专题训练39导数解决恒成立问题与能成立问题-2026届高考数学三轮冲刺

专题39　导数解决恒成立问题与能成立问题 题型01 利用导数研究恒成立问题 1．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，即可求出切线方程. （2）先化简不等式，根据指数函数的性质求出结果. 【详解】（1）当时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. （2）由题意化简得， ，，又，， 故​. 2．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为，使得成立，设，利用导数求出其最大值即可； （3）由题意可得恒成立，即恒成立，其中，设，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）当时，， ，， ， 在处的切线方程为； （2）当时，. 在上的解集非空， 等价于，使得成立， 设， 则， 单调递减，， . （3）恒成立，恒成立， 令，则，恒成立， 设， 则，显然，单调递减， ，∴在上，单调递增， 在上，单调递减， ， ，即的最小值为. 3．（25-26高三上·全国·月考）已知函数 (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式成立可得即可，构造函数并求出函数的最大值可得结果； （2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，对参数的取值分类讨论，即可求得. 【详解】（1）易知的定义域为， 由可知，即存在满足， 令， 则，显然当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意； 即的取值范围为； （2）由（1）可知当时在上无解， 因此在上恒成立； 由在定义域内恒成立可得在上恒成立； 因此可得在上恒成立， 令，则， 当时，； 若，可得在上恒成立； 此时可知在上单调递增，因此在上恒成立，满足题意； 若，由可得，即在上单调递增； 由可得，即在上单调递减； 所以，此时在上不恒成立，不合题意； 综上可知， 因此的取值范围为 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）通过构造函数，结合基本不等式、导数与最值的关系求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 设，则在恒成立等价于在恒成立. ， 又，，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，. 当，即时，, 所以在上单调递增，又，所以， 满足在上恒成立. 当，即时，令，则. 因为，所以，，则，所以在上单调递增. 又，当时，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立. 综上，的取值范围为. 5．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，求得，得到当时，恒成立，即可得到答案； （2）根据题意，转化为在上恒成立，令，求得，得到在上单调递减，结合时，，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. （2）解：函数，定义域为， 若对于任意时，恒成立，即， 可得在上恒成立， 令，可得， 当时，由，可得， 当时，可得， 当时，由，可得， 综上，当时，，所以在上单调递减， 当时，由，此时，所以 因为在上恒成立，即，所以， 经验证： 当时，，可得， 当时，由，可得，单调递减； 当时，由，可得，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 此时对于任意，，满足题意； 当时，当时，， 则存在充分接近的，使得，即， 即，此时不满足恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 6．（25-26高三下·重庆·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是； (2) 【分析】（1）由得增区间，由得减区间； （2）首先，然后在时，结合（1）对分类讨论，时利用（1）的结论可得，，求出导函数，然后再利用导数研究的单调性，从而得出结论． 【详解】（1），则，，函数定义域为， 时，，单调递增，时，，单调递减， 所以的单调增区间是，减区间是； （2）时，恒成立， 时，若，由（1）知当时函数的最大值为0，则当时，又， 所以恒成立， 若，， 设，则，是减函数， 由得， 若，则， 当时，在上恒成立，（因为，，，所以）， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递减，满足， 若，即时，当时，，递增，当时，，递减， 所以在处取得最大值， ， 令，则， ，则，所以在上单调递增， 所以， 所以，且， 所以在时，，则在上单调递增，，不满足， 综上，的取值范围是． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; (2) (3) 【分析】（1）利用导数与单调性的关系即可求解； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【详解】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得: 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为; （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 8．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）对求导，分，和，讨论与的大小，即可得出答案； （2）由结合（1）可得，再分和结合的单调性可知不成立，可求得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以由（1）知不符合题意，故， 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 所以实数的值为. 题型02 利用导数研究能成立问题 9．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 10．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 11．（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. 13．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，判断导数符号，确定函数单调递增，进而求出值域； （2）通过证明，可得，进而将问题转化为证明，再构造函数求导分析单调性和极值点即可； （3）构造函数，求导数，并对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由题得， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 所以在区间上的值域为． （2）由（1）知，当时，， 所以， 要证， 只需证， 只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，，所以， 令，代入得成立， 所以． （3）令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以的取值范围为． 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，可得，进而利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线方程； （2）先利用导数法证明当且仅当时等号成立，再利用导数法证明当且仅当时等号成立，即可证明； （3）将整理得，设函数，利用单调性得，即，利用导数法求得函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）由得，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）设，，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 设，定义域为， 则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以； （3）因为，整理可得， 故，设函数，则， 因为，所以函数单调递增，所以， 整理可得，设函数，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围. 15．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）设是函数的一个极值点. (1)求与的关系（用表示），并判断的单调性； (2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调性见解析 (2) 【分析】（1）由=0可得之间的关系；由之间的关系可得，分、，即可确定函数的单调区间； （2）由题意可得，分别求出两函数的值域，可得，求解即可. 【详解】（1）， 由=0，得 故. 因为， 由=0得：， 由于是的极值点， 故，即 当时，， 故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数； 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； （2）由题意，存在[0，4]，使得成立， 即不等式在[0，4]上有解. 于是问题转化为， 由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域. 因为，则， 由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故在[0，4]上的值域为， 而在[0，4]上显然为增函数，其值域. 因为=≥0， 故， ， 从而， 解. 故的取值范围为 16．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 强化训练 1．（2026·江西宜春·一模）已知函数，. (1)讨论函数的极值； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. (2) 【分析】（1）求导，结合，讨论函数单调性，利用极值的定义即可求解； （2）通过分离参数，构造函数令，求导确定单调性，求得最值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，     即函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，由得；由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， 综上：当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. （2）依题可知：不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递减，则， 即函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性即可； （2）问题化为对恒成立，应用导数求不等式右侧的最大值，即可得. 【详解】（1）当时，，易得的定义域为， ， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由，即，即对恒成立， 设函数，则（）， 设函数（），易知在上单调递减，所以， 所以，则在上单调递减，得， 所以，即的取值范围为. 3．（2026·河北廊坊·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 (2) 【分析】（1）先对进行求导，再利用导数和单调性的关系求解即可； （2）利用（1）可知单调性分类讨论，再求解即可. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. 4．（25-26高三下·山东·月考）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； (2)若函数在定义域内不单调，求的取值范围； (3)若，对任意的,恒成立，求的最小值． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】(1) 先对函数求导，结合导数的几何意义求出函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； (2)因为函数在定义域内不单调，所以其导数在定义域内有正有负，即在上有解，且解的两侧导数符号不同；对求导，根据参数分离的方法整理导函数，分析导函数对应的函数的单调性、最值，再根据导数有正有负的条件求出的取值范围； (3)因为对任意恒成立，所以；对求导，分析的单调性，求出的表达式，得到与的关系，从而将转化为关于的函数，再通过求导分析该函数的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1），. 当时，，. 曲线在点处的切线方程为. 令时，;令时，; 该切线与坐标轴围成的三角形的面积 由题意知，即，解得或 的值为或2. （2）函数的定义域为；由，解得. 令，则函数不单调的充要条件是其导函数变号， 这等价于大于的最小值. 由，令，解得 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ，即，解得. 的取值范围是 （3），函数的定义域为，， 设，则 在上单调递减 令，则 ，， 在上单调递减，且当时， ，， 又，在上单调递减， ，使得，即，得 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ,恒成立， ,,，解得 令， 则 令，解得或 ∵ ，∴ ，故 舍去，解得 ” 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 的最小值为. 5．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 6．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可知，解得，代入并检验即可； （2）法1：将原命题否定可得在恒成立，探求成立的必要条件并证明即可； 法2：将不等式变形为有解的问题，构造函数，并求出在上的最大值为，可得结论； 法3：构造函数并求导，得出的最小值并使其小于零，结合不等式性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 因为是极值点，所以，即，， 此时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以是极小值点， 综上，. （2）法1： 研究命题的否定，即，， 所以，解得（成立的必要条件）， 下面证明：时，在恒成立. 因为， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以，即证. 所以，使得，则. 法2： 由题意，有解， 令，所以， 设， 因为，所以在上单调递减，且. 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. 法3： 由题意，在有解， 令，则， ①当时，则，满足题意； ②当时，因为存在使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 因为，所以. 令，所以， 所以在上单调递减，且， 所以的解为. 因为，所以； 综上，. 7．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性即得； （2）由题意可得，利用（1）的结论，结合特值代入，推得方程有一个根为0，另一个根在区间内，进而得到函数在上的单调性，从而求得其最大最小值，进而求出参数的范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 8．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入函数式可求出； （2）根据对数函数单调性及定义域列不等式组求解； （3）将问题转化为两个函数有交点，利用值域求解. 【详解】（1）将点代入函数式得，即， 解得. （2）由（1） 所以， 则由得，解得， 所以的取值范围为. （3）方程，即， 所以关于的方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 所以函数与在上有交点， 令，则在恒成立， 所以函数在单调递增， 又，所以的值域为， 因为函数与在上有交点， 所以，即的取值范围为. 9．（2026·河北衡水·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】(1)代入求出切点坐标，对函数求导得到切线斜率，利用点斜式求出切线方程并化简 (2)化简不等式分离参数，求导分析其单调性，找到最大值即为的下界 (3)化简表达式，求导确定单调区间，计算特殊点函数值及极限，利用零点存在定理判断零点分布 【详解】（1）解：，，即切点为； ，，利用点斜式可得切线方程为. （2）解：由恒成立，得，化简得： ， 即，即 设，，令，解得， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以在处取极大值，，故. （3）证：设，当时，，， 则，，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，且在处取得极大值， 因为，所以，； 因此，在和各有一个零点， 所以函数在有且只有两个零点. 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，直线过坐标原点且与的图象相切. (1)证明：的图象（除了切点）始终在直线的上方： (2)已知，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可求得切线方程为，令，利用导数求得，即可得到证明. （2）由，解得或，再利用转化思想和导数进行验证即可. 【详解】（1）设切点，因为，则切线方程为， 将代入，得，所以. 故切线方程为，设，则， 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 可得.所以，即， 当且仅当时取等，所以的图象（除了切点）始终在直线的上方. （2）因为 ， 所以，由题意可得，解得， 当时，令， 则，且， 则，令， 则，当时，令，则， 所以单调递增，所以 所以，所以， 令，则， 所以单调递增，所以，所以， 所以，即单调递增，所以，所以单调递增， 则，又当时，可得 ， 令，则， 则在上单调递增，而，故， 得到，故， 所以；当时，令， 则， 因为且，所以， 所以，令， 求导得， 令，则， 由时，， 可知，所以单调递增，，即单调递增， 所以，所以单调递增， 所以，所以； 若时，则，不满足题意； 综上，实数的取值范围为. 11．（2026·河南开封·二模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求证：对任意，不等式恒成立． 【答案】(1)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，结合导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （2）要证明只需证明，再通过构造函数证明结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减． 因此，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）要证，两边取自然对数（因单调递增，不等号方向不变），即证， 由对数运算法则，化简得． 方法一   ， 即证． 由，可知，结合在区间上单调递增， 所以得证，原不等式成立． 方法二  令，因为，所以，即． 由三角恒等式，代入， 得， 令，需证， 求导得，化简得， 因为，所以，即在上单调递增． 接下来只需证明不等式． 因在上单调递增，故， 因此，当时，，即恒成立． 综上，对任意，不等式恒成立． 12．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解； （2）先求出的单调区间，进而求出的最小值为，再结合条件可得，再求解不等式，即可求解； 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. 13．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 【答案】(1)（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个 (2) 【分析】（1）（i）直接求导判断即可；（ii）根据导函数特征分区间判断单调性，无法直接判断的部分二次求导后，利用零点定理判断极值点的存在性. （2）将移到一边，定义另一边为以为变量，为参数的一次函数，分类讨论单调性后得到关于的恒等式，再利用导数得到最值. 【详解】（1）， （i）若，，， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （ii）当，由（i）可知，且， 又因为，所以，此时单调递减； 当时，设，则， 由（i）可知，且，， 又因为，所以， 所以即在上单调递增， 且有，， 由零点定理可知存在唯一的使得， 若，，若，， 综上在上单调递减，在上单调递增，为极小值点， 所以极值点的个数为 1个. （2）将化为， 设，， 当即时，此时， 单调递减至负无穷，可以取任意值； 当即时，此时， 单调递增或为常函数，， 依题意应有在上恒成立， 设，， 则， 所以在上单调递增， ， 所以的最小值为. 14．（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可知不等式在时有解，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据在有解可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得有解，即在时有解. 令，则    若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意；     若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得.               综上，的取值范围为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39　导数解决恒成立问题与能成立问题 题型01 利用导数研究恒成立问题 1．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. 2．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 3．（25-26高三上·全国·月考）已知函数 (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 5．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 6．（25-26高三下·重庆·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 8．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； 题型02 利用导数研究能成立问题 9．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 10．（25-26高三下·江苏扬州·月考）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 11．（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； 13．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 15．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）设是函数的一个极值点. (1)求与的关系（用表示），并判断的单调性； (2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 16．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 强化训练 1．（2026·江西宜春·一模）已知函数，. (1)讨论函数的极值； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 3．（2026·河北廊坊·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高三下·山东·月考）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； (2)若函数在定义域内不单调，求的取值范围； (3)若，对任意的,恒成立，求的最小值． 5．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 6．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 7．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 8．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 9．（2026·河北衡水·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，直线过坐标原点且与的图象相切. (1)证明：的图象（除了切点）始终在直线的上方： (2)已知，当时，恒成立，求的取值范围. 11．（2026·河南开封·二模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求证：对任意，不等式恒成立． 12．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； 13．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 14．（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $