微专题：正方形中的“十字架”模型课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）数学八年级下册 第二十一章 四边形 微专题：正方形中的“十字架”模型 3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 教材P.77 “十字架”模型 原题呈现 例1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点. （1）若AE⊥BF，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：AE⊥BF. 典例分析 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， 又∵AE⊥BF ∴∠AMB＝90°， 在Rt△ABM中，∠BAE+∠ABF＝90°， 又∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ∠BAE＝∠CBF，AB＝BC，∠ABE＝∠C ∴△ABE≌△DAE（ASA）， ∴AE＝BF； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴△ABE和△BCF是直角三角形. 在Rt△ABE和Rt△BCF中 AE=BF，AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△DAE（HL） ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABE=∠CBF+∠ABF=90° ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠AMB=90° ∴AE⊥BF. 图示 条件 结论 在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上点. 模型提炼 AE⊥BF AE=BF △ABF≌△DAE AE=BF AE⊥BF 例2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点. （1）平移AE至GK，GK⊥BF，垂足为点I． 求证：BK=AG+CF 典例分析 证明：如图1，过点A作AH⊥BF交BC与点H， ∵GK⊥BF, ∴AH//GK, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AG//BC ∴AH//GK, ∴四边形AGKH是平行四边形， ∴AG=KH ∵正方形ABCD中，AH⊥BF, ∴AH=BF 又∵AB=BC ∴△ABH≌△BCF ∴BH=CF， ∴BK=HK+BH=AG+CF. H 方法小结：线段不过正方形顶点时的辅助线作法 方法1.作平行 方法2.作垂直 H H 连接正方形两组对边上的任意两点，得到的两条线段， 若垂直，则相等；若相等，则垂直。 课堂练习 4.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为 . 例2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点. （2）若点I是BF的中点，AC与GK交于点N，已知CF=2，BC=6，求NI的长． 拓展提升 基础性作业：1．如图，在正方形ABCD中，E在边DC上，F在边AD上，连接AE、BF，且AE⊥BF． （1）求证：AE＝BF； （2）若AB＝4，CE＝1，求AG．   布置作业 拓展性作业：2．如图1，在正方形ABCD中， ，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图3，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求OE的长． $