精品解析：湖北省崇阳县第一中学2025-2026学年下学期高三数学限时训练（五）

2025-2026学年度下学期高三数学限时训练（五） 一、单选题（每小题5分，共30分） 1. 如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A. 图1的平均数中位数众数 B. 图2的平均数＜众数＜中位数 C. 图2的众数＜中位数＜平均数 D. 图3的平均数＜中位数＜众数 【答案】B 【解析】 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多．如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数．如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边． 题图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，正确; 题图2众数最小，平均数大于中位数，错误，正确; 题图3众数最大，平均数小于中位数， 正确. 故选：. 2. 随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（ ） X 0 1 P a b A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故，故， 故，故. 3. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 5. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本空间法，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】事件表示两次点数的最小值为3，最大值为6，有，共2种情况， 事件包含，共7种情况， 所以. 故选：C 6. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，通过二项式定理展开即可求解. 【详解】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共12分） 7. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 8. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】A项由互斥事件概念可得；B项由概率乘法公式可得；C项由全概率公式求解即可判断；D项由全概率公式求概率，再结合相互独立事件的等价条件判断. 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. 某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，通过求其对立事件的概率即可得到答案 【详解】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 因为小张､小李2人中至少有1人签约的概率是， 所以小张､小李2人均未签约的概率是； 因为小王签约的概率是，所以小王未签约的概率是， 所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 故答案为： 10. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 【答案】3和4 【解析】 【分析】首先根据等差中项求出，再列不等式组，解出即可. 【详解】展开式的通项公式为， 则前3项的系数分别为，，， 由题意可得，即，解得或（舍去），所以， 设展开式中系数最大项为第项， 由，解得，又因为， 所以或，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项. 四、解答题（共15分） 11. 某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. （1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； （2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】（1） （2） X P . 【解析】 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. 【小问2详解】 因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 X P 所以期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高三数学限时训练（五） 一、单选题（每小题5分，共30分） 1. 如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A. 图1的平均数中位数众数 B. 图2的平均数＜众数＜中位数 C. 图2的众数＜中位数＜平均数 D. 图3的平均数＜中位数＜众数 2. 随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（ ） X 0 1 P a b A. 1 B. C. D. 3. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 5. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（ ） A. B. C. D. 6. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 二、多选题（每小题6分，共12分） 7. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 8. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. 某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 10. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 四、解答题（共15分） 11. 某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. （1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； （2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $