10.3乘法公式（7大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

10.3乘法公式 题型一 用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则等于 ． 题型二 用平方差公式探究等式的规律 1．计算： ． 2． ． 3．观察：；，那么， ． 4．的个位数是 ． 5．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 6．观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 7．（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 题型三 平方差公式与几何图形 1．实践与探索 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为： ________________（用含字母a，b的式子表示） 【应用】请应用这个公式完成下面的问题 （2）计算： （3）计算： 2．如图①是一个长为2a；宽为2b的长方形纸片，其长方形的面积显然为4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成4个小长方形然后拼成如图②所示的“回”形正方形． (1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积，会发现个等量关系是什么呢； (2)知识迁移：设，，化简：； (3)知识延伸：若，求出代数式的值． 3．【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 4．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 题型四 利用完全平方公式运算 1．下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（） A． B． C． D． 2．要使成为形如的完全平方式，则，的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 3． ． 4．若，则的值是 ． 题型五、通过对完全平方公式变形求值 1．已知，，则的值等于 ． 2．已知，，则的值为 ． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．已知a，b满足，求下列代数式的值： (1)； (2)． 5．已知，求的值． 题型六 完全平方公式在几何图形的应用 1．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，，的边长之和为 ． 3．阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 4．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 5．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为______； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当时，代数式的值． 题型七 求完全平方公式中字母的值 1．若，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知是完全平方式，则m的值是 ． 3．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 4．如果是一个完全平方式，那么 ． 1．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 2．定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数、并说明理由． 3．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 4．配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 5．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示n． 6．（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 7．学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第三次操作：， 第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为， ．．．以此类推， 每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法： （1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数； （2）当，时，； （3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数； （4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3乘法公式 题型一 用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的特征：两数和与这两数差相乘可使用平方差公式，形如，即可得出答案． 【详解】解：A．，能用平方差公式，故本选项符合题意； B．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的结构，再进行求解即可． 【详解】解；A、，不能用平方差公式计算，符合题意； B、，可以用平方差公式计算，不符合题意； C、，可以用平方差公式计算，不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 4．已知，则等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，求代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 题型二 用平方差公式探究等式的规律 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式乘法的平方差公式，掌握利用平方差公式进行计算是解题的关键．逐一利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 2． ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，同底数幂的乘法，熟悉运算法则是解题关键．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： = = = = = = = =． 故答案为： 3．观察：；，那么， ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式的使用，本题的关键是在代数式中添加一项，然后再连续使用平方差公式求解．在代数式中添加一项，然后利用平方差公式连续逐个计算即可． 【详解】解：由题意可知： ， 故答案为：． 4．的个位数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：原式 … ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故答案为：6． 5．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 6．观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 7．（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的； （2）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 平方差公式与几何图形 1．实践与探索 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为： ________________（用含字母a，b的式子表示） 【应用】请应用这个公式完成下面的问题 （2）计算： （3）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）17 【分析】本题考查了整式的运算，平方差公式，逆用积的乘方运算公式计算，理解题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个图形中阴影部分面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用平方差公式，逆用积的乘方运算公式，计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； （2） ； （3） ． 2．如图①是一个长为2a；宽为2b的长方形纸片，其长方形的面积显然为4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成4个小长方形然后拼成如图②所示的“回”形正方形． (1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积，会发现个等量关系是什么呢； (2)知识迁移：设，，化简：； (3)知识延伸：若，求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)2.5 【分析】本题考查完全平方公式的应用以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握公式并灵活运用不同方法表示图形面积或对代数式进行变形。 （1）通过分别用大正方形面积减去四个小长方形面积和直接计算阴影部分正方形面积来找出等量关系； （2）利用平方差公式对式子进行化简； （3）通过完全平方公式变形来求解。 【详解】（1）解：第一种方法为：大正方形面积4个小长方形面积，即； 第二种表示方法为：阴影部分为正方形的面积，即， 因此； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解： ， ， ， ． 3．【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了平方差公式，根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两个图中阴影部分的面积相等得， 即可以得到乘法公式； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴； （3） ． 4．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解： ； （3）解： ． 题型四 利用完全平方公式运算 1．下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平方差公式，及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．可以利用平方差公式计算，故不符合题意； B．可以利用平方差公式计算，故不符合题意； C．可以利用多项式乘以多项式法则计算，故不符合题意； D．可以利用完全平方公式计算，故符合题意； 故选：D． 2．要使成为形如的完全平方式，则，的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据，进行作答即可． 【详解】解：， ∵使成为形如的完全平方式， 即 ∴． 故选：B 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 4．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 题型五、通过对完全平方公式变形求值 1．已知，，则的值等于 ． 【答案】/0.46 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知，，则的值为 ． 【答案】218 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式变形可得，，两式相加并整理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①+②得：， ∴． 故答案为：218． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8.5 (2)24 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，考查整体代入思想，把多项式进行适当变形是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，即可解答； （2）根据完全平方公式，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 。 4．已知a，b满足，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形． （1）根据题意利用即可得到本题答案； （2）根据题意利用即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的逆用和平方的非负性，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据完全平方公式的逆用和平方的非负性解答即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ，． 题型六 完全平方公式在几何图形的应用 1．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 2．有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，，的边长之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，即，再利用完全平方公式计算得出，即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分是边长为的正方形的面积与正方形、正方形的面积差，即，即， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴正方形，，的边长之和为， 故答案为：． 3．阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)120 (2)1011 (3)2225 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为2225． 4．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)134 (4)，理由见解析； 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解即可； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）根据割补法表示面积，然后整体代入求解； （4））设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：由图可知，，， 阴影部分面积为：或； ∴可得到等式为： 故答案为：； （2）用卡片A，B，C拼成的一个长方形，边长分别为和，如图所示∶ （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 边长为：， ， ， ， ， ， 大正方形面积为 134． （4）解：，理由如下： 设，由图可知， ， ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 5．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为______； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析． （1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为， 也可表示为四个长方形的面积，，，的和， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形， 用不同的方法表示这个大正方形的面积， 得到的等式为； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴； （3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体， 整体上大正方形的体积为， 组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为， ∴得到的等式为； ∵，， ． 题型七 求完全平方公式中字母的值 1．若，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故选：C． 2．已知是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意得到，得到． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 3．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的形式可得，即可求出k的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 故答案为：6或． 4．如果是一个完全平方式，那么 ． 【答案】7或 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 根据完全平方公式的形式可得，求答案即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或. 故答案为：7或． 1．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数、并说明理由． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）根据定义化简计算，可得a，b，c之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：； 理由：假设a，b，c是完美数， 则结果为常数， 原式 ， ∵结果为常数， ∴． 3．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 4．配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3 【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴10，45，都是“雅美数”， 故答案为：2； （2）∵， ∴，， ∴ 故答案为：9； （3）∵ ； ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 5．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示n． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则得到，进而得到，再根据题意求解即可； （2）逆用同底数幂乘法的运算法则得到，进而得到，再根据题意求解即可； （3）由得到，再整体代入到，利用完全平方公式化简即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：， 的值为6． （2）解：，， ， ， ， 解得：， 的值为3． （3）解：， ， ， ． 6．（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得 ，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【详解】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 7．学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第三次操作：， 第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为， ．．．以此类推， 每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法： （1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数； （2）当，时，； （3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数； （4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据阅读材料，利用平方差公式进行计算，然后对进行分析，从而判断出结果，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】 ， ， ， ∵， ∴ ， ∴，，， ，，， ， ∴，，， 若为偶数，是的倍数， 则为正整数时，都是的倍数， ∴①正确； 当，时，， ∴正确； ∵， ∴ ， ∴当操作次数为的倍数时，其结果是偶数， ∵是的倍数， ∴必然是一个偶数， ∵，是一个奇数， ∴必然也是一个奇数， ∴正确； 若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为， 由上可知必为偶数，，必为奇数， 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为奇数， 则，，三个数中有两个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； ∴错误； 以上说法中正确的个， 故选：C． 8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701 【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可求解； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 【详解】解：（1）A、， B、， C、， D、， 是智慧数的是C． 故答案为：C； （2）一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二； （3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即． 因为和这两个数的奇偶性相同， 所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数， 而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数， 可见等式左、右两边不相等， 所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． （4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$