空间几何体 课件-2027届高三数学一轮复习

高三一轮复习——空间几何体 课 前 基 础 巩 固 1.空间几何体的结构特征 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相______且 ____________ 多边形 互相______且 ______ 平行 全等 平行 相似 课 前 基 础 巩 固 2 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 ____________ 相交于 ______， 但不一定相等 延长线交于 ______ 侧面形状 ____________ ________ ______ 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 续表 课 前 基 础 巩 固 3 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， ______于底面 相交于 __________ 延长线交于 ______ 垂直 一点 一点 课 前 基 础 巩 固 4 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的 ______ 全等的 __________ 全等的 __________ ____ 侧面展 开图 ______ ______ ______ 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 续表 课 前 基 础 巩 固 5 2.直观图 （1）画法：常用____________. 斜二测画法 （2）规则： ①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中轴、 轴的夹角为 或 ，轴与轴和 轴所在平面______. 垂直 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________， 平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于 轴的 线段，长度在直观图中变为原来的______. 分别平行于坐标轴 不变 一半 课 前 基 础 巩 固 6 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 _____ ____ __________ 课 前 基 础 巩 固 7 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 _____ 锥体 _ _____ 台体 球 ______ _ _____ （其中柱体、锥体、台体的高为，球的半径为 ） 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 （祖暅原理）． 2.直观图与原平面图形面积间的关系： ， . 课 前 基 础 巩 固 9 3.球的截面的性质 （1）球的任何截面都是圆面; （2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面; （3）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径 的关系为 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］下列说法中错误的是______. ①经过不共面的四点的球有且仅有一个；②平行六面体的每个面都 是平行四边形；③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直；④棱台的 每条侧棱均与上下底面不垂直； ⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥. ④⑤ ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 对于①，经过不共面的四点的球，即为由这四个点组成的 四面体的外接球，有且仅有一个，故①中说法正确； 对于②，平行六面体的每 个面都是平行四边形，故②中说法正确； 对于③，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故③中说法正确； 对于④，棱台的每条侧棱延长后交于一点，侧棱有可能与底面垂直， 故④中说法错误； ⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫 作棱锥是错误的,因为这些三角形不一定有一个公共顶点， 如图.故填④⑤. 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］如图是用斜二测画法画出的水平 放置的的直观图（图中虚线分别与轴、 轴平行），则原图形的底边 的长是___， 高是____. 4 16 [解析] 根据题意，原图形的底边 的长为4，高为16. 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开图是一个 半圆，则圆锥的底面半径为___ . 2 [解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为 ，由条件得 可得 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：对空间几何体的相关公式掌握不牢致误；对空间几何体的 结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误. 4.已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是 ， 则它的体积为_ _____ . 课 前 基 础 巩 固 15 [解析] 如图，设正四棱台 的上、 下底面的中心分别为，，连接，， ， 结合正四棱台的性质可知四边形 为直角梯形， 且， ， 所以 ， 即正四棱台的高为 ， 所以正四棱台的体积为 . 课 前 基 础 巩 固 16 5.如图所示，将一个长方体用过同一顶点的三条棱 中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下 的几何体体积的比为______. [解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为，， ， 则截出的棱锥的体积 ， 剩下的几何体的体积， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.圆柱的侧面展开图是边长为 和 的矩形，则圆柱的体积是 ____________. 或 [解析] 设圆柱的底面半径为.若圆柱的母线长是 ,则 ， 所以，所以圆柱的体积为 . 若圆柱的母线长是 ,则，所以 ， 所以圆柱的体积为. 故圆柱的体积是或 . 课 前 基 础 巩 固 18 探究点一 基本立体图形与直观图 角度1 直观图 例1 如图，矩形 是用斜二测画法画出的 水平放置的一个平面四边形 的直观图，其 中,，那么 的面积为 ( ) A.4 B. C.8 D. ［思路点拨］求出矩形 的面积，再利用斜二测画法中直观图 面积与原图形面积的关系，求得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 依题意，矩形的面积 ， 因为斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] （1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于 轴的线段 平行性不变，长度不变；平行于 轴的线段平行性不变，长度减半. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的 面积的关系： 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 如图，是水平放置的 用 斜二测画法画出的直观图，若 是边长 为3的等边三角形，则 的面积为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 如图，过点作轴，并与 轴交于点， 则 ， ，， 则 ，得， 则的高为 ，面积为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 角度2 展开图 例2 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线 长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆 锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程 为 ，则这个圆锥的高为_____，体积为_ _____. ［思路点拨］根据最短路程为圆锥的侧面展开图中 ，由余弦定理 求得及 ，再求得圆锥的高与体积. 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示， 该小虫爬行的最短路程为 ， 由余弦定理可得 ， 所以. 设底面圆的半径为，则有 ， 解得， 所以这个圆锥的高 ， 体积 . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图,将空间问题平面化. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题（1）[2025·贵州贵阳七校联考]现有一把折 扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为 ， 上板长为 ，若把该扇环围成一个圆台，则圆台 的高为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 设小扇形的半径为 ，则大扇形的半径为 ， 设圆台的上、下底面的半径分别为，， 则 ，，所以 ， 所以 ， 所以圆台的高为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 28 （2）某三棱柱的平面展开图如图所示，网 格中的小正方形的边长均为1，是线段 上的点，则在原三棱柱中， 的最小 值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 将展开图还原成立体图形得到三棱柱 ，如图①. 由已知可得，，，， 易知 为直角三角形且 . 将三棱柱的上底面沿翻折至平面上， ， 在两侧,连接，如图②所示. 因为， ，所以， 则的最小值为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 30 探究点二 简单几何体的表面积与体积 微点1 侧面积和表面积 例3（1）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作 平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台 与原圆锥的表面积之比为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设原圆锥的底面半径为2，由圆锥和圆台的表面积公式 计算可得. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 不妨设原圆锥的底面半径为2，则高为 ， 则原圆锥的表面积为 . 小圆台的上、下底面的面积之和为 ， 侧面积为 ，则表面积为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 （2）[2025·辽宁锦州质检]如图，攒尖是中国古代 建筑中屋顶的一种结构形式，多见于亭阁式建筑. 某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近 似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的高为1且侧 棱长为 ，则该正六棱锥的侧面积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设底面边长为，根据侧棱长和高求出 ，进而求 出棱锥的斜高，最后求出棱锥的侧面积. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 设正六棱锥的底面边长为 ，则由正六边形的 性质可知底面中心到底面顶点的距离为 ， 又正六棱锥的高为1且侧棱长为 ， 根据正六棱锥的性质得，解得 ， 所以侧面等腰三角形的 高 ， 所以该正六棱锥的侧面积 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 求空间几何体表面积的方法: （1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄 清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系; （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔 接部分的处理. 注意表面积与底面积、侧面积的区别. 课 堂 考 点 探 究 35 微点2 体积 例4（1） 新课标Ⅰ卷］已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧 面积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求出底面半 径，然后求解圆锥的体积； [解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 . 由题可知,解得,则, , 圆锥的体积 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·山东烟台三模]如图，在六面体 中， 平面，四边形与 为两个全等的矩形， 且，，若 ， ，则该六面体的体积为( ) A.14 B. C. D.24 √ 课 堂 考 点 探 究 37 ［思路点拨］先根据题意把六面体 看成长方体的 一部分，再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部 分的体积即可求解. [解析] 在长方体 中， ， ， 根据题意可知，六面体 可以 看成长方体 的一部分. 课 堂 考 点 探 究 38 因为长方体 的体积， 直三棱柱 的体积 ， 直三棱柱 的体积 ， 三棱锥 的体积 ， 所以六面体 的体积为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 求空间几何体体积的常用方法: （1）公式法:规则几何体的体积,直接利用公式进行求解; （2）割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则 的几何体补成规则的几何体; （3）等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特 别是三棱锥的体积. 课 堂 考 点 探 究 40 应用演练 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短 缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为;水位为海拔 时，相应水面 的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台， 则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量约为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 由题意知，水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的上 底面）的面积为, 水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的下底面）的面积 为 , 水面上升的高度为 ， 所以增加的水量（棱台的体积） .故选C. 课 堂 考 点 探 究 42 2.[2025·重庆七校联盟质检]如图，在直三棱柱 中，底面是正三角形， ， ，为的中点，则三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的表面积为( ) A. B. C.12 D. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 由题意得 ， ， ， 因为，所以 ， 所以 ， ， ， 课 堂 考 点 探 究 44 易知， ， ， 所以三棱柱截去三棱锥 后所得几何体的表 面积为 . 故选A. 课 堂 考 点 探 究 3.（多选题）如图，圆锥 的底面半径为3，高为 ，过靠近点的三等分点 作平行于底面的截 面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正 确的是( ) A.圆锥的母线与底面所成的角为 B.圆锥的侧面积为 C.挖去圆柱的体积为 D.剩下几何体的表面积为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 46 [解析] 如图，因为圆锥 的底面半径为3，高为， 所以母线长，则 ， 即圆锥的母线与底面所成的角为 ，故A正确； 圆锥的侧面积 ，故B错误； 因为为 的三等分点，所以, ， 则圆柱的体积为 ，故C正确； 圆柱的侧面积 ，则剩下几何体的表面 积 ，故D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 47 4.[2023·新课标Ⅱ卷］底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面 所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积 为____. 28 [解析] 方法一：依题意可知，原正四棱锥的高为6，故棱台的体积 . 方法二：由题可知所得棱台的高为3，上底面是边长为2的正方形， 下底面是边长为4的正方形， 由棱台的体积公式可得棱台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 48 【备选理由】例1考查了多面体的定义、结构特征的判断及表面积计 算. 例1 ［配例3使用］[2025·河北邢台卓越联盟期中]某广场设置了一些 石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正 三棱锥得到的几何体，则下列说法错误的是( ) A.该几何体有6个面是正方形 B.该几何体有8个面是正三角形 C.该几何体共有26条棱 D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小 √ 教 师 备 用 习 题 49 [解析] 对于A，B，因为该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱 锥得到的， 所以该几何体有8个面是正三角形，有6个面是正方形， 故A，B中说法正确. 对于C，因为原正方体每个面均有四条边， 所以该几何体共有24条棱，故C中说法错误. 教 师 备 用 习 题 50 对于D，不妨设正方体的棱长为2， 则截去的每个正三棱锥的侧面积为 ， 它的底面是边长为的正三角形，其面积为 ， 故截去的每个正三棱锥的侧面积比它的底面积大， 故该几何体的表面积比原正方体的表面积小，故D中说法正确.故选C. 教 师 备 用 习 题 51 例2 ［配例1使用］[2025·辽宁名校联盟联考] 如图，矩形 是 用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形 的直观图，直 观图中交于点，平面四边形中，交于点 ，其 中, . 【备选理由】例2是对直观图还原的补充,利用直观图与原图形的关系 作图，并考查旋转体的体积问题. （1）求平面四边形 的面积； 教 师 备 用 习 题 52 解：在直观图中 ， , 平面四边形 如图所示， 则， ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 53 （2）将四边形以 所在直线为轴旋转半周，求旋转形成的几 何体的体积. 解：由（1）易知,, , ， 梯形以 所在直线为轴旋转半周得到一个上底 面半径，下底面半径， 高 的圆台的一半， 以所在直线为轴旋转半周得到一个底面半径 ， 高的圆锥的一半， 教 师 备 用 习 题 54 所以旋转形成的几何体为个圆锥与 个圆台构成的组合体， 所以旋转形成的几何体的体积 . 教 师 备 用 习 题 55 例3 ［配例3、例4使用］（多选题） 新课标Ⅱ卷］已知圆锥 的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ， ，点在底面圆周上，且二面角的平面角为 ， 则( ) A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为 C. D.的面积为 √ √ 【备选理由】例3是高考真题,旨在熟悉高考命题的考查方式,本题侧重 考查空间几何体（圆锥）的表面积、体积及截面三角形面积的计算. 教 师 备 用 习 题 56 [解析] 如图，取的中点,连接，， ， 则，， 故 为二面角的平面角，得 . 因为 ，，所以， ， 故圆锥的体积 ，故A正确； ，故B错误； 由 ，可得，故，故C正确； 易知 ，由，，得, 则 ，故D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 57 $