，则， 即，解得． 故答案为： 考向10台体内切球模型 48．（2025·湖南常德·二模）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心， 因为正六边形的每一个内角为， 所以，又因为， 所以三角形是等边三角形，所以，同理， 所以， 所以正六棱台的体积为， 由， 表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法可得，， 所以，又， 所以，即， 所以，即，解得. 故选：C. 49．（2024·吉林松原·二模）（多选）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（    ）． A．上底面边长 B．下底面边长 C．高为2 D．体积为 【答案】ACD 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 所以上、下底面的边长分别为， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故选：ACD. 50．（2025·浙江湖州·模拟预测）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为 【答案】 【详解】设上底面与下底面正三角形的边长分别为, 根据棱台体积公式，， 则， 则可得侧面梯形的高为， 根据勾股定理，可得， 则，故， 则， 则可得棱长为. 故答案为：. 51．（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，揽月阁是现今留存的反映我国古代文化的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台.现有一个揽月阁模型，下底面边长为，其内切球的体积为，则其外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 考向11多球相切模型 52．（2025·安徽铜陵·三模）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，所以斜高为，高为， 设底面中心为, 的中点为，如图，截面中，设为球与平面的切点，则在上，且. 设球的半径为,则, 因为，所以，所以, 所以，即. 设球与球相切于点，则，设球的半径为， 同理可得，所以，故小球的体积为. 故选：A 53．（2025·山西长治·模拟预测）用一个直立且底面直径为的圆柱体塑料桶（含桶盖）装表面积为的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑材料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是 . 【答案】 【详解】设小球的半径为，则，得， 由于两个小球的直径和比圆柱体塑料桶的底面直径大，故不可能同时有两个小球都和塑料桶的底面相切，不妨取轴截面如下图所示： 则， 所以塑料桶的高为， 所以该圆柱体塑料桶的侧面积是. 故答案为：. 54．（2025·四川广元·二模）4个半径为1的球两两相切，下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上，问上面的球的最高处到桌面的距离为 ，在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切，小球的半径为 ． 【答案】 【详解】由题意，4个小球的球心连线构成了如图所示的正四棱锥： 棱长为2，设为高，O为正三角形的中心， 则，故， 故上面的球的最高处到桌面的距离为； 在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切，设这个小球的球心为，半径为r， 则落在上， 设是的中点，连接， 由于，则，连接，则平面， 且，则≌，即， 即为等腰的顶角的平分线，则也为底边上的高，即, 则共线， 由于， ，同理, 则，即，解得， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问求解小球半径，解答时要发挥空间想象能力，确定该小球的球心位置，结合正四棱锥的结构特征，列方程求解即可. 55．（2025·四川自贡·二模）数学试题）现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为 ． 【答案】 【详解】大球半径为，8个小球半径相同，设为， 设正方体的边长为，则正方体的体对角线长度为， 要使小球半径最大，8个小球既要与大球内壁相切，也要使得相邻的小球之间相互外切。 由小球与大球内壁相切可得 由相邻小球相互外切可得正方体的边长 正方体中心到任意一个顶点（小球球心）的距离是体对角线的一半，即， 将代入得，解得 所以小球半径最大值为 故答案为：. 56．（2025·湖南长沙·一模）如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为 . 【答案】 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为， 故答案为： 57．（2025·山东东营·三模）甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 【答案】 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 考向12棱切球 58．（2024·浙江杭州·三模）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图设正四面体的棱长为，底面正的中心为，则底面，连接， 则正四面体的中心为在上，连接，取中点为，连接， 底面正的外接圆半径，由正弦定理得，所以， 则正四面体的高度为， 由于正四面体四个顶点的球的半径记为，所以， 因为，所以，整理得； 与正四面体各个面相切的球半径记为，即； 因为点为中点，和正四面体各个棱相切的球半径记为，则； 综上，. 故选：C. 59．（2025·河北廊坊·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 60．（2025·四川攀枝花·模拟预测）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 【答案】 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：.    61．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案为：.    62．（2025·安徽阜阳·模拟预测）球、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球的表面上，求三个球的表面积之比． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为， 因为球与正方体的各面,则球的半径为，其表面积为， 因为球与正方体的各条棱相切，则球的半径为， 其表面积为， 因为正方体的各顶点都在球的表面上，则球的半径为， 其表面积为， 所以三个球的表面积之比. 考向13球的最值范围 63．（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）正四棱锥的顶点都在半径为的球面上，当棱锥的体积最大时，它的高为（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设正四棱锥的底面正方形的边长为，高为， 因为正四棱锥的外接球的半径为，可设，且， 在直角中，可得，即， 即，解得， 则正四棱锥的体积为， 令，可得， 令，解得，所以在单调递增； 令，解得，所以在单调递减， 所以时，函数取得极大值，也是最大值， 所以当时，正四棱锥的体积取得最大值. 故选：C. 64．（2025·山东泰安·一模）如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 65．（2024·广东深圳·一模）在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为 ． 【答案】 【详解】取中点，由，则点为外心， 连接，取线段上靠近点的三等分点， 由是正三角形，则点为外心， 令四面体的外接球球心为，连接、， 则有平面、平面， 又平面、平面，故、， 由二面角的大小为，则， ，则， 则， 由，则，则， 故，即， 即四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为：.    66．（2025·江苏常州·二模）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为 . 【答案】 【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，四面体的外接球球心，半径， 由，得， 因此， 整理得，则， ，解得， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为： 67．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】取线段的中点， 因，则分别为的外心， 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线交于点，则为三棱锥的外接球球心， 取线段的中点，连接， 则，则， 则为二面角的平面角， 又平面，则平面， 因平面，平面， 则，， 又平面，则平面， 因平面平面，则四点共面， 因，则，， 则， 设，三棱锥的外接球半径为， 由可判定，与全等，故， 则， 则， 因三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则， 则，得， 设，则，故， 当，即二面角的平面角为时，三棱锥的高最长， 此时体积最大为， 又，故当时，三棱锥的高最短，最短为， 此时体积最小为， 故三棱锥体积的取值范围为. 故答案为：.    学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·考向攻坚 3 考点一 外接球、内切球、棱切球 3 真题动向 必备知识 知识1长方体模型及可补成长方体模型 知识2柱体模型 知识3线面垂直模型 知识4正棱锥和侧棱相等模型 知识5面面垂直模型 知识6二面角模型 知识7台体模型 知识8内切球模型 知识9棱切球模型 命题预测 考向1补成长方体模型 考向2柱体模型 考向3线面垂直模型 考向4正棱锥模型 考向5侧棱相等模型 考向6面面垂直模型 考向7二面角模型 考向8台体模型 考向9锥体内切球模型 考向10台体内切球模型 考向11多球相切模型 考向12棱切球 考向13球的最值范围 命题轨迹透视 近三年全国卷中，多面体与球的切接问题是立体几何命题热点，以选择、填空题为主，2025年大题中首次出现外接球相关内容，打破以往命题惯例。 其中外接球考查频率最高，常结合长方体、柱体、三棱锥等模型，要求运用补形法、正弦定理确定球心与半径；内切球考查较少，聚焦等体积法求解半径；棱切球考频最低，多关联正方体模型。这类题综合化趋势显著，侧重考查空间想象与运算求解能力，整体难度中等，需熟练掌握各类模型的解题策略。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 外接球 一卷T17,15分 甲卷T16，5分 乙卷T16，5分 2026命题预测 2026年高考多面体与球的切接问题，仍会以小题为主，大题或有零星考查。外接球依旧是核心考点，常结合三棱锥补形模型命题。内切球大概率围绕等体积法设题。题目会侧重空间想象与计算能力，难度维持中等水平。 考点一 零点问题 1．（2022·全国乙卷·高考真题，9，5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题，11，5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·全国I卷·高考真题，12，5分）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题，16，5分）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 7．（2023·全国乙卷·高考真题，16，5分）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 8．（2025·全国一卷·高考真题，17，5分）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 知识1长方体模型及可补成长方体模型 ①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 ②可补成长方体模型 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型3：对棱相等模型，若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 模型1： 模型2： 模型3： 知识2柱体模型 外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径，可利用正弦定理得） 知识3线面垂直模型 面垂直模型的核心是补形为柱体求解外接球。当几何体存在一条侧棱与底面垂直时，可将其补成直棱柱。这条侧棱即为直棱柱的高，原几何体的底面就是直棱柱的底面。 知识4正棱锥和侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识5面面垂直模型 面面垂直模型的关键是双心垂线定位球心。若几何体有两个互相垂直的平面，先分别找出这两个平面内多边形的外接圆圆心。过每个圆心作对应平面的垂线，由于两平面垂直，两条垂线必然相交，这个交点就是外接球的球心。后续可结合两个圆心间的距离、底面外接圆半径，利用勾股定理计算外接球半径。 知识6二面角模型 多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 知识7台体模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 知识8内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 知识9棱切球模型 棱切球是与几何体各条棱均相切的球，球心多与几何体的对称中心重合。正方体的棱切球直径等于其面对角线长度，半径（为棱长）。长方体棱切球半径需结合长、宽、高计算，核心性质是球心到每条棱的距离等于半径。该模型适用于正多面体、长方体等具有中心对称性的几何体，解题时需抓住对称特性定位球心。 考向1补成长方体模型 1．（2025·广西河池·一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马中，侧棱底面ABCD，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 2．（2024·甘肃平凉·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 3．（2025·黑龙江黑河·一模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 4．（2025·吉林吉林·模拟预测）若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为 . 5．（2025·辽宁盘锦·二模）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考向2柱体模型 6．（2025·四川内江·三模）正四棱柱的高为2，正四棱锥的高为1，若正四棱柱的所有顶点和点都在同一球面上，则正四棱锥的体积为 ． 7．（2025·辽宁鞍山·三模）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北孝感·模拟预测）在正三棱柱中，为边上的中点，平面过点且与平面所成的锐二面角为，平面与线段相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·河北衡水·一模）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 10．（2025·四川广安·三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 考向3线面垂直模型 11．（2025·海南三沙·一模）在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 14．（2025·广西柳州·二模）在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·宁夏固原·一模）三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为 . 考向4正棱锥模型 16．（2025·广西贺州·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 17．（2025·广东肇庆·二模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 18．（2025·黑龙江伊春·三模）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 19．（2025·辽宁朝阳·一模）正六棱锥底面边长为2，侧面积为12，则它的外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 20．（2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）在正三棱锥中，底面的边长为，侧面与底面所成的角为，则（   ） A． B． C．点到平面的距离为 D．该三棱锥的外接球表面积为 考向5侧棱相等模型 21．（2024·河南漯河·模拟预测）已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，，，且，则当的面积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·广东中山·三模）内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为 ． 24．（2024·安徽黄山·模拟预测）三棱锥中，，，设R为外接球半径，则 25．（2025·山西阳泉·三模）在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为 . 26．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 考向6面面垂直模型 27．（2024·湖南郴州·三模）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 28．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·甘肃陇南·一模）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 31．（2025·海南海口·二模）如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为 ． 32．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为 ． 考向7二面角模型 33．（2024·广西南宁·三模）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·福建宁德·模拟预测）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，已知四面体中，二面角的大小为且为正三角形，.若都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．60π B．240π C．61π D．244π 36．（2025·山东聊城·模拟预测）如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．    37．（2025·河北承德·一模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 考向8台体模型 38．（2025·云南玉溪·模拟预测）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 39．（2025·吉林白城·模拟预测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·广东东莞·三模）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 41．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为 ． 42．（2025·辽宁锦州·二模）正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则 ，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 ． 考向9锥体内切球模型 43．（2025·江苏无锡·二模）已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·四川宜宾·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ． 45．（2025·宁夏银川·三模）在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于 . 46．（2024·安徽淮南·模拟预测）已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为 . 47．（2024·山东潍坊·三模）如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为 ． 考向10台体内切球模型 48．（2025·湖南常德·二模）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 49．（2024·吉林松原·二模）（多选）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（    ）． A．上底面边长 B．下底面边长 C．高为2 D．体积为 50．（2025·浙江湖州·模拟预测）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为 51．（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，揽月阁是现今留存的反映我国古代文化的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台.现有一个揽月阁模型，下底面边长为，其内切球的体积为，则其外接球的表面积为 . 考向11多球相切模型 52．（2025·安徽铜陵·三模）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（    ）． A． B． C． D． 53．（2025·山西长治·模拟预测）用一个直立且底面直径为的圆柱体塑料桶（含桶盖）装表面积为的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑材料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是 . 54．（2025·四川广元·二模）4个半径为1的球两两相切，下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上，问上面的球的最高处到桌面的距离为 ，在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切，小球的半径为 ． 55．（2025·四川自贡·二模）数学试题）现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为 ． 56．（2025·湖南长沙·一模）如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为 . 57．（2025·山东东营·三模）甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 考向12棱切球 58．（2024·浙江杭州·三模）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 59．（2025·河北廊坊·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 60．（2025·四川攀枝花·模拟预测）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 61．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 62．（2025·安徽阜阳·模拟预测）球、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球的表面上，求三个球的表面积之比． 考向13球的最值范围 63．（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）正四棱锥的顶点都在半径为的球面上，当棱锥的体积最大时，它的高为（  ）. A． B． C． D． 64．（2025·山东泰安·一模）如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．（2024·广东深圳·一模）在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为 ． 66．（2025·江苏常州·二模）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为 . 67．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为 ． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $