专题03多边形与平行四边形（期中复习专项训练，10大题型）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题03 多边形与平行四边形 （期中复习专项训练，10大题型） 题型导览 题型1 多边形及其内角和 题型2 利用平行四边形的性质求解 题型3 利用平行四边形的性质证明 题型4 平行线间的距离 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件 题型6 平行四边形中的计数问题 题型7 证明四边形是平行四边形 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 题型10 三角形的中位线 题型汇总 题型1 多边形及其内角和 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】． ∴该正多边形的内角和的度数为． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，先根据公式求出五边形的内角和，再除以多边形的内角个数得到每个内角的度数． 【详解】解：∵n边形内角和公式为，五边形边数， ∴五边形内角和为， ∵五边形每个内角都是，且共有5个内角， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和，多边形内角和定理边形的内角的和（大于等于3），据此解答．直接利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】∵ 边形内角和公式为， ∴ 当时，内角和． 故选：C． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论． 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图：________________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和． 直接根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和的度数为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 题型2 利用平行四边形的性质求解 8．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（ ） A．5 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用平行四边形面积公式求出高和，再由勾股定理计算出和的长度，最后分别计算两种情况的即可得到结果． 【详解】解：四边形是面积为的平行四边形，，， ，，平行四边形面积， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 分两种情况计算： 情况：当在延长线，在延长线时， ，， ， 情况：当在延长线，在线段上时， ，， ， 综上，的值为或． 10．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接E、F两点，过点E作于点M， ∵，, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， 故阴影部分的面积为． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】连接，由折叠的性质可得，，结合，可判定是等边三角形．由于为的中点，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出．结合，可证明是等腰直角三角形，则，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 【答案】 12 【分析】将转化为与面积相关的表达式．因为平行四边形中，且已知，，所以可利用平行四边形的面积公式，结合与平行四边形的面积关系求解． 【详解】过作边上的高，连结， 在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵动点在上时， ∴ ． ∵， ∴， 代入， 得， 整理得． 13．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 14．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 【答案】，，． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及勾股定理， 等腰三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质结合勾股定理进行解答是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可以得到，结合，可以得到是等腰直角三角形，利用勾股定理可以得到与的长度，由此可得与的长度；根据平行四边形的面积公式，结合与的长度，即可得到面积． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴,, ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴的长为，的长为，平行四边形的面积为16． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．求证： (1)是等边三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，所以，然后结合角平分线的定义，得到，所以，再结合已知条件，即可证明结论； （2）根据“”即可证明结论； （3）根据平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质，可证明，，即得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即． 题型3 利用平行四边形的性质证明 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，，平分交于点E，平分交于点F，与交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边的性质，等角对等边，三角形内角和定理，由平行四边形的性质得到，，则由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，即可求出，同理可得，则可求出，据此可判断①；进而可得，据此可判断④；由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，则，据此可判断③；再由平行线的性质可得，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，故①正确； ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 故选：C． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：；；；．其中正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证，得 ，，，则，得，故正确，不一定等于，故不正确，不一定成立，故不正确，即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故正确， ∴， ∴，故正确， ∴四边形是平行四边形， ∴，而不一定成立，故不正确， ∵不一定等于， ∴不正确，故不正确， 故选：． 18．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有_________（填序号）．    【答案】①②③⑤ 【分析】根据平行四边形的性质得到，故①正确；根据平行四边形的性质得到AO=3,根据三角形三边关系得到，故②正确；根据平行四边形的性质得到O为中点，，即可得到，故③正确；由已知条件得到6组全等三角形，故④错误；根据，得到，故⑤正确即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点， ∴， ∴，故③正确； 由已知条件得，图中全等的三角形有，，故④不正确； ∵， ∴, ∴，故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形等知识点，熟知平行四边形性质是解题关键． 19．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接．    (1)求证：； (2)若是的中点，且，求平行四边形的面积； (3)如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（）根据平行四边形中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论； （）根据是的中点，可得，证明，再利用含未知数的勾股定理可得的长，进而可得平行四边形的面积； （）根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系； 此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，   ，， 平分， 是等边三角形， ∴； （2）解：是的中点 ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ∴ 当时，设，则， ∴ 解得， ， 平行四边的面积； （3）四边形是平行四边形，   ， ，， 是等边三角形，， ， ， 设的边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 题型4 平行线间的距离 22．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 23．（25-26八年级上·山西晋中·期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离，轴对称最短路径问题，勾股定理，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小，则，所以，过点作于点，然后求出，，由勾股定理得，从而得出的最小值为，准确找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小， ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 24．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则直线与直线之间的距离是__________． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，理解“平行线之间的距离处处相等”是解题的关键． 利用平行线之间的距离处处相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：8． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点B作直线的垂线，交直线于点，根据平行线间距离处处相等，得到，利用三角形面积公式即可求解； （2）由，推出，由，推出，则，从而得到再由角平分线的定义得到，则． 【详解】（1）解：过点B作直线的垂线，交直线于点， ，， ， ∵， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践：按照要求测量木料之间的距离． A．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n相互平行． B．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． C．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． Ｄ．测量方法及求解过程． 小庄利用所提供的测量工具，设计一种测量木料之间的距离的方案．如图③所示， 步骤一：在平行线边m，n上分别取点A，B，连接，并测量， 步骤二：在线段上取中点C，使得 步骤三：作交边n于点D，连接． 步骤四：测量． 请根据小庄提供的测量步骤写出求解过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理等知识，由测量得，由等边对等角得出，，由三角形内角和定理得出，进而得出，即，则这块木料平行边m，n之间的距离为． 【详解】解：求解过程：由测量得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴这块木料平行边m，n之间的距离为． 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件 28．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 29．（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 30．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 31．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 32．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 33．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 【答案】(1)①②④ (2)①（答案不唯一），见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）解：选择①，，、为垂足； 证明：∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 题型6 平行四边形中的计数问题 34．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 35．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 37．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 【答案】3个 【分析】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【详解】 解：如图所示： 故答案为：3个． 38．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 39．（23-24八年级下·黑龙江绥化·月考）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 题型7 证明四边形是平行四边形 40．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的判定方法． 直接根据平行四边形的判定定理进行逐项分析，判断即可． 【详解】解：∵ ∴四边形也可能是梯形， 故A选项不符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故B选项不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故C选项符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故D选项不符合题意； 故选C． 41．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断． 【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合； ，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合； ，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合； ，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合， 故选：D． 42．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平行四边形的判定，由平行四边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故答案为：③． 43．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 45．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行线的性质可得，，利用线段和差关系等量代换证得得到，根据全等的性质得到，从而得证． 【详解】证明：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 46．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 47．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，，当为直角三角形时，t的值为（   ） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 【答案】D 【分析】主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，分情况讨论，分别计算三个角为直角时t的值，并判断是否存在． 【详解】解：当或16时，为直角三角形；理由如下： ①时，四边形为矩形， 在中，， ∴，即， ∴； ②时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴； ③时，此种情况不存在； 综上所述，当或16时，为直角三角形． 故选：D． 48．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 49．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点E是的中点，点M和点N分别是线段和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，则，结合已知得和，即可得和四边形为平行四边形，有，，将线段绕点N旋转得到，连接和，即可利用证明，则和，利用三角形三边关系得，进一步利用勾股定理得，当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为即可． 【详解】解：作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，如图， 则 ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 将线段绕点N旋转得到，连接和， 则，， ∵， ， ∴， ∴， 则，， ∵点E是的中点， ∴， 则， ∵ ∴， 当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形三边关系的应用和勾股定理的应用，解题的关键是利用相等将线段转化． 50．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据已知得出，进而根据，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ； ， ； ， ，； ， ． 51．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连结与交于点G． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连结与交于点H，若，，试探究，，三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）①证明，由平行线的判定可得出结论； ②证明四边形为平行四边形，得出，由勾股定理求出，过点E作于N，由勾股定理可得出答案； （2）证出，以C为顶点作，交的延长线于P，证出，则可得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， 又， 平分， ∴， ， ； ②解：在中，，， ， 如图，过点E作于N， ，，， ， ，， ， 在中， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 又由①得，， 四边形为平行四边形， ， ； （2）解：， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 如图2，以C为顶点作，交的延长线于P， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 52．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设点两点运动的时间是秒 (1)填空：点坐标为______，的长为______； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)为第二象限内一点，且为等边三角形．连接．当t为何值时，恰好等于？（计算结果保留根号，不取近似值） 【答案】(1)， (2)当或秒时，为直角三角形，理由见解析 (3)当时，恰好等于 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，及勾股定理即可解答； （2）因为，故可分两种情况求解：当时，可证四边形是矩形，根据矩形的性质列方程，即可求得的值；当时，可求得，根据，列出方程，即可求得的值； （3）根据等边三角形和平行四边形的性质，可证明是等腰直角三角形，由此可得，在中，，由此得到方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，点坐标为， 故答案为：，． （2）解：当或秒时，为直角三角形，理由如下， ， 可分两种情况求解： 当时，如图， ，， 四边形是矩形， ， ∵在中，， ∴， ， ； 当时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或秒时，为直角三角形． （3）解：如图， 为等边三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ∴当时，恰好等于． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，对直角三角形分类讨论是解题的关键． 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 53．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，可得，判断①②；再根据随着直尺转动，边长变化，判断③；然后作，求出，再结合宽为可求出面积，并判断④． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则①②正确； 随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化， ∴③不正确； 过点A作，交于点E， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为，则④正确， 可知正确的有①②④． 故选：C． 54．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 55．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是______． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况讨论求解即可得出正确的结论． 【详解】解：无法判断；故①错误； 当点A与点在异侧时，如图， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故②正确； 当点A与点在异侧时，如图， ∵， ∴ 又， ∴， ∴即， ∴与互相垂直；故③正确； 当点A与点在同侧时，如图， ∵， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 56．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，为对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质、含直角三角形性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得，再结合题意即可证明结论； （2）根据题意证明，得；再利用勾股定理求得的长，最后根据公式求三角形面积，即可得平行四边形面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 即 四边形为平行四边形； （2）四边形是平行四边形 ， 在和中 ， ， ， 在中， 在中， ， ， ，   ， ， ． 57．（24-25八年级下·北京·期中）在矩形中，点E，点F分别为边延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义、平行四边形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）根据角平分线定义及平行线性质得到，则，再利用勾股定理可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， 点E，点F分别为边延长线上的点，且， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ，则， ， 在中，由勾股定理得：， ． ∴线段的长为． 58．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图1，在等腰中，，点M为边上一动点． (1)在边上取一点N，使得连接，过点C、M分别作的平行线交于点P，连接．证明：； (2)在（1）的条件下，若，，当点M沿着边从点A运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P运动的轨迹长度是_______； (3)【迁移应用】如图2，以等腰的底边构造矩形，若，．点N在边上，连接．当点M在边上运动时，的长度也随之改变，但需始终保持，请求出长度的最小值，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）先由（1）及等边三角形性质找角的关系得度数，确定点的运动路径，再根据，结合点运动路径，进行求解即可． （3）类比构造平行四边形，将转化为，通过找最小值求解．先构造平行四边形，得出相关边和角的关系，再利用直角三角形性质求最小值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， 是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； ∴点在以为顶点，为一边的30度角的另一条边上运动， 当点移动到点时，点与点重合，此时点在的延长线上，且，如图， ∴，， ∴； 故点的运动路径长为； （3）的最小值为，理由如下： 过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，最小，此时最小， 作于点， 在中，， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴线段长度的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形判定和性质、等腰三角形性质、直角三角形性质（含角和角 ），熟练掌握平行四边形的构造转化线段，以及利用特殊三角形性质求最值是解题的关键． 59．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵点与关于对称， （2）①，A，三点共线，且点与关于对称， ， ，， 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得： ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴是正方形 ，. ②过点作的平行线，交，分别于点E，F； ∵点关于的对称点为点 ∴ ∵， ∴ ∴ 由∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴为等腰的边中点， ∴为中点，为中点， ∵ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 设，则， 在Rt中，， 解，得 ， 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理及对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 题型10 三角形的中位线 60．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作，根据三角形的中位线可知，当与重合时，取得最小值，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于I， 则， ∵E为的中点，F为的中点， ， ∴当与重合时，取得最小值，最小， ∵在中， ∴， ， ∴， ∴． 61．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 62．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求出斜边的长，再根据三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ， ∵点分别是的中点， 是的中位线， ． 63．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【答案】8 【分析】根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 64．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 65．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． (1)连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． (2)如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）①由与均是以为直角的等腰直角三角形，可得，故，再由即可证明结论；②如图：延长交于K，由平分，可得是等腰直角三角形，故，求得，由勾股定理得；从而可知的长为； （2）如图∶延长到G，使，连接，证明可得，，而，即可得，故是的中位线，有，知． 【详解】（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图：延长交于K， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 由①可知，， ∴， ∴的长为． （2）解：，证明如下： 如图：延长到G，使，连接， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∠DAG = ∠CAB， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴ DG = 2AF， ∴． 66．（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． (1)如图1，当点D运动到中点时，求的长； (2)如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； (3)如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形的性质得出结果； （2）作于G，根据轴对称的性质得出，，，从而得出，根据勾股定理得出方程，从而得出，可求得，作于C，根据勾股定理得出的值，从而得出A点的坐标，根据面积法得出的值即可； （3）当时，取的中点M，连接，进而得出M点坐标；当时，设，当时，根据列出关于a的方程，求得a的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 是的中点， ； （2）解：如图1， 作于G， 沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 作于C， 由得，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2， 取的中点M，连接， 设直线的关系式是：，则，解得：， 直线的关系式是：， 是的中点， ，， ， 此时， 如图3， 当时，设， 由得， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数等知识，解决问题的关键是分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 多边形与平行四边形 （期中复习专项训练，10大题型） 题型导览 题型1 多边形及其内角和 题型2 利用平行四边形的性质求解 题型3 利用平行四边形的性质证明 题型4 平行线间的距离 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件 题型6 平行四边形中的计数问题 题型7 证明四边形是平行四边形 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 题型10 三角形的中位线 题型汇总 题型1 多边形及其内角和 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图：________________． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 7．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 题型2 利用平行四边形的性质求解 8．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（ ） A．5 B．7 C．10 D．11 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 13．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 14．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．求证： (1)是等边三角形； (2)； (3)． 题型3 利用平行四边形的性质证明 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，，平分交于点E，平分交于点F，与交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：；；；．其中正确的为（　　） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有_________（填序号）．    19．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 20．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 21．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接．    (1)求证：； (2)若是的中点，且，求平行四边形的面积； (3)如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 题型4 平行线间的距离 22．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 23．（25-26八年级上·山西晋中·期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是__________． 25．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则直线与直线之间的距离是__________． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 27．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践：按照要求测量木料之间的距离． A．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n相互平行． B．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． C．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． Ｄ．测量方法及求解过程． 小庄利用所提供的测量工具，设计一种测量木料之间的距离的方案．如图③所示， 步骤一：在平行线边m，n上分别取点A，B，连接，并测量， 步骤二：在线段上取中点C，使得 步骤三：作交边n于点D，连接． 步骤四：测量． 请根据小庄提供的测量步骤写出求解过程． 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件 28．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 31．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 32．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 33．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 题型6 平行四边形中的计数问题 34．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 35．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 37．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 38．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 39．（23-24八年级下·黑龙江绥化·月考）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 题型7 证明四边形是平行四边形 40．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 42．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 43．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 44．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 45．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 46．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 47．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，，当为直角三角形时，t的值为（   ） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 48．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 49．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点E是的中点，点M和点N分别是线段和上的动点，则的最小值是__________． 50．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 51．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连结与交于点G． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连结与交于点H，若，，试探究，，三条线段之间的数量关系． 52．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设点两点运动的时间是秒 (1)填空：点坐标为______，的长为______； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)为第二象限内一点，且为等边三角形．连接．当t为何值时，恰好等于？（计算结果保留根号，不取近似值） 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 53．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 54．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 55．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是______． 56．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，为对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 57．（24-25八年级下·北京·期中）在矩形中，点E，点F分别为边延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求线段的长． 58．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图1，在等腰中，，点M为边上一动点． (1)在边上取一点N，使得连接，过点C、M分别作的平行线交于点P，连接．证明：； (2)在（1）的条件下，若，，当点M沿着边从点A运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P运动的轨迹长度是_______； (3)【迁移应用】如图2，以等腰的底边构造矩形，若，．点N在边上，连接．当点M在边上运动时，的长度也随之改变，但需始终保持，请求出长度的最小值，并说明理由． 59．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 题型10 三角形的中位线 60．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 61．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 62．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 63．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 64．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 65．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． (1)连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． (2)如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 66．（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． (1)如图1，当点D运动到中点时，求的长； (2)如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； (3)如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $