专题40导数与不等式证明必刷题-2026届高考数学三轮冲刺新高考适用

专题40　导数与不等式证明 题型01 单变量函数不等式的证明 1．（2026·广东惠州·一模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 【答案】(1)的单调递减区间为 ，无单调递增区间； (2)证明见解析 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； （2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明； （ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数，再结合切线不等式，化简后问题即可得证. 【详解】（1）求导得：， 因为，对任意 ，都有， 所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2）（i）由（1）知，当时，令 ， 当 时，， 故 在上单调递减， 因为，所以， 又因为，所以在区间内存在零点， 即结合在 上单调递减， 可得在区间内有且仅有1个零点，且； 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以根据单调性可知：， 又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消可得：， 当时，构造函数， 求导得，则在时单调递增， 即，所以， 即可知， 则， 两边取对数得：，即. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 3．（2026·重庆万州·模拟预测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并说明理由； (2)当时，证明：，； (3)当为正整数时，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断单调性； （2）将不等式转化为，利用，结合（1）中的单调性，得，从而证得不等式； （3）将拆成，用和角公式展开，结合三角不等式与放缩，得到，再通过递推累加进行证明. 【详解】（1），令，则， 当时，，所以在上单调递减， 有，即，所以在上单调递减； （2）当，及，时，不等式显然成立， 故不妨设，，原不等式改写为， 因为，故， 下证，只需证， 因为，由（1）知，， 所以成立，从而成立，综上，原不等式成立； （3）证明：对任意正整数和实数， 由，，有 从而有 ，证毕. 4．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 5．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)设函数，证明：，的极小值不大于0． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，利用在上单调递增，且时，即可求解； （2）求导，令，根据其单调性，结合和由零点存在性定理可判断极值点，然后可证. 【详解】（1）当时，，． 因为函数在上单调递增，且时，， 所以当时，，此时，在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：因为（）， 所以． 令，因为，所以在上单调递增， 因为，所以， 又当时，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，，此时单调递增， 当时，，，此时单调递减， 所以， 整理得． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即的极小值不大于0． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分、，结合导数讨论其单调性，再利用零点存在性定理可得，且，解出即可得； （2），构造函数、，利用导数研究两函数单调性后可得最值，从而可得时，，，即可得证. 【详解】（1）由题得， 当时，，在上单调递减， 最多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又时，时，， 所以只需，解得， 故实数的取值范围是； （2）当时，． 令，则， 令，得，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以当时，； 令，则，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为，所以当时，； 故当时，. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知（） (1)设函数,讨论函数的单调性； (2)当,时,证明：. (3)当时,,求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【详解】（1）由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. （3）原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 8．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 题型02 双变量函数不等式的证明 9．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】(1) (2)的增区间为，无减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【详解】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 10．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【详解】（1）由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； （2）时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 11．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. （3）由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 12．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数. (1)证明：； (2)证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1)对求导，构造函数，通过研究的单调性可知的单调性，进而求证 (2)当时，有，取，可得，进而求证 (3)根据的单调性可得，分，讨论，根据的表达式可构造函数，其中，通过导数研究的单调性可得，进而求证 【详解】（1）由，可得，可知函数的定义域为， 由知. 令，有，可得函数是增函数， 又由，可知 当时，，即； 当时，，即. 可得函数的减区间为，增区间为， 可得，即. （2）由（1）可知，不等式（时取等号）恒成立. 当且时，不等式可化为， 取，有，即，可得， 所以， 故不等式成立. （3）不妨设，由函数的减区间为，增区间为，可得. ①当时，由，可得； ②当时，由 . 令，其中， 有. 又由（当且仅当，即时取等号）. 由，可得， 所以，可得函数是减函数， 又由，可得（当且仅当时取等号）. 又由，可得，即， 又由及函数在上单调递减，得，即. 由①②可知，若且，则不等式成立. 13．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； （3）法一：通过讨论的正负可得，，结合（2）中所得可得，则可得，再得到即可得证；法二：由题意可得，则可得，，又，则可得，计算可得，，即可得证. 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. （3）（证法一）当时，，因， 若，，则，，与矛盾，，， 由（2）可知，则，则， 所以， 又， 所以. （证法二）当时，．由，得， 显然，不同时为负数，由可得，都为正数， 因为， 所以，所以， 又 ， 所以. 14．（25-26高三上·天津·期中）已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）得到函数后求导数，得到切线斜率，然后由点斜式求得切线方程； （ⅱ）整理不等式得，然后令并求导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求出函数的最小值，然后得到实数的取值范围； （2）由及整理得到，令，构造函数并求导数，由题意得函数在区间上有零点，则函数在上有一个实根，从而得到且有解，建立不等式组解得实数的取值范围，验证后得结论. 【详解】（1）（ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即 （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以， （2）设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，， 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，， 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最大值； （2）设，代入，可将化简为，设，对求导，得出的单调性，可求出在上的值域. 【详解】（1）函数的定义域为，，令，解得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）由题意可得，整理得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递增，所以. 所以的取值范围为. 16．（2025·湖南·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可； （2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由函数的解析式可知， ， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得； 由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则． 在上单调递减， ， 的最小值为. 强化训练 1．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 2．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）对进行求导，令求出实数的值，再验证即可； （2）要证，令只需要证明函数的最大值小于1即可. 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 3．（2026·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）方法1：设，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 方法2：令，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 【详解】（1）当时， ∵，∴， 即切线方程为. （2）方法1：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 方法2：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵，， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由得，令，利用导数研究单调性进而得证； （2）由得，令，即，进而得，根据和的情况讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以，所以， 即，令， 所以，令，所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，，即， 当时，，即，所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即； （2）由有：，所以， 令，即， 所以，且， 令，则， 由（1）的证明过程有在单调递增， 当时，，又在单调递增， 所以， 所以在单调递增，且，满足题意， 当时，时，又在单调递增， 所以存在，使得， 当时，，所以在单调递减， 所以，不满足题意， 所以，即. 5．（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 6．（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【答案】(1). (2)证明见详解. 【分析】（1）求导得，结合，列出方程组求解； （2）令，根据导数结合零点存在定理求出单调性，易得的一个根为，再利用零点存在定理找到另一个根的范围即可证明. 【详解】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得. 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 7．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 8．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 9．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过分离参数，构造辅助函数并利用导数分析单调性，进而求得参数的取值范围； （2）利用函数单调性将和的不等式转化为函数值不等式，通过构造对称辅助函数并换元分析其单调性，完成极值点偏移类的和的不等式证明. 【详解】（1）当时，恒成立， 即恒成立，只需即可， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，在单调递增，所以， 所以在恒成立，在单调递增， 所以，所以，即实数的最大值为2． （2）当时，， 所以，在上单调递增， 又，且，不妨设， 要证，即证明， 因为在上单调递增，即证， 因为，即证， 设 ， 令，则， 则， 由可得，在（0，1）单调递增，所以，即， 所以成立，所以． 【点睛】本题以导数为工具，核心是分离参数求最值解决恒成立问题与构造对称函数、利用单调性证明极值点偏移类不等式，体现了函数与方程、转化与化归的数学思想. 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）（i）利用导数确定函数的单调性和极值，根据题意列出不等式组求解即可； （ii）将问题转化为证明，令，利用导数可得在上单调递增，从而可得，即可得证. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为， 即. （2）（i） =3(2) =3() . 当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 所以在上的极大值为， 又，. 若函数在上有两个零点， 则 解得， 所以的取值范围是； （ii）证明：由（i）得， 要证，只需证. 因为，且在上单调递减， 所以只需证. 因为， 所以只需证. 令， 则 ， 当时，，，所以，，所以， 即在上单调递增， 所以， 所以， 即. 所以，得证. 11．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，即可求出切线方程. （2）先化简不等式，根据指数函数的性质求出结果. （3）构造新函数，求导，判断单调性，求出最值. 【详解】（1）当时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. （2）由题意化简得， ，，又，， 故​. （3）当时，原不等式等价于，即. 令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以由，得， 只需证，即. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且在处取最小值；而在恒成立， 故，所以， 原不等式对所有成立. 12．（2026·江西南昌·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 【答案】(1)在为增函数；在为减函数； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间； （2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证； （3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【详解】（1）， 由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为； （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数， 故，所以； （3）由（1）可知， ①若，则， 不符合题意； 所以， ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述， 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为， ， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明在时恒成立即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. （2）证明：当时，令， .             令，， 令，. 令，在时恒成立，             在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，             ，即对任意的，. 14．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得的单调性，进而得到的图象，采用数形结合的方式可求得的范围； （ii）令，，根据的取值范围可得到的范围，采用比值代换的方式，将问题转化为已知函数的值域，求解定义域的问题. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由题意知：， 存在两个极值点，存在两个变号零点， 令，即，显然不是方程的根， 有两个不等实根， 设，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 当时，；当从负方向趋近时，； 当从正方向趋近时，；当时，；； 由此可得图象如下图所示， 若与有两个不同交点，则. （ii）由（i）知：，，， 令，，且， 则，， ， 设，则，， ，，， 设，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增， 又，，， ，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（极值点）个数问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题40　导数与不等式证明 题型01 单变量函数不等式的证明 1．（2026·广东惠州·一模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 3．（2026·重庆万州·模拟预测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并说明理由； (2)当时，证明：，； (3)当为正整数时，证明：. 4．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 5．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)设函数，证明：，的极小值不大于0． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知（） (1)设函数,讨论函数的单调性； (2)当,时,证明：. (3)当时,,求实数a的取值范围. 8．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 题型02 双变量函数不等式的证明 9．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 10．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 11．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 12．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数. (1)证明：； (2)证明：； (3)若且，证明：. 13．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 14．（25-26高三上·天津·期中）已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 16．（2025·湖南·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 强化训练 1．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 2．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 3．（2026·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 5．（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 6．（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 7．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 8．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 9．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 11．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 12．（2026·江西南昌·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 14．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $