精品解析：山东烟台市栖霞市第一中学2025-2026学年高一下学期3月份考试数学测试卷

2026年3月份高一月考测试卷 一、单选题 1. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算结合题目条件即可求出实数的值. 【详解】， 所以，解得． 故选：D 2. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 3. 在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为相反向量，进而得到，再求解判断各选项即可. 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 4. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 5. 一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由及正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出a的值. 【详解】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 7. 若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第四象限 C. 第二象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用复数乘法及复数为0的我相信求出a，b的值，再利用复数的几何意义即得答案. 【详解】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 8. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 二、多选题 9. 已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误；对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题意有在方向的投影向量为， 因为，所以， 因为，，所以， 得，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BCD 11. 在中，三个内角对边分别为，，则（    ） A. B. C. D. 的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】A：利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简可得结果；B：假设成立后推出矛盾；C：根据向量的线性运算求出结果；D：将C的结果平方结合余弦定理可求解出关于的表示，根据的取值范围可求解出结果. 【详解】和正弦定理，可得， 即， 则， 所以， 则，即， 所以，由正弦定理，得，故A正确； 假设成立，因为，所以， 所以，且，所以， 所以，且，此时无解，假设错误，故B错误； 因为，故C正确； 因为， 所以，由余弦定理，， 所以， 又因为，所以， 由三角形性质可知，即，解得， 所以，即的范围为，故的范围为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知向量、满足，，且，则与的夹角________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义求出，结合向量夹角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 所以， 又因为，故. 故答案为：. 13. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 14. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 四、解答题 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因 则 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 16. 设复数， （1）当实数m为何值时，z是纯虚数？ （2）当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． 【小问2详解】 因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 17. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． 【小问2详解】 ， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 18. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； 【小问2详解】 由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 19. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角； （2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围； （3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得．又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则， 则，故． 【小问3详解】 设的中点为，因是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月份高一月考测试卷 一、单选题 1. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 4. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 5. 一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第四象限 C. 第二象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 8. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，三个内角对边分别为，，则（    ） A. B. C. D. 的范围为 三、填空题 12. 已知向量、满足，，且，则与的夹角________. 13. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 14. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 四、解答题 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 设复数， （1）当实数m为何值时，z是纯虚数？ （2）当实数m为何值时，z是实数？ 17. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 18. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 19. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $