专题训练31 圆锥曲线的融合交汇问题-2026届高考数学三轮冲刺

专题31　圆锥曲线的融合交汇问题 题型01 圆锥曲线与导数相结合 1．（25-26高三上·福建厦门·期末）已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积求出的代数式，结合导数与单调性、最值求解即可. 【详解】椭圆左顶点，右顶点. 当与或重合时，不存在. 设（），则，即. ，. . ， . 所以 . 令，则，所以. 令，， 则 . 当时，，， 所以，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，. 故选：A. 2．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程 (2)设的左、右焦点分别为，为坐标原点，过且不与轴重合的直线与交于两点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若圆过三点，求圆面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程，结合离心率公式得到关于、的方程组，求解后得到椭圆的标准方程； （2）（i）设出直线的方程并联立椭圆方程，利用韦达定理求出与，再代入三角形面积公式，解方程求出直线参数，从而得到直线方程； （ii）先求出、和点到直线的距离，结合面积公式与正弦定理得到外接圆半径的表达式，再通过换元与导数分析函数单调性，求出半径的最小值，进而得到圆面积的最小值. 【详解】（1）因为经过点，所以.① 因为的离心率为，所以，即.② 联立①②，可得，故的方程为. （2）易知.设直线， 由，可得，则. （i）， 令，解得. 故直线的方程为. （ii）因为的方程为，所以， 所以，同理. 易知点到直线的距离为. . 设圆的半径为，即外接圆的半径为R， 由正弦定理，有 ， 令，则. 令，则， 因为，所以. 则在上单调递增. 从而当，即时，，此时取得最小值. 所以面积的最小值为.    3．（25-26高三下·河南·月考）（多选）已知圆，双曲线，经过原点的直线与交于点，与交于点．设点是直线上的动点，且满足，记的轨迹为曲线，如图所示，则（    ） A．曲线的方程为 B．与有公共点 C．的最大值为2 D．点到轴的最大距离为 【答案】AC 【分析】设，，， ，，结合曲线方程，求得，，再由，，，四点共线确定的关系，可判断A，由A得到的方程求得，再通过一元二次方程结合判别式可判断B，由A得到的方程，结合基本不等式可判断C，通过三角换元，结合求导确定单调性求最值可判断D. 【详解】 设，，．另设，则， 即代入，解得． 设，则，即代入，解得． 由，，，四点共线且，得， 即，所以， 化简得，此为曲线的方程，A正确． 将4代入，得，所以， 即，此时以，为两根的一元二次方程为， 其判别式为，所以该方程无解， 从而与无公共点，B错误． ，即，从而， 所以当且仅当时，，C正确． 设，，， 代入，得， 则． 令，则， 所以． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以是的最大值点，即，D错误． 4．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得， 即双曲线. （2）（i）由（1）得渐近线方程为，设， 设，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则在上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当时结果一致， 综上， 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，其中，点在上，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为 C．已知以为直径的圆与的准线有且只有一个交点，则 D．已知上一点，过点作，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】根据结合弦长公式计算得.根据抛物线定义可判断A；根据点到直线的距离及三角形面积公式计算可判断B；求得点，计算斜率，根据斜率之积为可判断C；根据数量积的坐标运算结合导数计算可判断D. 【详解】抛物线 ，焦点 ， 过且倾斜角为的直线方程为 ， 联立 ，得 ， 设，则， 弦长， 由，得， 对于A，抛物线方程为，焦点，准线方程，故A正确； 对于B，点在抛物线上，，即， 直线（即）， 点到直线的距离： ， 所以的面积为，故B错误； 对于C，的中点坐标：， 即圆心，半径 4， 圆方程为， 代入准线，得，故切点， 直线的斜率为，直线的斜率为，斜率乘积为，故，故C正确； 对于D，点在抛物线上，，即， 设，，， 由，为垂足，得， ， 令，求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处有最大值，即， 所以成立，故D正确. 6．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值. （2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为， 抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得 ，则，， 则， 的中点在直线上， 即，即， 由弦长公式可知， 点到直线的距离为， 即的面积为， 令，，则， 则， 令，则 令可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值，即的最大值为， 即面积的最大值为． 题型02 圆锥曲线与数列相结合 7．（25-26高三上·江苏无锡·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列性质、椭圆定义、基本不等式与离心率定义计算即可得. 【详解】由，，成等差数列，则， 由椭圆定义可得，又， 则，即， 又，即，则， 当且仅当时，等号成立， 故椭圆离心率的最大值为. 故选：D. 8．（24-25高三下·重庆·月考）抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 【答案】. 【分析】利用抛物线性质，可得焦点在轴上，即椭圆的，再利用角平分线的性质，结合正弦定理可证明，，然后利用已知条件可求得，再利用导数来求切线方程，构造递推关系，可判断等比数列，问题即可求解. 【详解】因为焦点在轴上， 所以椭圆的焦点在轴上，故，且， 由是的内心，交轴于，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 其中，故，又， 所以式子①与②相除得：， 根据已知条件：，故， 同理可得，， 由椭圆定义可知，， ，解得，即焦点坐标为，所以抛物线方程为， 由，故抛物线在处的切线方程为， 即，又，故， 令得，，因为，所以， 所以是首项16，公比的等比数列， 即， 故答案为： 9．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时 【分析】（1）借助离心率与及双曲线上的点计算即可得； （2）由题意可得，联立曲线方程，可表示出， 从而可用、表示出、，再表示出后利用等比数列定义即可得证； （3）表示出可得数列也为等比数列，则可表示出、坐标，再利用三角形面积公式计算可得，由点关于轴的对称点为，可得，则可表示出，最后得到后，利用及对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，则，故， 故有，解得，则， 即曲线的方程为； （2）由题意可得， 由点关于轴的对称点为，则， 联立，则， 则，则， ， 故， 又，故为以为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知为以为首项，为公比的等比数列，则， 由，， 则， 又，故为以为首项，为公比的等比数列， 则， 故，， 设，则，， 则，即， ，即， ，即， 则 ， 故， 由， ， ， ， 则 ， 由点关于轴的对称点为，故轴， 故， ， ，， 则 则， 由在上单调递减，在上单调递增， 且，，则当，即时， 有最小值，则. 10．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（）的一条渐近线方程为.是双曲线C上所有同时满足，的点，且数列单调递增，则点的坐标为______，的面积______. 【答案】 /0.5 【分析】先得到双曲线方程，结合，，得到，并推导出，，确定，求出三角形面积 【详解】双曲线C的方程为， 因为点（）在双曲线C上，所以，即， 由于，，即，故， 当时，，符合题意，所以； 和为相邻的2组解， 故，， 其中， 又， 故 ， 所以，， 又，，所以，，所以. 因为，， 所以，故， ， . 11．（2026·广东佛山·二模）（多选）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理，由弦长公式可得A；令可得B错误；结合等差中项和等比中项的概念由韦达定理可判断CD. 【详解】直线的方程为， 联立消去可得， 则，， 对于A，由得， ，故A正确； 对于B，， 令可得，此时，故B错误； 对于C，由可得的等差中项是2，故C正确； 对于D，由可得m是，的等比中项，故D正确. 12．（2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出双曲线渐近线，求出交点，坐标，结合，从而求出抛物线方程. （2）（i）设出直线，联立抛物线，根据题干信息结合韦达定理得到，再根据中点坐标公式表示点坐标，再利用换元的方式将问题转化为，借助对勾函数的图象和性质求出最终答案. （ii）根据抛物线的焦半径特点求出，从而得，当时，利用放缩法得，从而证得，当时，易得也成立. 【详解】（1）双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线的方程为. （2）（i）设直线，联立得，则， 弦长，故， 中点到轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增， 最小值为，故到轴距离的最小值为. （ii）因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. 题型03 圆锥曲线与三角相结合 13．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 14．（25-26高三上·广西北海·期末）记椭圆C的左焦点为F，焦距为2，上、下顶点分别为点P在C上（异于点），记，，已知，则直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为__________. 【答案】 【分析】利用正切和角公式可得，再利用直线的倾斜角和斜率的关系，可转化为及，再用椭圆方程来消元即可得，从而求出椭圆方程，再求出两交点横坐标即可求解. 【详解】由可得：， 当在轴右侧，此时设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，则 由于，可得， 当在轴左侧，此时设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，则 由于，可得， 综上总有：， 再设点，根据斜率公式可知：， 代入，可得：， 又因为点在椭圆上，所以， 即可得， 又因为焦距为2，所以，即， 代入可得，所以， 即，则直线方程为：， 与椭圆联立可得： ， 解得或， 所以直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为， 故答案为：. 15．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义及角平分线的性质求得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 16．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，，是上一点，若的周长为20，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“同心双曲线”定义求得，再由双曲线定义结合题设条件求出的值，再由余弦定理求出，再由三角形面积公式即可求得. 【详解】由可得其半焦距，且焦点在轴上， 故双曲线：即， 则其半焦距，且， 依题意，，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为，不妨设点为双曲线左支上一点，则①， 由的周长为20，可得，即②， 联立①② 解得， 在中，由余弦定理，， 则， 故的面积为. 17．（2026·山东济宁·一模）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 18．（25-26高三上·安徽·月考）已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是____. 【答案】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用正弦定理及抛物线性质求出的表达式，再结合图形确定取最小值条件，并求出最小值. 【详解】依题意，点，，设点P在准线上的射影为点Q，则，    设直线PA与正方向的夹角为，在中，由正弦定理得， 当且仅当最小时，的值最小，因此当直线PA与抛物线C相切时，最大，最小， 当直线AP与抛物线C相切时，设直线PA的方程为， 由消去得，则， 解得，当时，，所以的最小值为. 故答案为： 19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，点是上任意一点，过点作的法线． (1)求法线在轴上截距的取值范围； (2)设点是抛物线的焦点，过点作平行于轴的直线，求证：直线与直线的夹角与与的夹角相等． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得点的法线，进而得，即得； （2）结合图象，设直线与直线的夹角为与的夹角为，可得，，进而可证. 【详解】（1）由得，故点法线的斜率为 故法线的方程为． 令，则， 所以法线在轴上截距的取值范围为． （2）      设直线与直线的夹角为与的夹角为． 则．又， ， 故根据的范围可得． 得证． 强化训练 1．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为等腰直角三角形和其面积求出抛物线方程,再利用抛物线的定义先求出的最小值,再求出的最大值. 【详解】由题意得,,, 因为为等腰直角三角形,所以. 因为,所以,所以.所以抛物线方程为. 过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,两者交于点. 由抛物线定义可知,所以. 所以最小时,取得最小值. 由图易知当为抛物线切线时取最小值,不妨设点在轴下方, 因为,所以. 设点,所以, 因为,所以，所以. 所以. 因为,所以. 即的最小值为,所以的最大值为. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出直线的方程，表示出，利用函数单调性可得答案. 【详解】由题意得，直线的方程为，则， 直线的方程为，故,， 由可得，整理得， 函数在上单调递减，即， 故选：C． 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用椭圆的定义及基本不等式得到，即可求解. 【详解】设，则，又，且，，成等比数列， 则，得到，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B. 4．（25-26高三上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 6．（25-26高三上·安徽六安·期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案. 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以. 该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 7．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（   ） A．是双曲线 B．若，则的斜率为 C．存在点，使得 D．不存在区间，当时， 【答案】ABC 【分析】利用等比中项列等式并化简求C的轨迹方程可判断A；求出M点的横坐标，利用导数的几何意义求切线的斜率判断B；当M是顶点时切线斜率不存在但满足，当M点不是顶点时求出切线的斜率，由两直线垂直斜率之积为列方程求解M，方程无解，此时不满足条件，判断C；将代入不等式求出的范围，再结合双曲线上点的坐标的范围即可求得的取值范围，判断D. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即， ，进一步化简可得：， 所以点的轨迹C为双曲线，A正确； 若，则，将C的方程转化为：， 求导得：，令得，即过点M的切线的斜率为，B正确； 若，则过点M的切线l为，此时满足； 若，则过点的切线l的方程为：，切线l的斜率为，如果，则，等式不成立.所以存在点，使得，C正确； 将代入不等式得，解得， 结合双曲线得，D错误. 故选：ABC 8．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（   ） A．C的渐近线方程为 B．若，则的面积为 C．若l与x轴交于点，则 D．若l的斜率为2，则为直角三角形 【答案】BCD 【分析】由题意求得双曲线的方程，从而求得其渐近线的方程，判断A；根据双曲线的方程求得点的坐标，求出的面积，判断B；由角平分线定理结合双曲线的定义求得，判断C；利用导数的几何意义求得点的坐标，即可判断的形状，判断D. 【详解】设双曲线的焦距为，则，所以. 所以. 所以C的渐近线方程为，所以A错误； 若，则，所以，所以的面积为，所以B正确； 若l与x轴交于点，则， 又，所以，所以C正确； 若l的斜率为2，则点在第一象限，设. 由，得当时，， . 令，得. 所以，即. 又，所以，所以为直角三角形，所以D正确. 9．（25-26高三上·陕西西安·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．随的增大而增大 C．若成等差数列，则 D．若存在点使得为等边三角形，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由斜率公式可求出的倾斜角，根据焦点弦的性质即可判断；对于B，将直线和抛物线联立，根据韦达定理可求出，再根据焦点弦的性质即可判断；对于C，根据等差数列的性质可得，由选项B知，再根据焦半径以及焦点弦长度关系代入即可判断；对于D，根据等边三角形的性质，两直线垂直斜率关系可得，以及中点坐标公式，两点间距离公式代入即可判断. 【详解】对于A，若，则的倾斜角，由焦点弦的性质可知，故A错误； 对于B，设的方程为， 由可得，则， 所以， 由题可知，所以， 所以随的增大而增大，故B正确； 对于C，因为、、成等差数列，所以， 即，即，由选项B知， 所以，解得或（负值舍去），则， 所以，解得，故C正确； 对于D，取的中点，分别作垂直于直线， 分别为垂足，连接.设，由B选项可知， 所以.因为，所以，故， 则.由抛物线的定义可知， 故.因为为等边三角形，所以， 即， 两边同时平方后化简可得，故D正确. 故选：BCD 10．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．则（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．的面积为 D．抛物线上存在一点，使得为等边三角形 【答案】BC 【分析】联立直线与抛物线的方程，消化简可得，根据等差数列定义判断B，由等差数列通项公式可求，再求，由此判断A，设，， 结合数量积的性质和三角形面积公式证明，代入数据可求，判断C，假设在抛物线上存在点，满足条件，记直线的倾斜角为，则直线倾斜角为，直线倾斜角为，结合两点斜率公式列方程求点的坐标，判断D. 【详解】由已知可得，，， 则直线的方程为， 则，又， 整理可得． 所以， 所以，即， 所以数列为首项是，公差是的等差数列， 所以，则， 所以，，，， 所以数列不是等差数列．故A错误，B正确． 设，， 因为的面积，， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以，，， 故，， 所以． 故C正确． 假设在抛物线上存在点，使得为等边三角形． 记直线的倾斜角为，则， 直线倾斜角为，直线倾斜角为， 则①， ，则②， ，则③． 由②+③得，再结合式①得，，故， 又，， 故存在三点构成等边三角形． 但不存在满足对任意的，都为等边三角形，D错误． 故选：BC． 11．（2026·四川广元·二模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过原点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交椭圆于，两点，过点分别作于，于，则（    ） A． B．动点的轨迹是一个圆 C．的面积有最大值，最大值为 D．四边形面积的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，用椭圆离心率定义即可求得；对于选项B，即证明为定值即可；对于选项C，判断点的轨迹，得到面积取最大的情况即可；对于选项D，把四边形转成两个三角形面积求解即可. 【详解】由，可得，解得，， 从而椭圆， 对于选项A，，选项A正确. 对于选项B，当直线的斜率不存在或等于时，线段与线段中，一条为椭圆的长轴，另一条就为椭圆的短轴，此时， 当直线的斜率存在且不为时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的表达式为，联立，化简整理得， 即，从而 设，，则，，则 同理设，，则，， 则， 由，得， 即， 从而动点的轨迹是以原点为圆心为半径的圆，选项B正确. 对于选项C，由动点的轨迹是以原点为圆心为半径的圆， 可得动点的轨迹是也以原点为圆心为半径的圆， 从而当动点在轴上时，面积的最大值为，选项C错误； 对于选项D，四边形面积 又，从而 令，， 又当直线的斜率不存在时 故四边形面积的取值范围为，选项D正确. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则________，________． 【答案】 / 【分析】在中，由余弦定理求解可得，然后记，在中，由余弦定理求出，然后可得. 【详解】由椭圆C：可知，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即； 记，则， 在中，由余弦定理得， 解得，所以. 故答案为：；. 13．（2026·浙江·一模）设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 【答案】1 【分析】利用所给条件，求出B点坐标，代入椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出，计算即可. 【详解】如图， 因为，且为以为公比的等比数列， 则，解得或（舍去）， 由，可得，得， 又， 则 将点的坐标代入椭圆方程，得到， 即， 可得， 即， 由于，可得， 化简可得，即， 由可得，代入可得， 所以，， 解得或（舍去）， 所以，则. 故答案为：1 14．（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 15．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）记椭圆的左、右焦点分别为为上一点，，点满足，且不与重合． (1)证明：； (2)若，求的外接圆半径； (3)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由三角形全等可得，设出点坐标，利用向量验证，得证； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，结合椭圆焦半径公式求出点的坐标，求出的边长，利用余弦定理求出，得，根据正弦定理求得答案； （3）由结合点在椭圆上求得点的坐标，由焦半径公式得，利用余弦定理求得答案. 【详解】（1）根据题意，可得，，则， 由，得， 设，则，即， 所以，， 所以， 所以，即. （2）在中，，，设，则， 由余弦定理，可得， 所以，得，即，， 下面先证明椭圆焦半径公式， 设，椭圆方程为，离心率，，， 则， 同理，可得， 所以由，得，解得，代入椭圆方程得， 不妨设，所以， 由，易得，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以外接圆的半径. （3）由， 设，所以，解得，又， 所以， 由焦半径公式得，， 所以， 所以 . 16．（25-26高三上·辽宁·期末）已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，它的虚轴长为 ，离心率为 ，直线 与双曲线交于 ， 两点，与渐近线交于 ， 两点（点 ， 在第一象限，点 ， 在第二象限）. (1)求双曲线 的方程； (2)若点 的横坐标为 ，在线段 上取一点 ，且满足 ，判断点 是否总在某条定直线上，若定直线存在，求出直线方程，若不存在，说明理由； (3)已知双曲线上点 ，，，，在点 处作双曲线的切线交 的渐近线于 ， 两点，且 ，数列 的前 项和为 ，求证：. 【答案】(1)； (2)是，定直线 (3)证明见解析 【分析】（1）设双曲线的方程 ，根据题意，由求解； （2）根据题意得到，从而，，得到点A，B的坐标，将，两点代入双曲线方程为求解；　　 （3）由在双曲线方程为上得到，用导数法得到切线方程，与渐近线方程联立，求得点E，G的坐标，易得点是点和的中点，再由得到，从而求得，从而求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为： ， ，， ，解得， 所以双曲线方程为； （2）设，，， 因为点在第一象限内， 所以， 由题意可得， 因为， 因此， 所以，， 由， 得， 解得， 所以， 同理点， 将，两点代入双曲线方程为中， 得： ， 两式相减整理得： ， 因为，所以，即点总在定直线上； （3）因为在双曲线方程为上， 所以，则， 所以， 双曲线上支方程为：，， ∴过作双曲线切线，斜率为， 故切线方程为：　　 与渐近线方程联立，解得 同理可求， 因为， ， 所以点是点和的中点． 所以 ， 即，， 所以是首项为，公比为的等比数列， ，， 所以，所以， 所以， 构造函数， 因为单调递减，单调递减， ∴函数单调递减， 时，所以， 所以，即， 所以， 即， 又因为 所以， ， ， 综上：. 17．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【分析】（1）根据已知条件建立，，方程，求得，即可. （2）（ⅰ）由（1）可求得抛物线方程，分别将直线l双曲线和抛物线联立方程组，利用弦长公式求得，，结合求得的值. （ⅱ）设点到直线l的距离为，利用点到直线的距离公式求得，结合（ⅰ）表示，利用导数求出最小值. 【详解】（1）由已知可得，，， 又双曲线过点，，，， 双曲线的标准方程为：. （2）（ⅰ）由（1）可知，双曲线的右焦点为， 抛物线C：，设，，如图所示：    由，得，，，， ， 设，，由，得， 直线l与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，， ，，， 由，可得，，， ，，，， 故存在实数满足条件，且. （ⅱ）设点到直线l的距离为，则， 令，由（ⅰ）知，， 令，， 故当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，， 的最小值为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31　圆锥曲线的融合交汇问题 题型01 圆锥曲线与导数相结合 1．（25-26高三上·福建厦门·期末）已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程 (2)设的左、右焦点分别为，为坐标原点，过且不与轴重合的直线与交于两点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若圆过三点，求圆面积的最小值. 3．（25-26高三下·河南·月考）（多选）已知圆，双曲线，经过原点的直线与交于点，与交于点．设点是直线上的动点，且满足，记的轨迹为曲线，如图所示，则（    ） A．曲线的方程为 B．与有公共点 C．的最大值为2 D．点到轴的最大距离为 4．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，其中，点在上，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为 C．已知以为直径的圆与的准线有且只有一个交点，则 D．已知上一点，过点作，垂足为，则 6．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 题型02 圆锥曲线与数列相结合 7．（25-26高三上·江苏无锡·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·重庆·月考）抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 9．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 10．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（）的一条渐近线方程为.是双曲线C上所有同时满足，的点，且数列单调递增，则点的坐标为______，的面积______. 11．（2026·广东佛山·二模）（多选）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 12．（2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 题型03 圆锥曲线与三角相结合 13．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广西北海·期末）记椭圆C的左焦点为F，焦距为2，上、下顶点分别为点P在C上（异于点），记，，已知，则直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为__________. 15．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 16．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，，是上一点，若的周长为20，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山东济宁·一模）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 18．（25-26高三上·安徽·月考）已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是____. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，点是上任意一点，过点作的法线． (1)求法线在轴上截距的取值范围； (2)设点是抛物线的焦点，过点作平行于轴的直线，求证：直线与直线的夹角与与的夹角相等． 强化训练 1．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽六安·期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（   ） A．是双曲线 B．若，则的斜率为 C．存在点，使得 D．不存在区间，当时， 8．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（   ） A．C的渐近线方程为 B．若，则的面积为 C．若l与x轴交于点，则 D．若l的斜率为2，则为直角三角形 9．（25-26高三上·陕西西安·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．随的增大而增大 C．若成等差数列，则 D．若存在点使得为等边三角形，则 10．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．则（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．的面积为 D．抛物线上存在一点，使得为等边三角形 11．（2026·四川广元·二模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过原点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交椭圆于，两点，过点分别作于，于，则（    ） A． B．动点的轨迹是一个圆 C．的面积有最大值，最大值为 D．四边形面积的取值范围为 12．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则________，________． 13．（2026·浙江·一模）设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 14．（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 15．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）记椭圆的左、右焦点分别为为上一点，，点满足，且不与重合． (1)证明：； (2)若，求的外接圆半径； (3)若，求． 16．（25-26高三上·辽宁·期末）已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，它的虚轴长为 ，离心率为 ，直线 与双曲线交于 ， 两点，与渐近线交于 ， 两点（点 ， 在第一象限，点 ， 在第二象限）. (1)求双曲线 的方程； (2)若点 的横坐标为 ，在线段 上取一点 ，且满足 ，判断点 是否总在某条定直线上，若定直线存在，求出直线方程，若不存在，说明理由； (3)已知双曲线上点 ，，，，在点 处作双曲线的切线交 的渐近线于 ， 两点，且 ，数列 的前 项和为 ，求证：. 17．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $