第21章 专题5 正方形中的“十字”模型-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦第二十一章四边形中的“正方形‘十字’模型”，通过模型识别引入，结合正方形性质，以探究一（DE=CF证AF与BE关系）、探究二（移动线段证BE=GF）、探究三（移动两线段求比值）为脉络，构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于以“一题一课”模式，通过构造全等三角形培养几何直观与推理能力，如探究中引导学生寻找直角三角形、证明全等，体现模型意识。规范解答与应用题目助力学生形成严谨思维，能提升学生解题技巧，教师可直接用于专题教学以提高效率。

2 第二十一章　四边形 　专题5　正方形中的“十字”模型 一题一课 3 【模型识别】 分别连接正方形两组对边上的任意两点，得到两条互相交叉，看起来像“十字”的线段，如图.   【模型探究】 已知在正方形ABCD中，E，F分别在边CD，BC上（不与正方形的顶点重合）. 探究二 探究三 1 2 探究一 4 探究一：如图1，连接AF，BE，若DE=CF，试说明AF和BE的关系. 学霸说 解决“十字”模型问题的一般思路：①寻找或构造两条“十字”线段所在的直角三角形；②证明两直角三角形全等；③应用全等解决问题. 本题由DE=CF，可得CE=________，结合正方形的性质证得△AFB≌________，从而得到AF和BE的数量关系和位置关系. BF △BEC 探究二 探究三 1 2 探究一 5 【规范解答】 如图，设AF与BE交于点P.　 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°. 又DE=CF，∴CE=BF， ∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∠BAF=∠CBE. ∵∠CBE+∠ABE=90°，∴∠BAF+∠ABE=90°， ∴∠APB=90°，∴AF⊥BE. 综上所述，AF=BE，且AF⊥BE. 探究二 探究三 1 2 探究一 6 探究二：移动“十字”线中的一条线段 如图2，连接BE，过点F作FG⊥BE交AD于点G. 求证：BE=GF.  证明：如图，过点G作GP⊥BC，垂足为P， 则∠GPB=∠GPF=90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC. ∵∠PGF+∠GFP=90°，∠CBE+∠GFP=90°，∴∠PGF=∠CBE. 在△PGF和△CBE中， ∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=GF. 探究二 探究三 1 2 探究一 7 探究三：移动“十字”线中的两条线段 如图3，在AD边上取一点G，连接GF，过点E作GF的垂线交AB于点H. 求的值. 解：如图，过点G作GM⊥BC，过点H作HN⊥DC，垂足分别为M，N，HN交GF于点P，则四边形ABMG和四边形HBCN都是矩形， ∴GM=AB=BC=HN，∠GMF=∠HNE=90°. ∵∠GPH+∠NHE=90°，且分析易得∠FGM+∠GPH=90°， ∴∠NHE=∠FGM，∴△MGF≌△NHE（ASA）， ∴GF=HE，∴=1. 探究二 探究三 1 2 探究一 8 【模型归纳】 【模型应用】 1. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F， 连接AF，若AB=5，BE=2，则BF=________，AF=________. 探究二 探究三 1 2 探究一 9 2. 如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A'，点D的对应点G落在BC边上，连接DG，若CG=1，则EF=_______. 探究二 探究三 1 2 探究一 10 11 $