专题04平行四边形性质与判定压轴专项训练(11大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04平行四边形性质与判定压轴专项训练 题型一 平行四边形性质与判定综合 题型二 平行四边形坐标系存在性问题 题型三 平行四边形最值问题 题型四 平行四边形折叠问题 题型五 平行四边形旋转综合题 题型六 平行四边形含参数计算题 题型七 平行四边形分类讨论题 题型八 平行四边形勾股定理综合题 题型九 平行四边形平行线计算题 题型十 平行四边形与三角形全等综合 题型十一 平行四边形面积综合计算题 题型一 平行四边形性质与判定综合 标条件推边角对角线等量，选适配判定定理证平行四边形，借全等搭桥转化条件，设未知列等式求解边长角度 【典例】如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】4或6 【分析】设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，，根据平行四边形的性质，可得或，列方程并解方程即可求出t值． 【详解】解：设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：， ∵直线将四边形截出一个平行四边形，， ∴或， ∴ 或 解得或， 即4或后直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 题型二 平行四边形坐标系存在性问题 设未知点坐标，依对角线互相平分/对边平行且相等列方程，按定点定分类标准讨论，求解后验证坐标合理性 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】当时，四边形是平行四边形，由此列方程解决即可． 【详解】解：，在原点，，， ，，． 当时，四边形是平行四边形， ， ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系内，三点的坐标分别是，，以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，以及平行四边形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质和判定． 根据坐标与图形的性质和平行四边形对边平行且相等可以画出草图，然后解答即可． 【详解】解：连接，第四个顶点记为， 如图所示： 当为平行四边形的边时，在第一象限； 当为平行四边形的边，为对角线时，在第四象限； 当为平行四边形的边，为对角线时，在第三象限； 综上所述，第四个顶点不可能在第二象限； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 题型三 平行四边形最值问题 锁定平行四边形不变边/定点，将最值线段转化为易求型，结合垂线段最短、勾股定理或一次/二次函数性质求解 【典例】如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    【答案】/ 【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，以为边作等边三角形，连接，   ，， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） . A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值4． 故选：D． 【跟踪专练2】在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，难度较大，涉及平行四边形性质、平行线性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键． 题型四 平行四边形与折叠问题 抓住折叠前后图形全等，得到对应边、对应角相等，结合平行四边形对边平行、对角相等性质，推导角度、边长关系，列等式求解。 【典例】在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】连接，由折叠的性质可得，，结合，可判定是等边三角形．由于为的中点，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出．结合，可证明是等腰直角三角形，则，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 【跟踪专练2】.如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由等边三角形的性质证出，得出； （2）由折叠的性质得出，，求出，由三角形面积可得出答案； （3）分四种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：若点E在的延长线上，，过点B作于点F， ∴由翻折可得，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，过点B作于点F， 同理可得； 当点E在上时，，延长交于点M， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，延长交于点F， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或或或． 题型五 平行四边形旋转综合 抓旋转性质得等边等角、旋转角相等，结合平行四边形对边平行且相等推边角关系，借全等/相似搭桥，证判定或列等式求边长角度 【典例】如图，在平行四边形中，，点E为射线上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接，若的最小值为3，则______． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，根据旋转的性质证明，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，则当时，，由平行线间距离相等，可得，再在中，求解即可． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，过点作于点， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， 的最小值为3， 当时，， 平行线间距离相等， ， 在中，， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【答案】3 【分析】由平行四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，作，交于点，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，交于点， ， ∴，即当经过点C时，点到的距离为． 【跟踪专练2】如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得，，，由旋转的性质得，，，分别求出，，过点作于点，延长交于点，交于点，得四边形为矩形，分别证明、是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得：， 又， ∴， ∴， 过点作于点，延长交于点，交于点，如图， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【跟踪专练3】在中，，，．点在边上且，将绕点逆时针旋转得到（）． (1)如图1，当时，连接，求． (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点． ①求线段的取值范围； ②当时，求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【分析】（1）如图1，过点作交的延长线于点，根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图2，在线段上截取，连接、，可证得四边形是平行四边形，得出：，，再运用三角形三边关系即可求得答案； ②可证，得出，由，即可推出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作交的延长线于点， ， ，， ， 点在边上且，将绕点逆时针旋转得到， ， ， 又， ； （2）解：①如图2，在线段上截取，连接、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， ， 即， ； ②证明：∵四边形是平行四边形，且，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由①知：， 又∵， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型六 平行四边形含参数计算问题 依平行四边形性质列含参等式，结合边长为正、线段存在性定参数范围，求解后验证参数合理性 【典例】已知平行四边形一组邻边满足，则平行四边形周长为__． 【答案】10 【分析】先根据非负性求出a和b，进而即可求出平行四边形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是平行四边形的一组邻边， ∴平行四边形周长为． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点在边上，、交于点，若，，则为_______． 【答案】 【分析】先由设出、，再结合平行四边形性质得到及，进而判定，求出，根据相似三角形性质及同高三角形面积与底边比例关系确定，，求出、，即可得到，数形结合表示出代值计算即可得到答案． 【详解】解：由，可设、， 在平行四边形中，，且， ， 则， ，， ， ，， 则，， ， 则． 【点睛】本题综合性较强，突破口是从题中已知条件去推理，确定其他三角形的面积，然后想到相似性质中的面积与相似比关系求、同高三角形面积与底边比例关系求是解决问题的关键所在． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)证明见解析 (2)是 (3)是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 题型七 平行四边形分类讨论题 按顶点/边/对角线定分类标准，结合判定定理逐一推证，验证每种情况的合理性，排除矛盾解与不合题意解 【典例】同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止）． (1)3.5秒钟后，与的长度分别是多少？ (2)当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为多少秒． (3)几秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？ 【答案】(1)， (2)当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒 (3)秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形 【分析】（1）根据路程时间速度，计算即可得出结果； （2）设运动时间为秒，由题意可得，，分两种情况：当时，点从点向运动，；当时，点从点向运动，；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）设运动时间为秒，则，，由平行四边形的性质可得，故要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形，则需满足或，分两种情况：当时，点从点向运动，，；当时，点从点向运动，，，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴， ∵点以的速度由向运动， ∴当时，； ∵点以的速度在间往返运动， ∴， ∴点已到达点并折返， ∴； （2）解：设点到边的距离为， 设运动时间为秒， ∵四边形的面积为平行四边形面积的一半， ∴， ∴， 由题意可得：， 当时，点从点向运动，， 此时， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，点从点向运动，， 此时， 解得：； 综上所述，当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒； （3）解：设运动时间为秒，则，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形， ∴需满足或， 当时，点从点向运动，，， 若，则，解得； 若，则，解得，（不符合题意，舍去）； 当时，点从点向运动，，， 若，则，解得：； 若，则，解得； 综上所述，秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形． 题型八 平行四边形与勾股定理综合 连对角线拆四边形为直角三角形，用勾股定理列边长等式，结合四边形性质推边角关系，联立求解验证 【典例】如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 【跟踪专练1】在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用平行四边形面积公式求出高和，再由勾股定理计算出和的长度，最后分别计算两种情况的即可得到结果． 【详解】解：四边形是面积为的平行四边形，，， ，，平行四边形面积， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 分两种情况计算： 情况：当在延长线，在延长线时， ，， ， 情况：当在延长线，在线段上时， ，， ， 综上，的值为或． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 题型九 平行四边形平行线计算题 借平行四边形对边平行得同位/内错/同旁内角关系，结合平行线性质定角度等量，列等式求边长或角度 【典例】如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【答案】9 【分析】如图，连接，证明出，，得到，得到，，证明出四边形，是平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到，然后利用四边形的面积等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形，是平行四边形， 设点E到的距离为，点E到的距离为，与间的距离为h，则， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为______． 【答案】 【分析】通过证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【跟踪专练2】如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，易证，从而，再证，根据“”，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，，再根据平行线的判定，可证，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ； （2）证明：由（1）知，， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型十 平行四边形与三角形全等综合 借平行四边形性质推边角等量，以全等判定证三角形全等，互转结论搭桥，证判定或求边长角度 【典例】如图，在中，，，，过的中点E作于F，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据全等三角形得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】解：延长，，它们相交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过延长交于，构造直角三角形与全等三角形，先证得到，结合勾股定理求出、的长度，再利用直角三角形的性质与勾股定理求出，最终得到的长度，同时逐一判断选项． 【详解】解：延长交于． ∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 题型十一 平行四边形面积综合计算题 抓底高对应求面积，结合性质/全等转底高，遇综合题拆图整合边长高，关联其他图形面积列等式求解 【典例】如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，再根据等底等高得到，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：平行四边形， ，， Q是的中点， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 【跟踪专练1】如图，在中，为上任意一点，，．若面积为，面积为4，则平行四边形面积为______． 【答案】 【分析】过点A作，交于点N，交于点M，设，，，，（m、n、a、b均大于0），则，，，，利用面积之和得到，结合，，求得的值即可解答． 【详解】解：如图，过点A作，交于点N，交于点M， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，点F到的距离为， ∴， 设，，，，（m、n、a、b均大于0）， 则，，，， ∴，整理得， ∵， ∴， 把，代入，得， ∴， 即平行四边形面积为． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)4； (2)24． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质和勾股定理求解即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，即是直角三角形。 ， 即：， ； （2）解：， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平行四边形性质与判定压轴专项训练 题型一 平行四边形性质与判定综合 题型二 平行四边形坐标系存在性问题 题型三 平行四边形最值问题 题型四 平行四边形折叠问题 题型五 平行四边形旋转综合题 题型六 平行四边形含参数计算题 题型七 平行四边形分类讨论题 题型八 平行四边形勾股定理综合题 题型九 平行四边形平行线计算题 题型十 平行四边形与三角形全等综合 题型十一 平行四边形面积综合计算题 题型一 平行四边形性质与判定综合 标条件推边角对角线等量，选适配判定定理证平行四边形，借全等搭桥转化条件，设未知列等式求解边长角度 【典例】如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【跟踪专练2】如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 题型二 平行四边形坐标系存在性问题 设未知点坐标，依对角线互相平分/对边平行且相等列方程，按定点定分类标准讨论，求解后验证坐标合理性 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系内，三点的坐标分别是，，以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 题型三 平行四边形最值问题 锁定平行四边形不变边/定点，将最值线段转化为易求型，结合垂线段最短、勾股定理或一次/二次函数性质求解 【典例】如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    【跟踪专练1】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） . A．2 B． C． D．4 【跟踪专练2】在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 题型四 平行四边形与折叠问题 抓住折叠前后图形全等，得到对应边、对应角相等，结合平行四边形对边平行、对角相等性质，推导角度、边长关系，列等式求解。 【典例】在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【跟踪专练1】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练2】.如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 题型五 平行四边形旋转综合 抓旋转性质得等边等角、旋转角相等，结合平行四边形对边平行且相等推边角关系，借全等/相似搭桥，证判定或列等式求边长角度 【典例】如图，在平行四边形中，，点E为射线上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接，若的最小值为3，则______． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【跟踪专练2】如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在中，，，．点在边上且，将绕点逆时针旋转得到（）． (1)如图1，当时，连接，求． (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点． ①求线段的取值范围； ②当时，求证：． 题型六 平行四边形含参数计算问题 依平行四边形性质列含参等式，结合边长为正、线段存在性定参数范围，求解后验证参数合理性 【典例】已知平行四边形一组邻边满足，则平行四边形周长为__． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点在边上，、交于点，若，，则为_______． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 题型七 平行四边形分类讨论题 按顶点/边/对角线定分类标准，结合判定定理逐一推证，验证每种情况的合理性，排除矛盾解与不合题意解 【典例】同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止）． (1)3.5秒钟后，与的长度分别是多少？ (2)当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为多少秒． (3)几秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？ 题型八 平行四边形与勾股定理综合 连对角线拆四边形为直角三角形，用勾股定理列边长等式，结合四边形性质推边角关系，联立求解验证 【典例】如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【跟踪专练1】在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 题型九 平行四边形平行线计算题 借平行四边形对边平行得同位/内错/同旁内角关系，结合平行线性质定角度等量，列等式求边长或角度 【典例】如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 题型十 平行四边形与三角形全等综合 借平行四边形性质推边角等量，以全等判定证三角形全等，互转结论搭桥，证判定或求边长角度 【典例】如图，在中，，，，过的中点E作于F，则的面积是_____． 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 题型十一 平行四边形面积综合计算题 抓底高对应求面积，结合性质/全等转底高，遇综合题拆图整合边长高，关联其他图形面积列等式求解 【典例】如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，为上任意一点，，．若面积为，面积为4，则平行四边形面积为______． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $