专题36　导数的几何意义及函数的单调性必刷题-2026届高考数学三轮冲刺新高考适用

专题36　导数的几何意义及函数的单调性 题型01 导数的几何意义与计算 1．（2026·云南昭通·二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为___________． 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线：的焦点为，若过上一点的切线交的准线于点，则______. 3．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南·模拟预测）若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 题型02 利用导数研究函数的单调性 9．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； 10．（2026·河北·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调递减区间； 11．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 13．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； 14．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； 15．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； 题型03 由单调性求参数的范围 16．（25-26高三下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 17．（2025高三下·全国·专题练习）若函数的单调减区间为，求a的值． 18．（25-26高三上·福建莆田·期末）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 19．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 20．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三下·湖北咸宁·月考）已知函数，若的单调减区间为，则实数______． 22．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 题型04 含参单调性的讨论 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数（）． (1)求的单调区间； 24．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； 25．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 26．（25-26高三下·四川成都·月考）设函数. (1)讨论函数的单调性； 27．（25-26高三下·内蒙古包头·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 28．（2026·广东惠州·一模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； 29．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 强化训练 1．（2024·江西南昌·二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 4．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海嘉定·月考）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 7．（25-26高三下·湖南娄底·开学考试）（多选）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东淄博·一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 10．（25-26高三下·河南许昌·月考）（多选）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 12．（2026·重庆九龙坡·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 13．（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 14．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 16．（25-26高三下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，. (1)，，求函数值域； (2)讨论的单调区间； 19．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36　导数的几何意义及函数的单调性 题型01 导数的几何意义与计算 1．（2026·云南昭通·二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【详解】因为，所以，则，， 则曲线在处的切线方程为：，即：，移项得：. 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线：的焦点为，若过上一点的切线交的准线于点，则______. 【答案】/ 【详解】由题意可知，，准线方程为， 设，因为，所以， 则过点的切线方程为，即， 将点代入得，得， 则. 3．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 5．（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 6．（2026·云南·模拟预测）若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______． 【答案】1或 【分析】分别设出直线和两曲线的切点坐标，求出切线方程的表达式，联立方程组可解得切点坐标，代入计算可得斜率或. 【详解】设直线与曲线的切点为; 易知,可得, 因此切线方程为，即, 可得, 设直线与曲线的切点为; 又，所以, 切线方程为,即, 所以; 因此可得，整理可得， 解得; 当时，可得； 当时，可得; 所以或. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 题型02 利用导数研究函数的单调性 9．（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 【分析】（1）当时，求得，得到当时，恒成立，即可得到答案； 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. 10．（2026·河北·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调递减区间； 【答案】(1)； 【分析】（1）由题已知函数，先求导函数，再令，又解出对应的不等式的解集，可得单调减区间； 【详解】（1）因为函数的定义域为， 当时，，则， 令，即，解得，所以 所以函数的单调递减区间为； 11．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 12．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 【答案】AC 【详解】求导得：，定义域， 代入得：，解得，A正确； 因此，， 当时，，当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减， 即在时取到极大值，无极小值，故B错误; 因此最大值为，C正确； 因为最大值，且时， ，时，， 即在和各存在一个唯一零点， 故与轴有2个交点，D错误. 13．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； 【答案】(1)在上单调递增 【分析】（1）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， 【详解】（1）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. 14．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； 【分析】（1）求导，利用在上单调递增，且时，即可求解； 【详解】（1）当时，，． 因为函数在上单调递增，且时，， 所以当时，，此时，在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 15．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. 故选：CD. 题型03 由单调性求参数的范围 16．（25-26高三下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 17．（2025高三下·全国·专题练习）若函数的单调减区间为，求a的值． 【答案】 【分析】根据导数正负分析函数单调性，再结合已知单调区间求出参数a的值. 【详解】由题意可得：， ①当时，， 在上为增函数， ②当时，令，解得， 当时，， 在上为减函数， 的单调递减区间为， ，即． 18．（25-26高三上·福建莆田·期末）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果. 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 20．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 21．（24-25高三下·湖北咸宁·月考）已知函数，若的单调减区间为，则实数______． 【答案】1 【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得； 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 22．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 题型04 含参单调性的讨论 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数（）． (1)求的单调区间； 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． 【分析】（1）求导，利用导数结合分类讨论的单调性； 【详解】（1）函数求导得， 当时，，仅当时导数为0，则在上单调递减； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． 24．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 25．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． 26．（25-26高三下·四川成都·月考）设函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递增； ④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性即可. （2）结合导数与极值的关系及极值的正负证明即可. 【详解】（1）由，可知， ， ①当时，， 则当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，， 则当时，，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，，在区间上单调递增； ④当时，， 则当时，，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 综上所述：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递增； ④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 27．（25-26高三下·内蒙古包头·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 【答案】(1)当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可； （2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 28．（2026·广东惠州·一模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； 【答案】(1)的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； 【详解】（1）求导得：， 因为，对任意 ，都有， 所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 29．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)见解析 【分析】（1）对求导，分，和，讨论与的大小，即可得出答案； 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 强化训练 1．（2024·江西南昌·二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的奇偶性可判断选项C、D错误，又根据单调性可判断选项B错误，从而可得答案. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为，所以，所以是偶函数，排除C和D； 当时，，，令，则， 令，，所以在单调递增， 因为，所以由可得， 所以时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以B错误. 2．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误； 对于 B，易知的定义为，定义域关于原点对称， 且满足，因此该函数为奇函数， 又，因此函数在上单调递减，即B正确； 对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，则, 令可得，当时，，当时，， 因此可得函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上不是单调递减的，即D错误. 3．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 4．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 5．（25-26高三上·上海嘉定·月考）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据导数的符号判断函数在区间上的单调性；再利用零点存在定理，结合函数在区间端点的函数值符号，列出关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】根据题意可得，又，所以，即在区间上单调递增， 在区间上单调递增且存在零点，所以，解得. 故选：C. 6．（25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 7．（25-26高三下·湖南娄底·开学考试）（多选）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】CD 【详解】由 ， 当时，， 由反比例函数在上单调递增的充要条件是，即： ， 所以实数a的可能的取值有或. 8．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】问题化为上恒成立，且，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设，上恒成立， 所以，上恒成立，且， 所以，而的对称轴为，， 当，即，只需即可，此时可能有， 当，即，只需，且， 综上，必有，. 故选：AC 9．（2026·山东淄博·一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 10．（25-26高三下·河南许昌·月考）（多选）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：若，则，故A正确； 对B：若，则，故B错误； 对C：若，则，故C错误； 对D：若，则 ，故D正确. 11．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 【答案】AC 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 12．（2026·重庆九龙坡·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】BCD 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点， 代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 【点睛】验证C选项时，设切点坐标，写出切线的方程再把原点代入进行证明， 验证D选项时，能想到分别用和来进行证明. 13．（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 【答案】 【详解】因为，，所以，， 所以函数的图象在处的切线方程为， 将点代入，得，解得. 14．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 15．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解. 【详解】由题知，恒成立， 即，即对于恒成立， 令，则， 而在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则， 所以当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，又. 所以实数的取值范围是. 16．（25-26高三下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时， 是实数集上的增函数； 当时，在和上单调递增；在上单调递减； 当时，在和上单调递增；在上单调递减； 【分析】（1）根据导函数零点的大小关系，结合导数的正负性与函数单调性的关系分类讨论进行求解即可； 【详解】（1）. 当时，，是实数集上的增函数； 当时， 当，或时，，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时， 当，或时，，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时， 是实数集上的增函数； 当时，在和上单调递增；在上单调递减； 当时，在和上单调递增；在上单调递减； 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，. (1)，，求函数值域； (2)讨论的单调区间； 【答案】(1) (2)当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减 【分析】（1）先代入，，得到具体函数表达式，再利用基本不等式或函数单调性来求值域； （2）先将函数化简为，根据导数来确定不同取值下的单调区间对的取值进行分类； 【详解】（1），时，，函数定义域为， ∴， ∴在区间，上单调递增，在区间，上单调递减； 在处取得极大值，； 在处取得极小值，； 且当时，；当时，； 的值域为； （2）函数的定义域为， 求导得：， 当时，在，上均递减； 当时，在，上均递减； 当时为对勾函数， 则在，上分别递增，在，上分别递减. 综上所述：当时，在，上分别递增，在，上分别递减； 当时，在，上分别递减； 19．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 【分析】（1）求导函数，分讨论，由确定增区间，确定减区间； 【详解】（1）的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $