专题04 正方形的性质与判定（8大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题04正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用正方形的性质求角度 1 题型二、利用正方形的性质求线段长 4 题型三、利用正方形的性质求面积 7 题型四、利用正方形的性质求折叠问题 11 题型五、根据正方形的性质证明与求解 15 题型六、根据正方形的性质与判定求解 24 题型七、正方形的性质与判定的综合问题 29 题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 38 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用正方形的性质求角度 1．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，是正方形的对角线上一点，且，连接，则的度数是 ． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图，在正方形的右侧作等边三角形，则的度数是 ． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为 ． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ． 题型二、利用正方形的性质求线段长 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    7．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为 ． 8．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ． 题型三、利用正方形的性质求面积 9．（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为 ． 11．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为 ． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ． 题型四、利用正方形的性质求折叠问题 13．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 15．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知正方形的边长是，点E是边上一点，把沿折叠，若点B的对应点落在正方形的对角线上，则线段的长是 ． 题型五、根据正方形的性质证明与求解 17．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F． (1)证明：； (2)如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 18．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现： （1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图，若与交于点，连接，若，求证：． 迁移运用： （2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值． 20．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 题型六、根据正方形的性质与判定求解 21．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则 ，点的坐标为 ． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 23．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 24．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当为直角三角形时，的长为 ． 题型七、正方形的性质与判定的综合问题 25．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 26．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 28．（2025九年级下·吉林·专题练习）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 29．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 30．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 31．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 32．（2025·河南·模拟预测）如图，在正方形中，为中点． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在上方过点作，使，交的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 5．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均为，重叠部分的小正方形的面积为，则的长为 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在正方形中，E为上一点，连接，以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，连接，过点F作，分别交于点，若，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知：点是正方形的边所在直线上的点，过点作交于点，连接，，若的周长为，则的长为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 12．（2025九年级·江西·专题练习）已知直线上的点，分别是正方形的边，的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中，以线段为较长对角线作菱形； (2)在图2中，将直线绕着点逆时针旋转． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 14．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 16．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用正方形的性质求角度 1 题型二、利用正方形的性质求线段长 4 题型三、利用正方形的性质求面积 7 题型四、利用正方形的性质求折叠问题 11 题型五、根据正方形的性质证明与求解 15 题型六、根据正方形的性质与判定求解 24 题型七、正方形的性质与判定的综合问题 29 题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 38 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用正方形的性质求角度 1．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，是正方形的对角线上一点，且，连接，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在正方形中，则，因为，则，利用三角形内角和定理可求，则的度数可求． 【详解】解：在正方形中， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图，在正方形的右侧作等边三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质，等边三角形的性质，求出，为等腰三角形，与的度数，再利用求出结果即可． 【详解】解：四边形为正方形，为等边三角形， ，，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， 故答案为：． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，则，再根据等腰三角形的性质可得到，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质（对角线平分内角、各角为、各边相等）和等腰三角形的性质和分类讨论思想，熟练掌握正方形的性质和分类讨论思想是解题的关键． 根据题意为等腰三角形的三种可能：，逐一分析，其中时点与重合，不符合“点不与端点、重合”的条件需舍去，通过等腰三角形的性质和角的和差关系，求出即可． 【详解】解：由正方形得：， 当为等腰三角形时，有，分类讨论： ①当时，如图所示： ， ， ， ； ②当时，如图所示： ， ， ， ； ③当时，点与重合， 点不与端点、重合， 当时不合题意，故舍去． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 题型二、利用正方形的性质求线段长 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理． 根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，以为对角线画正方形，延长交于点H，得，可得，，再根据勾股定理即可求出的长 【详解】解：如图，以为对角线画正方形，延长交于点H，    ∴，得矩形， ∴ 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：根据题意，可知：在正方形中，，点E是边的中点， ∴，，． 当时，设， ∴． ，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或2或 ． 故答案为：1或2或 题型三、利用正方形的性质求面积 9．（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，利用含角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到，从而，菱形的面积，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，，由正方形的性质可得，证明△△可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据,，，即可求得答案． 【详解】解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b， ∴， ∴ ， ∵． ∴， 故答案为：． 题型四、利用正方形的性质求折叠问题 13．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠得到，，，进而得到，证明，得到，进而推出判断①，线段的和差关系，等量代换，判断②，设，在中，利用勾股定理求出的长，再根据面积公式，以及等高三角形的面积比等于底边比，判断③和④即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①错误； ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴；故③错误； ∵， ∴；故④正确； 故答案为：②④． 16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知正方形的边长是，点E是边上一点，把沿折叠，若点B的对应点落在正方形的对角线上，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形和折叠，勾股定理，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键，分点B的对应点落在上和点B的对应点落在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， 当点B的对应点落在上时，如图： 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时，此时与点重合，满足题意，如图， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 题型五、根据正方形的性质证明与求解 17．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F． (1)证明：； (2)如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)线段与线段的数量关系是：，理由见解析 【分析】（1）先证出，得，由于，得； （2）先证，得，，由，得到，，而可得，再结合三角形内角和定理可得，为等边三角形，即可得到结论； 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：； 理由如下： 在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 18．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）如图，过作，过作，两条平行线交于点，证明，，可得，可得当三点共线时，最小，过作交于，而，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作，过作，两条平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 过作交于，而， ∴，， 同理可得：四边形是平行四边形， ∴， 结合（1）可得：， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现： （1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图，若与交于点，连接，若，求证：． 迁移运用： （2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①利用翻折和正方形的性质证三角形全等即可求得结果；②利用翻折及平行线的性质找出角及边的等量关系，即可证明全等； （2）延长到点，使，连接，设，分别表示出，则的值可求． 【详解】（1）①解：由翻折可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（）， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵由翻折可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 题型六、根据正方形的性质与判定求解 21．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键． 直接根据点，点即可求出；过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴ 如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 23．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，分三种情况讨论：；；，根据折叠的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴或或， ①当时， ∵， ∴， ∴C、E、B共线， 如图， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， 而，，， 故此种情况不合题意； ③当时， 由折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 题型七、正方形的性质与判定的综合问题 25．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，即；再根据矩形的性质可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论； （2）由矩形的性质以及已知条件可得，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵过点B作于点E．过点D作于点F， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②或 【分析】（1）要证明矩形是正方形，核心是证明矩形的邻边相等．利用正方形的对角线性质，构造辅助线，得到正方形；再通过角的互余关系证明，从而证得全等，推出，矩形即可判定为正方形． （2）①先由正方形边长，得对角线；结合​，可知，即为中点，此时与重合，矩形为正方形，故． ②分两种情况讨论：  当与夹角为时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得； 当与夹角为时，利用矩形和正方形的角性质，得． 【详解】（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形为正方形，． ∵， ∴， ∴． 在和中: ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形， ∴矩形是正方形，． ②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，． ∵， ∴． ∵， ∴； ②如图④，当与的夹角为时， ∵， ∴． 综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或． 28．（2025九年级下·吉林·专题练习）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 29．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所作． 30．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图点为所作中点 （2）解：如图点为所作中点 31．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点P即可； （2）在（1）的基础上，连接交于点H，作直线分别交于点G，点F，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示点P为所求： ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P为边的中点； （2）解：如图所示，正方形为所求： 由（1）知四边形是矩形，是的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴所在直线垂直平分， ∵， ∴所在直线垂直平分，所在直线垂直平分， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是正方形，且边长都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于正方形面积一半． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的关键． 32．（2025·河南·模拟预测）如图，在正方形中，为中点． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在上方过点作，使，交的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图的方法作图即可； （2）连接．由正方形的性质得到，进而，证明得到，求出，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接． 四边形为正方形，， ， ， 在与中， ， ． 为中点， ， ， 在中，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均为，重叠部分的小正方形的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次根式的加减，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 由大正方形和小正方形的面积分别求出正方形的边长，即、的长度，最后根据线段的和差关系求出的长． 【详解】解：两个大正方形的面积均为， ． 小正方形的面积为， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在正方形中，E为上一点，连接，以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，连接，过点F作，分别交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，延长与交于点，由正方形得到，，再证明，即可证明，得到． 【详解】解：延长与交于点， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∵以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为 故答案为：1． 10．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知：点是正方形的边所在直线上的点，过点作交于点，连接，，若的周长为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分为如图，当在上时，由勾股定理得，所以，则或（舍去），然后通过正方形性质和勾股定理即可求解；如图，当在延长上时，由勾股定理得，所以，则（舍去）或，然后通过正方形性质和勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当在上时， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 如图，当在延长线上时， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 12．（2025九年级·江西·专题练习）已知直线上的点，分别是正方形的边，的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中，以线段为较长对角线作菱形； (2)在图2中，将直线绕着点逆时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了限定工具作图—无刻度直尺作图，掌握正方形的性质，菱形的判定是解题的关键． （1）连接，交于点，连接，交于点，则四边形为菱形； （2）连接，交于点，连接，交于点，连接交于点，则为所求． 【详解】（1）解：如图1，菱形即为所求． （2）解：如图2，直线即为所求．(作法不唯一) 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 14．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 16．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 【答案】（1）①证明见解析；②；；（2），证明见解析；（3）需要篱笆 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据证明即可；②根据，得出，根据，求出结果即可，根据，得出，根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交与点，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点，连接，过点作于点，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，如下图所示： ∵为矩形中心， ∴， 延长交与点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴； （3）取的中点，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， 解得，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园需要篱笆． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $