精品解析：山东省烟台市栖霞市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一数学月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若，则 A. B. C. D. 3 已知，，，则等于（ ） A. 12 B. 28 C. D. 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 中，，，，则面积等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量,的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量是 11. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若则外接圆的半径等于1 B. 若，则此三角形直角三角形 C. 若，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，均为锐角，则___ ． 13. 已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量 （1）已知且，求 （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17. 在中，，，，为线段的中点. （1）求的长； （2）求的值. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 19. 如图，在边长为6的正方形中，，且，. （1）求的值； （2）若向量，点在的内部（不含边界），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算求解． 【详解】， 由，得， 得，得， 故选：A 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简并利用平方关系，然后将弦化切计算即可. 【详解】由 又 所以 故选：D 3. 已知，，，则等于（ ） A. 12 B. 28 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到. 【详解】 ， 故. 故选：C 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可. 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可求，结合范围，可得，利用三角形内角和定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】解：∵，，， ∴由正弦定理可得， ∵，可得或120°， ∴或30°， ∴或． 故选：D． 7. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】因为，，G为EF的中点， 所以 ， 所以，所以. 故选：A 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意，根据二倍角的余弦、正切公式和两角差的正弦公式计算即可. 【详解】选项A：，故A符合题意； 选项B：，故B符合题意； 选项C：，故C不符合题意； 选项D：，故D不符合题意 故选：AB. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量,的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于，，，， ， ，故A错误； 对于B，， 由于，则向量的夹角为，故B正确； 对于C，， ，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确． 故选：BD． 11. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若则外接圆半径等于1 B. 若，则此三角形为直角三角形 C. 若，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，三角形个数的判断方法，以及和差化积公式和辅助角公式即可求解. 【详解】根据正弦定理， ， 所以， 则外接圆的半径等于1， 故选项A正确； ， 所以， 所以, 所以， 所以， 在三角形中， 所以， 所以， 则此三角形为直角三角形， 故选项B正确； 因为， 所以， 所以， 则解此三角形只有一解， 故选项C错误； 因为是锐角三角形， 所以，所以，所以，即，同理 则，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，均为锐角，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可． 【详解】因为，均为锐角，所以， 则， 所以. 故答案为： ． 13. 已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围． 【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线. 由可得， 若与共线，则有，解得，所以与不共线时，. 综上，的取值范围为且. 故答案为：. 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量 （1）已知且，求 （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到方程，解出即可； （2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可. 【小问1详解】 由，所以设 又得，解得， 所以或. 【小问2详解】 由题知，，，， 所以， 所以 所以 所以 所以 因为 所以向量与向量的夹角为. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 17. 在中，，，，为线段的中点. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）由余弦定理求解， 【小问1详解】 由余弦定理得， 即，得， 【小问2详解】 由题意得， 中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 而，故，得， 故 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据A的范围，即可得出答案； （2）根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 在中，由已知结合正弦定理角化边可得， 整理可得，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，， 记的周长为，则， 由，，得， 所以. 又，所以，则，故 19. 如图，在边长为6的正方形中，，且，. （1）求的值； （2）若向量，点在的内部（不含边界），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正切公式求得正确答案. （2）先求得的取值范围，然后根据向量的数量积运算以及不等式的性质求得的取值范围. 【小问1详解】 由图可知，， 所以. 【小问2详解】 ，则， ，则， 所以， 由于， 所以，即， 所以 , 由于，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】已知三角函数值求角，主要是通过三角恒等变换的知识求得角的某个三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值求得所求的角.求解向量数量积运算，可以转化为基底表示，然后利用数量积的运算律来求得正确答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$