专题23 概率、统计的融合交汇问题训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题23　概率、统计的融合交汇问题 题型01 概率、统计与统计案例的综合问题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）电视剧《生命树》开播以来，收视率急剧上升，成为当下的热播剧，并引发了人们对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注．某大学在电视剧《生命树》开播后，想了解学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关，随机抽取了300名该校学生进行调查，调查结果如以下22列联表： 关注 不关注 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关； (2)从参与调查的300名学生中抽取2名，求其中至少有1名是女生的条件下，这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护的概率． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（25-26高三上·江西南昌·期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 3．（2026·陕西榆林·三模）LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影．某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联； (2)现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研．记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求的值． 参考公式及数据，其中． 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 4．（2026·四川成都·二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 5．（2026·青海海东·二模）为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 (1)将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ (2)从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a＋b＋c＋d． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 20 60 合计 140 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 题型02 概率、统计与函数的综合问题 7．（2026高三下·重庆永川·专题练习）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 9．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 10．（25-26高三下·重庆·开学考试）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 11．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 12．（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 题型03 概率、统计与数列的综合问题 13．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 14．（25-26高三上·云南普洱·期末）小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为． (1)求； (2)当为奇数时，证明：； (3)记，求数列的前项和. 15．（2025高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 16．（2025高三·全国·专题练习）某商场为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送大奖”的活动，游戏规则如下：棋盘上从左到右共有16个格子，依次标有数字0~15，每个参赛者的起始点都在“0”处，游戏过程中参赛者需要通过掷骰子来决定棋子移动的格子数，若掷出的点数不超过4，则向右移动1格，否则向右移动2格，每位参赛者最多掷10次骰子，每次掷骰子的结果互不影响，10次内移动到终点则可获得奖品．记棋子移动到“”处的概率为． (1)当掷骰子4次时，求； (2)记，证明数列是等比数列． 17．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 18．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 强化训练 1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 2．（2026·辽宁丹东·一模）Base16 Encoding是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六进制数，从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串，便于传输与解码． (1)写出二进制数111001011101转换后的十六进制字符串（参考附2）； (2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字保持不变，字母替换为两个连续的“*”，得到加密字符串（如5A6F3加密为）.设位十六进制字符串加密后，其加密字符串的第位为“”的概率为． （i）求，，并证明数列为常数列； （ii）若，求数列的通项公式． 附1：十进制与十六进制的对应关系 十进制 0 1 2 … 9 10 11 12 13 14 15 十六进制 0 1 2 … 9 A B C D E F 附2：二进制数转换为十六进制数规则 将二进制数按4位一组映射为1位十六进制字符：从二进制数的最右侧开始，向左每4位分为一组；若最左侧一组不足4位，则在其左侧补0凑齐4位. 例如：二进制数11010，先补0分组为00011010.由，得，映射为十六进制数字1；由，得，映射为十六进制字母A．因此二进制数11010映射为十六进制字符串1A． 3．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 4．（2026·湖北·模拟预测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 5．（2026·广西·模拟预测）设函数，集合（）.a，，设的图象与x轴有交点的概率为. (1)求的值； (2)求关于n的表达式； (3)证明：. 参考公式：. 6．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 7．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. (1)求，； (2)数列满足，证明：数列为等比数列，并求； (3)证明： 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 9．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 10．（2026·广东广州·模拟预测）某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 11．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取84人进行了问卷调查并收集了他们的平时成绩（平时成绩分优和良两个等级）．其中42人接受方法一，42人接受方法二．经统计发现，接受方法一的人中有30人平时成绩是优，接受方法二的人中有18人平时成绩是优 (1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生2人，设其中平时成绩为优的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)列出2×2列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为学生平时成绩与教学方法有关？ (3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取7人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率． 附： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 12．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23　概率、统计的融合交汇问题 题型01 概率、统计与统计案例的综合问题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）电视剧《生命树》开播以来，收视率急剧上升，成为当下的热播剧，并引发了人们对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注．某大学在电视剧《生命树》开播后，想了解学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关，随机抽取了300名该校学生进行调查，调查结果如以下22列联表： 关注 不关注 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关； (2)从参与调查的300名学生中抽取2名，求其中至少有1名是女生的条件下，这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护的概率． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注有关 (2) 【分析】（1）计算，与参考值比较得出结论； （2）根据条件概率公式计算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注有关. （2）设事件A为“这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护”，事件B为“抽取的2名学生中至少有1名是女生， 则 ， . 2．（25-26高三上·江西南昌·期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】(1)有关 (2) 【分析】（1）由题意可得，根据独立性检验知识即可得结论； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，根据题意求出的值，结合，求出的值，再由条件概率公式，求解即可. 【详解】（1）假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为. 3．（2026·陕西榆林·三模）LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影．某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联； (2)现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研．记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求的值． 参考公式及数据，其中． 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】(1)根据小概率值的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联. (2) 【分析】（1）计算，再结合独立性检验的思想判断即可； （2）根据题意，5人中，喜欢LABUBU的有2人，不喜欢有3人，进而根据超几何分布求的可能取值的对应概率，计算期望即可. 【详解】（1）零假设学生对LABUBU喜爱情况与性别无关联， 根据列联表，有， 所以根据小概率值的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联. （2）女生样本中，喜欢LABUBU的有40人，不喜欢的有60人， 所以，根据按比例分配的分层随机抽样法，喜欢的人抽取2人，不喜欢的抽取3人， 从这5人中随机抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为的可能取值为， ，， ， 所以． 4．（2026·四川成都·二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】(1)，体质情况与爱好运动有关. (2)的分布列为： 0 1 2 . 【分析】（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断； （2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求. 【详解】（1）由表中数据可得，表格完善如下： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 设：体质情况与爱好运动无关， 则， 根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关. （2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动， 故的所有可能取值为0，1，2， ，，， 即所求分布列为 0 1 2 所以的期望. 5．（2026·青海海东·二模）为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 (1)将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ (2)从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a＋b＋c＋d． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 60 140 女 40 20 60 合计 120 80 200 不能认为居民是否喜欢京剧与性别有关 (2)X的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 【详解】（1）不喜欢京剧的男生数量为：(人)；合计女生数量为：(人)； 不喜欢京剧的男女生数量和为：(人)； 喜欢京剧的男女生数量和为：(人)； 喜欢京剧的女生数量为：(人). 列联表补充如下： 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 60 140 女 40 20 60 合计 120 80 200 零假设为：是否喜欢京剧与性别独立，即：是否喜欢京剧与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立， 认为居民是否喜欢京剧与性别无关. （2）按分层抽样抽取喜欢京剧的女生数量为：(人)，不喜欢京剧的女生数量为：(人) 记游戏结束时选取的人数为，则可能取值为 ,,, 所以的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 20 60 合计 140 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据表格数据计算的值，然后计算的值，最后得出结论即可. （2）先求出未成年人、成年人喜欢和不喜欢的概率，然后确定的可能取值，并求出对应的概率，进而得到的分布列和期望. 【详解】（1）由表格数据可知，. 所以， 当时，. 由于，所以没有足够的证据拒绝原假设，即不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关. （2）由题意可知，未成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是； 成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是. 由题意，的可能取值为，则 ；；. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 题型02 概率、统计与函数的综合问题 7．（2026高三下·重庆永川·专题练习）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】(1)（i）的分布列为 0 1 2 3 （ii） (2)， 【分析】（1）（i）根据服从二项分布，可得的分布列.（ii）利用条件概率求解即可. （2）先求的分布列，表示出，再利用导数分析函数的单调性，求函数的值域. 【详解】（1）（i）由题意可知，，则X的可能取值为 则；； ；， 所以的分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”．甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为． 甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛进行4场的概率为． 在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． （2）甲队本次比赛的成长值得分Y的可能取值为． ； ； ； ． ． 令，则 ， 再令，. 判别式的两根为 由可得，则在上单调递减，则 所以时，，. 因此函数在上单调递增，又， 当p趋近于1时，，则. 故的取值范围是． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）依题意，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为两边取对数可得，即， 令，所以，由， ，. 所以， 又，即， 所以，所以. 所以关于的经验回归方程为. （2）甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为， 依题意可得， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 9．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可； （2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可； （3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解. 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 10．（25-26高三下·重庆·开学考试）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据二项分布求出分布列即可； （ii）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （2）先确定甲队成长值得分的可能取值，并计算概率，根据期望计算公式计算.得出期望关于的关系式后，通过导数判断在上的单调性确定其范围. 【详解】（1）（i）由题意可知，，则的可能取值为， 则；； ；， ∴分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场的概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （2）甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， 则， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，， 因此函数在上单调递增， 又，当趋近于1时，，则， 故的取值范围是. 11．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)（i）；（ii）1080. 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列. （2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出，再利用导数求出最大值点；（ii）利用（i）的结论，结合古典概率公式求出估计值. 【详解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 12．（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】(1)期望为； (2) 【分析】（1）根据超几何的期望公式即可求解，利用条件概率以及超几何概率的计算公式可求解概率， （2）根据二项分布的概率公式以及期望公式求解一个人获得奖金的期望，进而根据题意得，构造函数，利用导数求解函数的单调性得解. 【详解】（1）记总题数，甲会做的题数， 从中任选2题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望． 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：． （2）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为， 期望，化简得 9名同学总奖金的期望， 即．整理得． 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得． 题型03 概率、统计与数列的综合问题 13．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 14．（25-26高三上·云南普洱·期末）小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为． (1)求； (2)当为奇数时，证明：； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由，再由二项分布的概率公式计算可得； （2）先设，将所证不等式转化为，再结合二项分布的概率公式即可证明； （3）由二项分布的期望公式可得，进而可得，再结合分组求和可得. 【详解】（1）因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且各次抛掷相互独立， 所以服从参数为的二项分布，即， 所以， 得 （2）当为奇数时，设，则，， 所以只需证. 根据二项分布的概率公式， ， 所以，故原不等式成立. （3）由二项分布的期望公式为，其中，即 所以， 得 所以 . 故. 15．（2025高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)答案见解析， 最大值为，最小值为． 【分析】（1）确定随机变量取值，由独立重复试验概率公式求得概率即可求解； （2）由独立重复试验概率公式求得相应概率，再由独立事件乘法公式求解即可； （3）由条件确定，构造等比数列，由累加法求得，进而可求解. 【详解】（1）设甲同学第一个月的绩点得分为， 则的可能取值为． ， ， ， ， ． 所以的分布列为 4 5 6 7 8 ， 即甲同学在第一个月绩点得分的数学期望为． （2）设乙同学第一个月的绩点得分为， 的可能取值为． ， ． 设甲同学第一个月可以结业为事件，乙同学第一个月可以结业为事件，则 ， ， 根据题意事件显然相互独立， 所以． （3）由题意，当，即发放1个徽章，只有一种情况，， 当，此时有两种情况： ①给两位同学分别发放1个徽章； ②给一位同学发放2个徽章，， 当时，， 则， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故成立． 则有 ， 所以， 又， 所以． 当为偶数时，， 由于，易得随着的增大而减小， 所以当时取最大值，最大值为， 又当时，，此时无最小值； 当为奇数时，， 同理易得随着的增大而增大， 所以当时取最小值，最小值为， 又当时，，此时无最大值． 综上所述，数列的最大值为，最小值为． 16．（2025高三·全国·专题练习）某商场为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送大奖”的活动，游戏规则如下：棋盘上从左到右共有16个格子，依次标有数字0~15，每个参赛者的起始点都在“0”处，游戏过程中参赛者需要通过掷骰子来决定棋子移动的格子数，若掷出的点数不超过4，则向右移动1格，否则向右移动2格，每位参赛者最多掷10次骰子，每次掷骰子的结果互不影响，10次内移动到终点则可获得奖品．记棋子移动到“”处的概率为． (1)当掷骰子4次时，求； (2)记，证明数列是等比数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先列出掷骰子4次时，棋子移动到“6”处的路径的6种情况，然后求出概率即可. （2）先根据题意求出，然后得到的表达式，进而根据递推关系式证明等比数列. 【详解】（1）由题意得，骰子向右移动1格的概率为，骰子向右移动2格的概率为， 掷骰子4次时，棋子移动到“6”处的路径有如下6种情况： ；；； ；；． 所以． （2）当时，棋子移动到“1”处，掷骰子1次且其点数不超过4点，即，则； 当时，棋子移动到“2”处， 掷骰子1次且其点数超过4点或掷骰子2次且每次的点数都不超过4点，即． 根据题意，棋子移动到“”处的情况有两种： ①，即上一次掷骰子结束后棋子在“”处， 再掷骰子1次且其点数超过4点，移动2格，其概率为； ②，即上一次掷骰子结束后棋子在“”处， 再掷骰子1次且其点数不超过4点，移动1格，其概率为， 所以， 所以， 经验证，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 17．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 18．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 强化训练 1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为，进而求得第1次和第2次交换后的概率的值； （2）根据题意，分类讨论，求得交换次后，小明恰有1张中奖券的概率的值，结合，即可求解； （3）由（2）知：，化简得到，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为， 由题意，第1次交换，可得， 所以. （2）解：根据题意，分类讨论，交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的情况： ①交换次后，小明恰有2张“中奖”奖券：； ②交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券：， ③交换次后，小明恰有0张“中奖”奖券：， 综上可得，. （3）解：由（2）知：， 设，可得， 令，解得，所以， 又由，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，可得， 所以. 2．（2026·辽宁丹东·一模）Base16 Encoding是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六进制数，从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串，便于传输与解码． (1)写出二进制数111001011101转换后的十六进制字符串（参考附2）； (2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字保持不变，字母替换为两个连续的“*”，得到加密字符串（如5A6F3加密为）.设位十六进制字符串加密后，其加密字符串的第位为“”的概率为． （i）求，，并证明数列为常数列； （ii）若，求数列的通项公式． 附1：十进制与十六进制的对应关系 十进制 0 1 2 … 9 10 11 12 13 14 15 十六进制 0 1 2 … 9 A B C D E F 附2：二进制数转换为十六进制数规则 将二进制数按4位一组映射为1位十六进制字符：从二进制数的最右侧开始，向左每4位分为一组；若最左侧一组不足4位，则在其左侧补0凑齐4位. 例如：二进制数11010，先补0分组为00011010.由，得，映射为十六进制数字1；由，得，映射为十六进制字母A．因此二进制数11010映射为十六进制字符串1A． 【答案】(1)E5D (2)（i），，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据二进制数转换为十六进制数规则分析即可； （2）（i）利用古典概型概率、条件概率以及常数列的定义证明即可；（ii）根据等比数列定义以及通项公式和二项式定理分析求解即可. 【详解】（1），映射为十六进制字符为E， ，映射为十六进制字符为5， ，映射为十六进制字符为D， 因此二进制数111001011101，转换后的十六进制串为E5D． （2）（i）由题意，十六进制单个字符为数字的概率为，为字母的概率为， 当时，； 当时：若首字符为数字，第2位为的概率为， 若首字符为字母，第2位必为，概率为，故． 记事件：“原始字符串的第1个字符为数字”，则， 记事件：“原始字符串的第1个字符为字母”，则， 记事件：“长度为的原始字符串，加密后所得加密字符串的第位为*”，则， 当时： 若发生，首字符占1位，剩余个字符的加密结果是从加密字符串第2位开始，故， 若发生，首字符占2位，剩余个字符的加密结果是从加密字符串第3位开始，故， 由全概率公式，得， 从而，又， 故对任意，有，即数列为常数列． （ii）由（ⅰ）得， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 从而， 由二项式定理得， 因此. 3．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【详解】（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. （2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. 4．（2026·湖北·模拟预测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析， 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 5．（2026·广西·模拟预测）设函数，集合（）.a，，设的图象与x轴有交点的概率为. (1)求的值； (2)求关于n的表达式； (3)证明：. 参考公式：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据零点的性质，令函数，利用可得，利用列举法即可求得. （2）分别讨论当和当时，的总取法，从而可求解. （3）从反面考虑，先求出 不存在零点的概率为 ．从而证得. 【详解】（1）的图象与x轴有交点的概率等价于存在零点的概率. 令，即，即. 当时,任取2个可相等的数的总方式为， 其中满足的方式为，共七种，故. （2）由（1）可知等价于求的概率. 当时，.又为中的元素，故恒成立， 此时仅需考虑的总取法. 此时的总取法为，的总取法为， 故两者相乘可得总取法数为. 当 时,易有 的总计有个, 故此时的取法总数为. 综上,满足条件的总取法数为. 故所求概率=. （3）从反面考虑，从 中等概率任取 2 个可相等的数分别记为 ， 使 不存在零点的概率为 ． 当其无零点时， ．由于 ，故 ． 故此时，满足 的的选取方式总数小于 ． 故 ，也即 得证． 6．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 【答案】(1) (2)（i），，，，平均数；（ii） 【分析】（1）根据已知得出分段函数解析式； （2）（i）应用频率计算求解平均数；（ii）应用已知频率计算求解. 【详解】（1）当日需求量时，利润； 当日需求量时，利润； 利润关于当天需求量的函数解析式 （2）（i）由（1）得，，，， 这天的日利润的平均数为： ， （ii）当天的利润不少于元，当且仅当日需求量不少于个， 故当天的利润不少于元的概率为． 7．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. (1)求，； (2)数列满足，证明：数列为等比数列，并求； (3)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得，进而得到，，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，可得，设，进而得到，进而求解即可； （3）先证明，，令，可得，进而求证即可. 【详解】（1）定义事件为第n次传球时甲传给乙，为第n次传球时甲传给丙， 为第n次传球时乙传给甲，为第n次传球时乙传给丙， 为第n次传球时丙传给甲，为第n次传球时丙传给乙， 由题意，， 首先由甲开始传球，则，，， . （2）定义第n次传球后球在乙手上的概率为，第n次传球后球在丙手上的概率为， 则， 则， 而， 则， 所以， 即， 由，，，则，， 而， 即，则，， 所以，， 则，， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，， 即，设，则，， 又，则， 则， 所以. （3）设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，， 令，则， 即，则， 则， 设，则， 而， 即， 则. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 学生的写作水平与每周课外阅读时长有关 (2) X 0 1 2 P 【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表 为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关． （2）根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人）， 组人数为（人），则X的取值可能为， 所以， 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以． 9．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 能认为满意程度与性别有关系 (2). 【分析】（1）利用独立性检验的步骤进行计算和分析； （2）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入总决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可. 【详解】（1）列联表 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001； 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）依题意，设“答对第i道题”（，2，3）；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，， 所以； 10．（2026·广东广州·模拟预测）某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)数学成绩与单日运动时间有关； (2) 【分析】（1）先计算，再与临界值比较判断求解； （2）先计算样本中心点，再应用公式计算，最后代入样本中心点计算. 【详解】（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关， ， 零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关． （2）， ， 于是， 于是． 11．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取84人进行了问卷调查并收集了他们的平时成绩（平时成绩分优和良两个等级）．其中42人接受方法一，42人接受方法二．经统计发现，接受方法一的人中有30人平时成绩是优，接受方法二的人中有18人平时成绩是优 (1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生2人，设其中平时成绩为优的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)列出2×2列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为学生平时成绩与教学方法有关？ (3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取7人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率． 附： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) X 0 1 2 P (2) 接受教学方法 平时成绩 合计 良 优 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 可以 (3) 【分析】（1）先求出对应事件的概率，再求出分布列，最后求解数学期望即可. （2）先列出列联表，再进行独立性检验即可. （3）先求出对应事件的概率，最后再结合条件概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为， 且，可得， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则由期望公式得． （2）由题意知，2×2列联表如下： 接受教学方法 平时成绩 合计 良 优 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设：平时成绩与教学方法无关， 经计算得， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为平时成绩与教学方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01． （3）抽取的14人中，接受方法一且平时成绩为良的有（人）， 接受方法二且平时成绩为良的有（人）， 记事件A表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”， 事件B表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”， 则， 故． 12．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有95%以上的把握 (2),分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据表中数据及公式计算判断； （2）①根据抽样比从各层中抽取相应人数，再利用古典概型概率计算公式求解； ②利用超几何分布计算即可求得分布列与期望. 【详解】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． （2）①根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢用有缝球的选手中选取人，从喜欢用无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件， 则． 所以两个赛区都有人被选中的概率为． ② 的分布列与期望 表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，服从超几何分布，可能取值为 ： . 分布列： 0 1 2 3 . 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $