专题05特殊平行四边形综合压轴题7类题型 期中复习专项训练2025-2026学年八年级数学下学期（人教版）

专题05 特殊平行四边形综合压轴题7类题型 题型导览 题型1 特殊平行四边形中最值问题 （选题压轴） 题型2 四边形中多结论问题 （解答压轴） 题型3 特殊四边形综合解答题压轴 （选题压轴） 题型4 特殊四边形综合解答之探究类题型 （解答压轴） 题型5 特殊平行四边形中动点问题 （选题压轴） 题型6 四边形中最值问题 （解答压轴） 题型7 四边形中新定义类题型 （选题压轴） 题型汇总 题型1 特殊平行四边形中最值问题 1．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键． 如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值． 【详解】解：在下方取点，使， 连接、，如图所示： 又∵， ∴， ，故当、、三点共线时最小， ∵四边形为菱形， ∴，， 故，且， 得等腰， ， 则， 故选． 2．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 3．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，， ∴， ∴最小即为， 故选：A． 4．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接， 四边形是矩形， ，，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，， ∴四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在线段上， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 故选：A． 5．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 6．已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型2 四边形中多结论问题 7．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确． 【详解】解：在矩形中，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， 故， 即，①结论正确； ∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确； ∵和是等边三角形， ∴，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，②结论正确； 在中，， ∴， 故， 又∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分， ∴， 即，④结论正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 9．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 10．如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在正方形中，，， 平分，，， ， 故①正确； 分别平分和， ，， 在和中， ， ； 同理可证， ； ， 故②正确； 综上所述，结论①，②均正确， 故选：A． 12．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型3 特殊四边形综合解答题压轴 13．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)7 【分析】（1）因为正方形对角线平分对角，所以可证；也可证明和全等，利用全等三角形对应边相等得出结论． （2）连接，证明和全等，得，结合，四边形内角和性质，可得，可得，结合等腰直角三角形的角度特点推导的度数． （3）延长到，使，得，，证明，得，由，，可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，是对角线， ，. 是公共边， ， . （2）解：连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， . ， ， ， ， ， . ， ， 即. （3）解：延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， . 14．如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； (3)如图3，等腰直角的斜边与边相交于点，若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)②正确，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，从而根据勾股定理求得，进而在等腰直角中求出； （2）在上取点，使得，得到等腰直角，从而，证明（），得到，进而推出，从而根据勾股定理有，即可得到； （3）由中点的定义得到．延长至点，使得，连接．证明（），得到，，进而证明，可得（），因此．设，则，．在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：． （2）解：②正确； 证明：在上取点，使得，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴，即， ∵， ， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． 在正方形中，，平分， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即． （3）解：∵点是的中点， ∴． 延长至点，使得，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． 15．如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)见解析 (3)10 【分析】（）由点A和点B的坐标可得，，由折叠性质可知，，所以四边形是菱形，则有，从而得出点的坐标； （）过作，交于点，则有，，由（）得四边形是菱形，，则，根据等角对等边得，然后证明，根据全等三角形的性质即可求证； （）由四边形是菱形得，，设，，，，所以，，，证明，所以，过点作于点，设，，则，，求得，，，，，则，过作于点，证明，所以，，利用，得出，证明，过作于点，则，则可得，最后利用的面积为即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为8， ∴点的坐标为； （2）证明：如图，过点作，交于点， ∴，， 由（）得，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3所示， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； 设，，，， ∴，， ∴， ∵，6 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 如图3所示，过点作于点， ∵， ∴可设，则， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴，解得或（不符合题意，舍去）， ∴，，，， ∴， 如图3所示，过点作于点，过点作于点，过作轴于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 16．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 17．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 18．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度． 【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度． 【答案】（1）见解析（2）26（3） 【分析】（1）通过证明四边形是矩形，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论； （3）过点作于，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：（1）证明：延长到，使，连接，，则， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形， ∴， ∴； （2）连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）过点作于，连接， 在中，， ∴， ∵，点是的中点， ∴，, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是直角三角形的性质，矩形的判定和性质．三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键． 题型4 特殊四边形综合解答之探究类题型 19．在探究平行四边形的性质时，某学习小组发现并证明如下有趣的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： (1)问题发现：如图①，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形的研究发现：在矩形中，令，，则可求得______（用含a，b的代数式表示）； (2)问题探究：如图②，学习小组通过添加辅助线，继续对一般平行四边形进行研究，分别过点A、D作边的垂线段，请你证明：； (3)问题拓展：如图③，在中，是边上的中线，已知，，，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得解； （2）作于点，于点，由平行四边形的性质可得，且，由平行四边形的性质可得，证明，得出，，再结合勾股定理证明即可； （3）延长至点，使得，连接、，由题意可得，结合，得出四边形为平行四边形，由（2）可得，再代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：如图，作于点，于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 由①②可得：， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接、， ， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，    ∴，， ∴； （2）如图，过点D作于点G，连接，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 21．问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【答案】（）；（）成立，见解析；（）最小值为． 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 22．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 23．问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 【答案】（1）2；（2）详见解析；（3），； 【分析】（1）先证四边形是菱形，进而利用所对的直角边是斜边的一半即可得解； （2）延长交延长线于，证，可知，再证，得到； （3）由题易得是等边三角形，所以可以沿外侧构造等边三角形，证明，进而可得，由（）知，进而利用特殊角构造直角三角形求解即可． 【详解】解：（1）， ，， 为中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， ， ，即； （2）证明：延长交延长线于 ∵， ，， 又点M为中点， ， ， ，， ，， ， ∴ ， 因此，即（1）中的结论仍然成立； （3）连接，以为边在左侧作等边三角形，过P作于点E，，交延长线于点G， ，， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， 同理，， 由（）知， ， 在中，， ； ， ， 在中，， 【点睛】本题主要平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、含有的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）选①，说明见解析；选②，说明见解析；（2）；（3）最小值为 【分析】（1）①，根据菱形的性质，等边三角形的判定解答即可． ②，根据菱形的性质，等边三角形的判定解答即可． （2）作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为，； （3）取中点中点，作，交于点，连接，，取中点，根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）选①证明：菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 选②证明： 菱形， ， ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为， 由题得， ， ， 平分， ， ， ． （3）解：取中点中点，作，交于点，连接，，取中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 为中点， 又为中点， 与重合， 共线， 点在线段上运动， 当时，值最小， ， ， ， ， ， ， 最小值． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 25．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 【答案】（1）图形见解析，，理由见解析；（2）；（3）的周长c的取值范围是． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短线段等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）取的中点F，连接．利用“”证明出，即可得解； （2）在上截取，连接EF．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）连接，过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，此时的周长c有最小值；当与相等时，即A、D、P三点共线，此时的周长c有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由如下：如图，取的中点F，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，在上截取，连接EF． 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3）如图3，连接，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时的周长c的最小值为． 当与相等时，即A、D、P三点共线， 此时，则， ∴的周长c的取值范围是． 26．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 题型5 特殊平行四边形中动点问题 27．已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形、等腰梯形的判定与性质应用，掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想是解题的关键． （1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解； （2）四边形为等腰梯形，即，过点作交于F，根据勾股定理列出等式即可得出． 【详解】（1）由题意得：，， ， ， 要使四边形为平行四边形，只需保证， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形； （2）由（1）知， 所以要使四边形为等腰梯形，即的时， 如图所示： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即 解得：， 即当时，四边形为等腰梯形． 28．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 29．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键． （1）根据即可求解； （2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． （3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解； 【详解】（1）解：∵点E为中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K． ∵，， ∴， 当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F． ∵，可得， ∴ ∵，， ∴ ， ∴， 综上：的值为或 （3）解：∵，，， ∴， 当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示： 若点落在上， ∵点E、点F关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时， 故当时，满足题意； 当点与点重合时， ， 解得：， 综上所述：或． 30．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度移动（不到点）.设点，同时出发移动秒．    (1)在点，移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由： (2)如图2，连接，设交于点，当时，求的长； (3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，交于点，当与的夹角为，求的值． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3)2 【分析】（1）通过证明得到，，则易推知是等腰直角三角形； （2）过点作，交于点，，．可证，则其对应边相等：．所以在中，由勾股定理求得的长度，则； （3）如图3，连接，，与交于．根据四边形是平行四边形，则其对边相等：．所以在中，由勾股定理得到：，故． 【详解】（1）解：等腰直角三角形．理由如下： 如图1，在正方形中，，． 依题意得：． 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． （2）如图2，过点作，交于点，则．   ， ． 在与中， ， ， ． 中，，， ， ； （3）如图3，连接，，与交于，与交于点．    由（1）得， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，得， ． 【点睛】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题． 31．如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀透运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．    (1)直接写出___________，___________．（用含的式子表示出来） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能， (3)或，见解析 【分析】（1）由题意可以得到，再由在中，，得到，由含角的直角三角形的性质得到的值； （2）由（1）可得，得到四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形得到即可解得答案； （3）将中，，分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 由题意得，， ； （2）解：能； ，， 且， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， 即当时，四边形能够成为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形， 若，则， ， ， 即， 解得， 当时，， 四边形是平行四边形， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 解得：， 当时，点到达点，点到达点，此时、、共线， 当时，不存在． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质相关知识点是解题的关键，本题易错点在于讨论为直角三角形时要分三种情况讨论． 32．如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．    (1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积； (2)若经过秒使得，求的值； (3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可知：，，，然后根据梯形面积公式列式即可； （2）分两种情况讨论：当四边形是平行四边形时，当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，，然后列方程求出的值即可； （3）如图，在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，得是梯形的中位线，当最小时，四边形周长最小，根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时最小，进而可得四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 由题意可知：，， ， 四边形的面积； （2）当四边形是平行四边形时，， ， ， 解得； 当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，， 则，，    ， ， ， 解得， 综上所述：的值为或； （3）如图，在上取点使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，    轴， ， ， 点是线段中点， 点是线段中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是梯形的中位线， ， ， ∴ 在中，根据勾股定理得：， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵ 根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴ 即在时，此时最小， 四边形周长最小值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，梯形中位线定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题． 33．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 分三种情况讨论可知与满足的数量关系式． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形， 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ． （2）显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ，，即， ， 解得， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用． 题型6 四边形中最值问题 34．正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求解的长； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，根据平行线的性质结合已知的，推出，得到，由可得，结合正方形的性质可得 ，，结合平行线的性质得到，从而证明，得到，， 结合角的等量代换推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，即为的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取的中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到的长，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中， ， ， ，即为的中点， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接、，   正方形边长为， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，线段最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 35．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 36．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． （1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）①如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解； 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故选：D； （2）解：①如图，记、的中点分别为、，连接，，， ∵四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； ②令与的交点为，连接、； 由①可知，； 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形； ， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； 线段的长度为， 则； 故； 故答案为： 37．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 38．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)当时平行四边形是菱形，理由见解析 (3)存在最小值 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则， ，， ， ，， ； （2），当时， ∴，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．    在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 39．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3） 【分析】根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）证明垂直平分，再，即可得证； （3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ； （2）证明： 是等边三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 又， ，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， （3）解：依题意，如图所示，延长，交于点， 由（2）可知是等边三角形， ， 将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ，， ， 是等边三角形， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）可知是的中点，则， ， ， 折叠， ， ， 又， ， 当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型7 四边形中新定义类题型 40．阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【答案】(1)正方形； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据“邻等对补四边形”即可判断； （）过作于点，，交延长线于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过作于点，，交延长线于点，则，四边形是矩形，由（）得平分，从而证明四边形是正方形，然后再证明，故有，得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形， ∴梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是正方形， 故答案为：正方形； （2）证明：过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴平分； （3）解：如图，过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， 由（）得平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 41．在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、、，线段、相交于点，若，证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且． ①求的长；②在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或 【分析】（1）由正方形的性质证出，再通过角的等量代换解答即可； （2）①：利用勾股定理运算求解即可； ②：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，求出直线的解析式为，设，分类讨论角的位置情况进而解答即可． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ， 在△和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为“双直四边形”； （2）解：①∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； ②存在点，使得四边形为“双直四边形” 点的坐标为或，                理由如下： 假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”， 如图2，设、的交点为， ∵，， ∴， ∴是的中点， ∴， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ①当时，则， ∴，， 则， ②当时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点坐标还是， ③当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意； 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”，点的坐标为或． 【点睛】本题为几何综合题，涉及到了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，垂直平分线的判定及性质，一次函数的图象性质等知识点，合理分类讨论是解题的关键． 42．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)④ (3)，证明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案； （2）只需要四边形是否是正方形即可得到结论； （3）根据定义可得四边形是正方形，则，据此可得； （4）连接，设分别交于点H，点O，可证明，得到，，再证明，得到，由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【详解】（1）解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半； 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， 同理可得， 当四边形是平行四边形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是矩形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是菱形时，与不一定相等， 故此时与不一定相等， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是正方形时，， 故此时， ∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”； （3）解：，证明如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴由（3）可得四边形是“中方四边形”． 43．【定义】 在学习了“中心对称图形--平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究． 【理解】（1）如图① ，正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：四边形为“双直四边形” 【应用】（2）如图② ，双直四边形中，，，，对角线与相交于点，且，求四边形的面积． 【拓展】 （3）如图③ ，双直四边形中，，，且，若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析（2）；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解决此题的关键． （1）证明，由“双直四边形”的定义可得出结论； （2）由勾股定理求出，，根据三角形面积可得出答案； （3）过作交延长线于点，由双直四边形可得，证明，设，则，，得出方程，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， （）， ， ， ， ， 四边形为“双直四边形”； （2）解：由题意知， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积； （3）解：过作交延长线于点， ，， 四边形是矩形， ，， 由双直四边形可得， ，， ， 同理可得， ， 设，则，， ， （负值舍）， ， ． 44．探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】 （1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】 （5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）；（3）见解析，答案不唯一；（4）见解析；（5）或或 【分析】（1）根据新定义得矩形或正方形，即可求解； （2）连接，由勾股定理得，，即可求解； （3）根据新定义画出图形即可求解； （4）连接，由正方形的性质及勾股定理及其逆定理得，为直角三角形，即可求解； （5）分类讨论：①过点作交于，②在①的条件下，过点作交于，③过点作交于；即可求解． 【详解】解：（1）矩形（答案不唯一）， 故答案为：矩形（答案不唯一）； （2）连接，根据题意可得， ， ， 故答案为：； （3）如图，答案不唯一 （4）连接， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 四边形是对直四边形； （5）①过点作交于， ， 四边形是矩形， 四边形是对直四边形， ， ， ， 为等腰三角形， ； 故腰长为； ②在①的条件下，过点作交于， 同理可证：， 是等腰三角形， ∴， 四边形是对直四边形， 由①得，， ， ， ， 故腰长为； ③过点作交于， ， 四边形是对直四边形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故腰长为； 综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或． 【点睛】本题考查了新定义，等腰三角形的判定，勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质，正方形的性质；理解新定义，能根据腰不同进行分类讨论是解题的关键． 45．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)C，D (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查菱形及正方的性质，勾股定理解三角形，作垂线及线段，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形和正方形的性质即可得出结果； （2）结合图形，利用勾股定理即可证明； （3）利用垂线的作法及作一条线段等于已知线段即可． 【详解】（1）解：因为菱形和正方形的对角线互相垂直，所以菱形和正方形一定是垂中四边形， 故选：C、D； （2）在中， 在中，． 在中，． 在中，． ∴，． ∴． （3）如图所示，四边形即为所求． 46．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 47．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)，证明过程见详解； (3)证明过程见详解． 【分析】（1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； （3）过A作，交的延长线于N，得，，，进而得出为中点， ， ，由，即可得结论． 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． （3）证明：过A作，交的延长线于N， ， 四边形是平行是边形，， ，， ， ， 为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线间的平行线段相等、三角形外角的性质、平行线的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． 48．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        【答案】（1）①；（2）见解析；（3）15 【分析】（1）根据余缺四边形的定义，结合折叠的思想去思考拼图解答即可； （2）根据的平分线这一条件，判定以满足了一个条件，只需证明或即可； （3）根据勾股定理，三角形全等解答即可． 【详解】（1）解：②两个全等的等边三角形为成的四边形是菱形，而菱形的对角是相等的，故拼不成余缺四边形； ①将直角三角形沿着斜边折叠，得到四边形符合余缺四边形的条件， 故答案为：①． （2）证明：如图3， ∵的平分线，是四边形的一个内角， ∴对角线平分四边形其中一个内角成立； 过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为余缺四边形． （3）解：如图3，过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴，， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了新定义问题，线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 49．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）10或 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，理解定义是解题关键． （1）根据“等角线四边形”的定义即可判断； （2）连接、，根据正方形的性质，证明，即可得证； （3）根据题意求出、、，根据题意，分两种情况：Ⅰ当点在的上方时，连接；Ⅱ当点在的下方时，连接，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理及三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）证明：如图，连接、， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是等角线四边形． （3）解：，，， ， 点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点， 是的垂直平分线， ， 根据题意，分两种情况： Ⅰ当点在的上方时，如图，连接， 四边形为等角线四边形， ， ， ． Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形为等角线四边形， ． ， ， ， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 50．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长． 【答案】(1)是， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的乘法运算，直角三角形斜边上的中线的性质，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 特殊平行四边形综合压轴题7类题型 题型导览 题型1 特殊平行四边形中最值问题 （选题压轴） 题型2 四边形中多结论问题 （解答压轴） 题型3 特殊四边形综合解答题压轴 （选题压轴） 题型4 特殊四边形综合解答之探究类题型 （解答压轴） 题型5 特殊平行四边形中动点问题 （选题压轴） 题型6 四边形中最值问题 （解答压轴） 题型7 四边形中新定义类题型 （选题压轴） 题型汇总 题型1 特殊平行四边形中最值问题 1．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 2．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 3．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 6．已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 题型2 四边形中多结论问题 7．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（          ） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 12．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 题型3 特殊四边形综合解答题压轴 13．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 14．如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； (3)如图3，等腰直角的斜边与边相交于点，若点是的中点，求的长． 15．如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 16．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 17．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 18．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度． 【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度． 题型4 特殊四边形综合解答之探究类题型 19．在探究平行四边形的性质时，某学习小组发现并证明如下有趣的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： (1)问题发现：如图①，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形的研究发现：在矩形中，令，，则可求得______（用含a，b的代数式表示）； (2)问题探究：如图②，学习小组通过添加辅助线，继续对一般平行四边形进行研究，分别过点A、D作边的垂线段，请你证明：； (3)问题拓展：如图③，在中，是边上的中线，已知，，，则的值为______． 20．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    21．问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 22．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 23．问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 24．【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 25．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 26．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 题型5 特殊平行四边形中动点问题 27．已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 28．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 29．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 30．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度移动（不到点）.设点，同时出发移动秒．    (1)在点，移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由： (2)如图2，连接，设交于点，当时，求的长； (3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，交于点，当与的夹角为，求的值． 31．如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀透运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．    (1)直接写出___________，___________．（用含的式子表示出来） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 32．如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．    (1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积； (2)若经过秒使得，求的值； (3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值． 33．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 题型6 四边形中最值问题 34．正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 35．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 36．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 37．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 38．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 39．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 题型7 四边形中新定义类题型 40．阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 41．在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、、，线段、相交于点，若，证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且． ①求的长；②在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 43．【定义】 在学习了“中心对称图形--平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究． 【理解】（1）如图① ，正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：四边形为“双直四边形” 【应用】（2）如图② ，双直四边形中，，，，对角线与相交于点，且，求四边形的面积． 【拓展】 （3）如图③ ，双直四边形中，，，且，若，求线段的长度． 44．探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】 （1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】 （5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 45．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 46．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    47．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 48．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        49．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 50．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $