10.3乘法公式题型突破 （九大题型） 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

10.3乘法公式题型突破2025-2026学年青岛版 七年级下册（九大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 题型二：运用平方差公式进行运算 1.在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 【答案】A． 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 4.计算：（1）（2x+3y）（2x﹣3y）．（2）（）（）． 5．利用平方差公式计算： （1）（a+2）（a﹣2）（a2+4）； （2）（5x+6y）（5x﹣6y）﹣（6x+5y）（6x﹣5y）． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 3． ． 4．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2；（2）（y）2． 5．计算：（x﹣y+1）2． 6.运用乘法公式计算：（a﹣2b﹣1）（a+2b﹣1）． 题型四：运用完全平方式求值 1．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 2．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如果，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 4．若多项式是完全平方式，则的值为 ． 5.请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1．简便计算：． 2．用完全平方公式进行计算： （1）9.92；（2）2022；（3）（29）2 3.利用乘法公式进行计算： （1）992；（2）20242﹣2023×2025． 4．简便计算：． 题型六：乘法公式面积验证 1.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 2.如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 3.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 4．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 5.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 2.已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值． 3.先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 4．（1）如果，求代数式的值． （2）化简求值：，其中． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3.已知，则__________． 4.已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 　 ． 5．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 3.有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．13 B．19 C．11 D．21 4．如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少？并求出当，时的绿化面积． 5．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 6．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】 10.3乘法公式题型突破2025-2026学年青岛版 七年级下册（九大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 4.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 【答案】B． 题型二：运用平方差公式进行运算 1.在等式（﹣a﹣b）（　　）＝a2﹣b2中，括号里应填的多项式是（　　） A．﹣a+b B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b 【答案】A． 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 3．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 【答案】D 4.计算：（1）（2x+3y）（2x﹣3y）．（2）（）（）． 【答案】解：（1）（2x+3y）（2x﹣3y）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2． （2）（）（） ＝（﹣3y）2﹣（x）2 ＝9y2x2． 5．利用平方差公式计算： （1）（a+2）（a﹣2）（a2+4）； （2）（5x+6y）（5x﹣6y）﹣（6x+5y）（6x﹣5y）． 【答案】解：（1）（a+2）（a﹣2）（a2+4） ＝（a2﹣4）（a2+4） ＝a4﹣16； （2）（5x+6y）（5x﹣6y）﹣（6x+5y）（6x﹣5y） ＝25x2﹣36y2﹣36x2+25y2 ＝﹣11x2﹣11y2． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 【答案】A． 3． ． 【答案】 4．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2；（2）（y）2． 【答案】解（1）（4m+n）2 ＝（4m）2+2×4m•n+n2 ＝16m2+8mn+n2． （2）（y）2 ＝y2﹣2•y•（）2 ＝y2﹣y． 5．计算：（x﹣y+1）2． 【答案】解：（x﹣y+1）2 ＝[（x﹣y）+1]2 ＝（x﹣y）2+2（x﹣y）+1 ＝x2﹣2xy+y2+2x﹣2y+1． 6.运用乘法公式计算：（a﹣2b﹣1）（a+2b﹣1）． 【答案】解：原式＝[（a﹣1）﹣2b][（a﹣1）+2b] ＝（a﹣1）2﹣（2b）2 ＝（a﹣1）2﹣4b2 ＝a2﹣2a+1﹣4b2． 题型四：运用完全平方式求值 1．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 【答案】A 2．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.如果，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 【答案】D． 4．若多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】8或/或8 5.请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【答案】或 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1．简便计算：． 【答案】解：原式 ． 2．用完全平方公式进行计算： （1）9.92；（2）2022；（3）（29）2 【答案】解：（1）原式＝（10﹣0.1）2＝100﹣2+0.12＝98.01． （2）原式＝（200+2）2＝2002+2×200×2+22＝40000+800+4＝40804． （3）原式＝（30）2＝302﹣2×30900﹣30870.25． 3.利用乘法公式进行计算： （1）992；（2）20242﹣2023×2025． 【答案】解：（1）原式＝（100﹣1）2 ＝1002﹣2×100×1+12 ＝10000﹣200+1 ＝9801 （2）原式＝20242﹣（2024+1）（2024﹣1） ＝20242﹣（20242﹣12） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 4．简便计算：． 【答案】解：原式＝（22+18）2+（20）×（20） ＝402+202 ＝1600+400 ＝1999． 题型六：乘法公式面积验证 1.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2.如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 【答案】A． 3.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 【答案】B． 4．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】B 2.已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值． 【答案】解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10， ∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2 ＝[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）] ＝（4m+n）（3n﹣2m） ＝﹣900． 3.先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 【答案】解：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x） ＝x2﹣6x+9+x2﹣16+4x﹣2x2 ＝﹣2x﹣7， 当时， 原式． 4．（1）如果，求代数式的值． （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）2023；（2），37 【详解】解：（1）原式 ∵， ∴原式． （2）原式 ； 将其中代入 原式． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 2．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 3.已知，则__________． 【答案】2． 4.已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 　 ． 【答案】53． 5．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 2．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．13 B．19 C．11 D．21 【答案】B． 4．如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少？并求出当，时的绿化面积． 【答案】， 【详解】解：． 当，时，． 则绿化的面积是多少，当，时的绿化面积为． 5．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）12；（2）；【拓展】 【详解】解：探究：图①中的阴影面积为；图②的面积为； 这两个面积相等，所以， 故答案为：． 应用：①根据探究的公式可得，； 因为，， 所以 故答案为：12； ②原式． 拓展：原式 ． 6．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 学科网（北京）股份有限公司 $