精品解析：湖北鄂北六校联考2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算除以所得的余数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是 B. 甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种 C. 的展开式的常数项为 D. 10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 数列是递增数列 D. 数列的前n项积为，则 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 若恒成立，则 B. 若有3个零点，则a的范围为 C. 时，是的极值点 D. 时，有唯一零点且 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 展开式中含项的系数是_________（用数字作答）． 13. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 14. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中奇数次项的系数的和； （2）若，求． 16. 已知数列满足：，；数列的前项和． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）过点作棱的垂线，垂足为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，当恒成立时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数满足， 所以， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，令可求得的值，可得出函数的解析式，代值可得的值. 【详解】因为，所以，则，解得， 故，因此. 3. 计算除以所得的余数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式可求得结果. 【详解】因为 ， 故除以所得的余数为. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 5. 涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式可求得结果. 【详解】用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完， 则不同的涂色方法种数为种. 6. 已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 7. 设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，利用椭圆和双曲线的离心率公式可得出，即可得解. 【详解】由题意可知，且， ，， 所以. 8. 已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解． 【详解】由，得，即，即， 设，则， 又函数在上单调递增，则， ， 设 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， ，则， 实数的取值范围为． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是 B. 甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种 C. 的展开式的常数项为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可判断A选项；利用排列数公式可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数和可判断D选项. 【详解】对于A选项，名工人各自在天中选择一天休息，每个人都有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同方法种数是，A错； 对于B选项，甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种，B对； 对于C选项，的展开式通项为， 由，解得，故展开式中的常数项为，C对； 对于D选项，，D错. 10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 数列是递增数列 D. 数列的前n项积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对数列递推式依次取值计算即可判断；对于B，由递推式取倒数，利用等差数列定义即可判断；对于C，利用数列通项的增减性即可判断；对于D，求出的表达式，由对依次赋值比较即可判断. 【详解】对于A，由，，可得，，，，故A正确； 对于B，由和可知，两边同时取倒数可得， 即，故数列为等差数列，即B正确； 对于C，由B可得，则得，显然随着的增大， 逐渐减小，故数列是递减数列，即C错误； 对于D，依题意， ，因为， 当时，得，当时， ，而当时， ，则，故有，即D正确. 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 若恒成立，则 B. 若有3个零点，则a的范围为 C. 时，是的极值点 D. 时，有唯一零点且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将转化成，设，求导判断其单调性，分析其极小值与图象趋势即得的范围判断；对于B，有3个零点转化成直线与的交点个数，结合A项对的单调性的探究，即得a的范围；对于C，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断； 对于D，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断. 【详解】对于A，当成立，当不为零时，由可得，，设，则， 由可得或，由可得， 故函数在在和上单调递增，在上单调递减，故当时，， 且当时，，故恒有，则得，故A正确； 对于B，令，则，由上分析可得在单调递增，且值域为， 在上单调递减，在上单调递增，且，在上的值域为 有3个零点，可得，故B正确； 对于C，当时，设，则， 当时，，当时， 在单调递增，在单调递减. 当时，最小值为0，故可知，即在上单调递增，无极值点，故C错误； 对于D，当时，，设， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减. 当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点， 又且，由零点存在性定理可知D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 展开式中含项的系数是_________（用数字作答）． 【答案】135 【解析】 【详解】展开式中含的项为， 故展开式中含项的系数是135. 13. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 14. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】解：因为，所以， 若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意， 所以，令，解得，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则， 则， 令，， 则，所以当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即的最小值为. 故答案为： 【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中奇数次项的系数的和； （2）若，求． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）先应用二项式系数成等差数列得出，再应用赋值法计算求解系数和； （2）先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【小问1详解】 由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为， 所以，即， 化简得，因为，解得， 设 令，得，① 令，得，② 【小问2详解】 又因为 所以， 所以 所以 16. 已知数列满足：，；数列的前项和． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）过点作棱的垂线，垂足为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，证明出平面，可得出，利用勾股定理可得出，利用线面垂直判定定理可证得结论成立； （2）方法一：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果； 方法二：证明出，，可知平面与平面所成角为，求出、的值，即可求出的余弦值，即为所求. 【小问1详解】 连接、，设， 因为四边形为正方形，所以，且为的中点， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，所以，故， 因为，，、平面，所以平面. 【小问2详解】 解法一：因为平面，四边形为正方形， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、，， 因为，，，所以， 又因为，，、平面，所以平面． 所以取平面的一个法向量为， ，设平面的一个法向量为， 则有，取，可得， 设平面和平面的夹角为，则有， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 解法二：因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为、平面，所以，， 所以平面与平面所成角为， 因为平面，、平面，所以，， 因为，，，为的中点， 所以， 因为平面，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，从而， 又因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，， 因为，所以， 故平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值； ②求出的取值范围，结合弦长公式可求得的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆定义可得 ， 因为，所以，则， 由题，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由题可得，从而直线的斜率必定存在， 设、，设直线的方程为， 联立，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 即， 即 ， 整理可得， 即， 又因为直线不过点，所以，所以，即； ②由①可知，，由得， 因为，所以，因此的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，当恒成立时，求的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的极值； （2）求导得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）解法一：令，利用导数求得，所求不等式等价于，恒成立，参变量分离得，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围； 解法二：，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， ， 当时，，此时在区间上单调递减， 当时，，此时在区间上单调递增． 所以函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，解得， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ②当时，恒成立，在区间上单调递增； ③当时，解得：或，此时， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ④当时，， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 等价于，即恒成立. 解法一：因为， 所以对任意的恒成立， 令，，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 又因为，，且当时，，故， 所以，恒成立转化为，恒成立， 分离参数得，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围是； 解法二：令，， ，时恒成立即为恒成立， ， 当时，在时，，在上单调递减， 在时，，在上单调递增， ，解得； 当时，，与恒成立矛盾. 综上所述：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $