专题37　函数的极值、最值必刷题-2026届高考数学三轮冲刺新高考适用

专题37　函数的极值、最值 题型01 利用导数研究函数的极值 1．（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数，则下列正确的是（   ） A．为奇函数 B．3是的极小值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上一定存在最大值 2．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 3．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 4．（25-26高三下·安徽合肥·月考）（多选）已知函数，，且在处取得极小值，则（    ）． A． B．仅有一个极值点 C．当时， D．当时， 5．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 6．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 7．（2026·江西赣州·二模）已知函数，， (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 8．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数． (1)若直线与曲线在处的切线平行，求的值． (2)求函数的极值； 题型02 利用导数研究函数的最值 9．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________． 10．（25-26高三下·海南·月考）函数在上的最小值为______． 11．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 12．（25-26高三上·山东·月考）设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 14．（22-23高三下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知函数. (1)求的最值； 题型03 由极值、最值求参数的范围 17．（2026·湖北荆州·一模）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 18．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围． 20．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 21．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； 22．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数（）． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个极值点为，，求的最小值； 24．（2026·四川·二模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，在最大值为10，最小值为0，求此时a，b的值． 强化训练 1．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三上·河北保定·月考）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（25-26高三下·辽宁·月考）若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 5．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南·一模）（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 8．（2026·云南昭通·二模）（多选）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，在处的切线斜率为 B．当时，最大值为 C．当时，在定义域上单调递减 D．当时，存在一个极大值点和一个极小值点 10．（2026·陕西渭南·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数有三个零点 B．当时， C．，，都有 D．若方程有三个解，则实数的取值范围是 11．（2026·河南开封·二模）（多选）函数（且），则（   ） A．当时，无极值点 B．当时，无极值点 C．若分别是的极大值点和极小值点，且，则 D．若分别是的极小值点和极大值点，且，则 12．（25-26高三·全国·三轮复习）若是函数的极值点，则___________. 13．（25-26高三下·湖南长沙·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 14．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 15．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 16．（25-26高三下·上海·月考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 17．（2026·吉林·二模）已知函数，． (1)求，的单调区间； (2)已知，函数，讨论的极值点的个数； 18．（24-25高三上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； 19．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 20．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 21．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题37　函数的极值、最值 题型01 利用导数研究函数的极值 1．（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数，则下列正确的是（   ） A．为奇函数 B．3是的极小值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上一定存在最大值 【答案】ABC 【分析】化简，根据函数解析式可判断A；求导，根据极小值点的定义可判断B；根据导数的几何意义计算可判断C；根据函数单调性定义可判断D. 【详解】对于A，， 显然是奇函数，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，故B正确； 对于C，，， 故曲线在点处的切线方程为，即，故C正确； 对于D， ， 在处左增右减，故为极大值点，极大值， 在上单调递增，且时，， 所以在上不一定存在最大值，故D错误. 2．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 【答案】AC 【详解】求导得：，定义域， 代入得：，解得，A正确； 因此，， 当时，，当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减， 即在时取到极大值，无极小值，故B错误; 因此最大值为，C正确； 因为最大值，且时， ，时，， 即在和各存在一个唯一零点， 故与轴有2个交点，D错误. 3．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）. 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．（25-26高三下·安徽合肥·月考）（多选）已知函数，，且在处取得极小值，则（    ）． A． B．仅有一个极值点 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【详解】由，得①． ，由在处取得极小值，得，即②， 联立①②，解得，． 所以，定义域为， . 当或时，； 当或时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 又，所以为奇函数． 对于A，，故A正确； 对于B，有一个极大值点和一个极小值点，所以B错误； 对于C，当时，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，， 因此恒成立，即恒成立，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，，即，故D错误． 5．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值. 【详解】（1）由题意知， 则 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 易知的极大值为，极小值为． 6．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3)无极值，理由见详解 【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明； （2）求导，分和两种情况，结合导数分析原函数单调性，注意函数定义域； （3）求导，分和两种情况，结合（2）中的单调性以及的符号分析的符号性，即可判断. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. （2）因为，， 令，解得或， 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）无极值，理由如下： 因为，且， 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 综上所述：无极值. 7．（2026·江西赣州·二模）已知函数，， (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. (2) 【分析】（1）求导得，再分与讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数，分与讨论求解即可； 【详解】（1）解：，定义域为，， 当时，恒成立，故函数在单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值. 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. （2）解：， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，， ， 令， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立. 8．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数． (1)若直线与曲线在处的切线平行，求的值． (2)求函数的极值； 【答案】(1); (2)极小值为，无极大值； 【分析】(1)先求出曲线在处的切线，根据平行直线的性质斜率相等，即可得到结论； (2)求导得到函数单调性，根据极值得定义可得； 【详解】（1）求导得，所以， 直线与曲线在的处切线平行， 即与曲线在的处切线平行，所以. （2）由(1) 得， 令，得； 令，得； 所以在单调递减，在单调递增； 故的极小值为，无极大值； 题型02 利用导数研究函数的最值 9．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】先根据导数的几何意义结合切线方程求得，可得，再利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 由于曲线在点处的切线方程为，即切线斜率为1， 则，所以，则， 当时，，，则，即， 当时，，，则，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则. 10．（25-26高三下·海南·月考）函数在上的最小值为______． 【答案】1 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 11．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 【答案】AC 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 12．（25-26高三上·山东·月考）设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆柱体积公式列出其表达式，然后求导判断单调性，求出最大体积，进而可求得结果. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得. 所以，所以圆柱的体积为. 求导得，当，即时，；当，即时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 而球的体积为，所以. 故选：B. 13．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调增区间为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为． 【分析】（1）利用两角差的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简可得：，利用最小正周期公式求周期，结合正弦函数性质求单调递增区间即可， （2）由正弦函数的单调性求出在区间上的单调性，结合单调性即可求出在区间上的最大值和最小值． 【详解】（1）因为， 所以 所以 ， 所以函数的最小正周期， 由得，，， 所以函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由于 ， 令，解得：, 所以函数的单调递减区间为， 结合（1）可得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 又，， 所以, 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 14．（22-23高三下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知函数. (1)求的最值； 【答案】(1)最小值为，无最大值； 【分析】（1）由的单调性判断并求解最值； 【详解】（1）定义域为，，令，则 因为（当且仅当时取等号），所以在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 又或时，，所以无最大值， 综上，最小值为，无最大值. 题型03 由极值、最值求参数的范围 17．（2026·湖北荆州·一模）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 18．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题可得，恰有一个零点.求导并分离参数，构造新函数，将问题转化为直线与函数的图象恰有一个交点，利用导数分析函数的取值情况可得. 【详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出在处的函数值以及导函数值，利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）分，两种情况讨论函数的单调性，并根据单调性求得函数的极小值，建立关于的不等式，构造新函数，通过研究新函数的单调性可求得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以，所以，． 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由题意得的定义域为，且． 当时，则恒成立， 所以在上单调递减，无极值，不符合题意； 当时，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 由题意可得，． 令，则，在上单调递增． 易知，所以不等式等价于，解得． 综上，的取值范围为． 20．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 【答案】2 【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点. 【详解】由题设，且，即， 此时且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题设，故. 21．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为； 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；【详解】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       22．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）通过构造函数，结合基本不等式、导数与最值的关系求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 设，则在恒成立等价于在恒成立. ， 又，，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，. 当，即时，, 所以在上单调递增，又，所以， 满足在上恒成立. 当，即时，令，则. 因为，所以，，则，所以在上单调递增. 又，当时，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立. 综上，的取值范围为. 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数（）． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个极值点为，，求的最小值； 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． (2) 【分析】（1）求导，利用导数结合分类讨论的单调性； （2）利用已知条件，求出，构造函数并求导，利用函数单调性求最小值； 【详解】（1）函数求导得， 当时，，仅当时导数为0，则在上单调递减； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． （2）当时，，故的两个极值点为，， ，， 令，，求导得， 当时，，故， 在上单调递增，最小值在处取得：． 24．（2026·四川·二模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，在最大值为10，最小值为0，求此时a，b的值． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，利用分类讨论法进行求解即可； （2）根据函数最值定义，结合（1）中的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，令，所以函数在上单调递增， 令，所以函数在上单调递减； 当时，令，或，所以函数在和上单调递增， 令，所以函数在上单调递减； 当时，令，所以函数在上单调递增； 令，或，所以函数在和上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； （2）由（1）可知：当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数单调递增， 所以有，解得. 强化训练 1．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 2．（25-26高三上·河北保定·月考）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 4．（25-26高三下·辽宁·月考）若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 5．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 6．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 7．（2026·湖南·一模）（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【详解】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 8．（2026·云南昭通·二模）（多选）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A：直接代入求解即可；对于B：利用导数分析得单调性，进而可得极值点；对于C：利用导数分析的单调性，进而可得零点；对于D：令，构造，利用导数可证，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或. 对于选项A：若，解得，故A正确； 对于选项B：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误； 对于选项C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； 对于选项D：若，令， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即，可得，整理可得，故D正确. 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，在处的切线斜率为 B．当时，最大值为 C．当时，在定义域上单调递减 D．当时，存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【分析】求导，代入可判断A；利用导数研究函数单调性可判断B；举反例可判断C；利用零点存在定理结合函数单调性可判断D. 【详解】已知函数（），分析各选项如下： A选项：当时，在定义域内， 求导得 代入得，故A正确； B选项：当时，，求导得 令得，当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，且最大值为，B正确； C选项：当时，的定义域为， 由，，得在定义域上不单调递减， 故C错误； D选项：当时，函数的定义域为， 求导得， 令， 分母，故的符号由分子决定， 先研究的单调性： 当时，，即在上严格递增； 当时，，即在上严格递减。 计算， 由于，，故， 区间上的情况： 当时，， 又在上连续且严格递增，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递减； 在上，，即，递增， 因此是的极小值点； 区间上的情况： 当时，， 又因为在上连续且严格递减，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递增； 在上，，即，递减， 因此是的极大值点， 综上，当时，在定义域内存在一个极小值点和一个极大值点， 故D选项正确. 10．（2026·陕西渭南·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数有三个零点 B．当时， C．，，都有 D．若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 11．（2026·河南开封·二模）（多选）函数（且），则（   ） A．当时，无极值点 B．当时，无极值点 C．若分别是的极大值点和极小值点，且，则 D．若分别是的极小值点和极大值点，且，则 【答案】ABD 【分析】求导函数，将导函数的零点转化为的交点问题，先求出相切时或，然后按照、、、、、分类讨论，利用函数图象研究函数的极值点，逐项判断即可. 【详解】， 令， 若与相切，设切点为， 解方程组， 所以，解得或． ①当时，画出的图象，如图： 两函数没有交点即方程无根，即无异号零点， 所以当时，无极值点，所以选项B正确； ②当时，与相切，如图： 无异号零点，所以当时，无极值点； ③当时，如图： 当或时，，则，当时，，则， 当或时，，则， 所以分别是的极小值点和极大值点，且，所以选项D正确； ④当时，如图： 当或时，，则，当时，，则， 当或时，，则， 所以分别是的极大值点和极小值点，且； ⑤当时，如图： 无异号零点，所以当时，无极值点，所以选项C错误； ⑥当时，如图： 两函数没有交点即方程无根，即无异号零点， 所以当时，无极值点，综上，当时，无极值点，故选项A正确. 12．（25-26高三·全国·三轮复习）若是函数的极值点，则___________. 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解． 【详解】解：由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意； 所以． 13．（25-26高三下·湖南长沙·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 14．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】将极值问题转化为导数零点问题，再构造函数，结合导数分析单调性，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 15．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解. 【详解】由题知，恒成立， 即，即对于恒成立， 令，则， 而在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则， 所以当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，又. 所以实数的取值范围是. 16．（25-26高三下·上海·月考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 【答案】 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 17．（2026·吉林·二模）已知函数，． (1)求，的单调区间； (2)已知，函数，讨论的极值点的个数； 【答案】(1)和的单调增区间均为，单调减区间均为； (2)答案见解析 【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间. （2）求导得解析式，令，得的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断的正负，可得其单调区间，分析即可得答案. 【详解】（1）由，，得， 因为恒成立，所以令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 由，，得， 令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 则， 令，解得或或（）. 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. 18．（24-25高三上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. 19．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；② 【分析】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． 20．（2026·云南昆明·二模）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值. 【答案】(1)（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个 (2) 【分析】（1）（i）直接求导判断即可；（ii）根据导函数特征分区间判断单调性，无法直接判断的部分二次求导后，利用零点定理判断极值点的存在性. （2）将移到一边，定义另一边为以为变量，为参数的一次函数，分类讨论单调性后得到关于的恒等式，再利用导数得到最值. 【详解】（1）， （i）若，，， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （ii）当，由（i）可知，且， 又因为，所以，此时单调递减； 当时，设，则， 由（i）可知，且，， 又因为，所以， 所以即在上单调递增， 且有，， 由零点定理可知存在唯一的使得， 若，，若，， 综上在上单调递减，在上单调递增，为极小值点， 所以极值点的个数为 1个. （2）将化为， 设，， 当即时，此时， 单调递减至负无穷，可以取任意值； 当即时，此时， 单调递增或为常函数，， 依题意应有在上恒成立， 设，， 则， 所以在上单调递增， ， 所以的最小值为. 21．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，求得，得到当时，恒成立，即可得到答案； （2）根据题意，转化为在上恒成立，令，求得，得到在上单调递减，结合时，，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. （2）解：函数，定义域为， 若对于任意时，恒成立，即， 可得在上恒成立， 令，可得， 当时，由，可得， 当时，可得， 当时，由，可得， 综上，当时，，所以在上单调递减， 当时，由，此时，所以 因为在上恒成立，即，所以， 经验证： 当时，，可得， 当时，由，可得，单调递减； 当时，由，可得，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 此时对于任意，，满足题意； 当时，当时，， 则存在充分接近的，使得，即， 即，此时不满足恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $