专题5.4 导数的综合应用（5大高频考点）-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

专题5.4 导数的综合应用 高中数学导学案 专题5.4 导数的综合应用 考点预览 一、必备知识 1.导数与函数的极值、最值 （1）函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （2）函数的最值： 在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2.单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 3.双变量不等式与等式 一般地，已知函数， （1）不等关系： 若，，总有成立，故； 若，，有成立，故； 若，，有成立，故； 若，，有成立，故． （2）相等关系： 记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有； 若，，有成立，则有； 若，，有成立，故； （3）一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： ，；， ，；， 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数解决不等式恒成立问题 【经典例题】 1．(22-23高二下·山西朔州怀仁第一中学·期中)已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山西省朔州市怀仁市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【详解】因为，则，其中，令，解得，令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，，因为在上恒成立，所以，，解得.故选：B. 2．(25-26高二·江苏南京金陵中学·)已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【来源】江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期高二年级阶段性检测数学试题 【详解】由题意知对任意恒成立，所以对任意恒成立.记，则，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，故当时，在时取得极大值，也即最大值.所以，故a的最小值为. 3．(25-26高二下·重庆育才中学校·)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市育才中学校2025-2026学年高二下学期四月检测数学试题 【详解】由题可得，则由，可得，即，则，即有，令，则有恒成立，由单调递增，故，则，令，则，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，故，即，即， 即实数的取值范围是. 4．设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【来源】辽宁省重点高中2025届高考扣题卷（一）数学试题 【详解】当时，，不满足恒成立；当时，令，可得或，函数的零点为和，因为恒成立，所以，所以，令，则，令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，则，所以的最小值为1.故选：D 【变式训练】 1．(25-26高二下·四川射洪中学校·)若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省射洪中学校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得，则实数的取值范围为. 2．(25-26高二下·河南鹤壁高中·)若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为_________． 【答案】 【来源】河南鹤壁市高中2025-2026学年高二下学期尖子生特训数学试卷（一） 【详解】当时，不等式为，即，对任意的恒成立，故不影响的取值范围. 当时，不等式恒成立等价于. 令，，令，得， 在上单调递减，在上单调递增，，即； 当时，不等式恒成立等价于. 令，此时在上单调递减， 当时，，当，故值域为，故需； 综上，，的最大值为. 3．(25-26高二上·江苏南京某校·期末)已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏南京市某校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷 【详解】当时，不等式恒成立，可变形为, 设,那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即,设,那么,令,得 , 令,得 ,令,得 ,所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 4．若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【来源】云南民族大学附属高级中学2026年届高三高考考前适应性训练数学试题 【详解】由题知，恒成立，即，即对于恒成立，令，则，而在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即得，即，所以对于恒成立，令，则，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，又.所以实数的取值范围是. 5．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，∴在上单调递增，∴，∴，，∴，又在上恒成立，∴需要在上为增函数，即对，恒成立，即在上恒成立； 令，，则，当时，，在上单调递减，故，∴，解得或．故选：D. 6．(25-26高二下·重庆第一中学校·月考)已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 【详解】由恒成立，则恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，由在上单调递增，故，则恒成立，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，则，即实数a的取值范围为. 7．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 【答案】B 【来源】广东深圳中学2026届高三下学期二轮阶段考试（一）数学试题 【详解】函数的定义域为R，求导得，则，解得，于是，又，则，，不等式，令，依题意，恒成立，，当时，，函数在R上单调递增，而时，，不恒成立；当时，恒成立，则，；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此的最大值是，此时，而，故的最大值是. 【巩固练习】 1．(25-26高二下·河北唐山开滦第二中学·月考)已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【来源】河北唐山市开滦第二中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 【详解】若在上恒成立，即在上恒成立，令，故只需即可，，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是． 2．(25-26高二下·上海奉贤中学·月考)经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【来源】上海市奉贤中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷 【详解】由题，因为图象的对称中心点为，所以，所以，由得，原不等式，又，所以，所以原不等式，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，即实数的取值范围是. 3．(24-25高二下·甘肃白银普通高中改革与发展共同体·期中)（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】AB 【来源】甘肃省白银市普通高中改革与发展共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】由可得，进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数，由可得，因此，即在恒成立。因此，故AB均符合，CD不符合，故选：AB 4．(24-25高二·江苏苏州中学·)若函数，且，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏苏州中学2024-2025学年高二第二学期质量评估数学试卷 【详解】的定义域为，由可得，即； 因为，所以，即，构造函数，则，可知函数在上单调递增，因此，即，所以， 令，则，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，因此在处取得极小值，也是最小值，；即可得，解得，所以正实数的取值范围是. 5．若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【来源】云南民族大学附属高级中学2026年届高三高考考前适应性训练数学试题 【详解】由题知，恒成立，即，即对于恒成立，令，则， 而在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则，所以当时，； 当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，又.所以实数的取值范围是. 6．(25-26高二下·广东珠海第一中学·)已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东珠海市第一中学2025-2026学年高二下学期第一阶段考试数学试题 【详解】当时，由得：，令，则在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，即，实数的取值范围为. 7．(25-26高三下·福建三明第一中学·月考)已知不等式（，且）对任意正实数恒成立，则的最大值为___________． 【答案】 【来源】福建省三明第一中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷 【详解】原不等式等价于．若，令，当，，即必有一部分位于直线的上方，与原不等式恒成立相矛盾，所以，所以上述不等式等价于，设函数，直线．要想恒成立， 需满足在函数上方或在上且与相切于此点，由于不等式对任意恒成立，所以取时不等式也成立，可得，即， 当且仅当直线与曲线在点处相切时，取到最大值，即直线与相切于点，又的斜率为，故，解得，此时， 所以的最大值为． 【经典例题】地 城 考点02 利用导数解决不等式能成立（有解）问题 1．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【来源】江西省九江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】由，得，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数t的最小值是，故选：A 2．(25-26高二下·河北邢台卓越联盟·月考)记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，，即， 所以当时，有解，即有解，所以，故的取值范围为． 3．(25-26高二下·重庆璧山中学校·月考)若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市璧山中学校2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题 【详解】先移项，因为，所以，构造函数令，，所以在定义域内单调递增，所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应，所以，令，，令，当，，在区间内单调递减，当，，在区间内单调递增，最后求端点值确定函数值域，，，，因为，所以，条件为有解，即函数与有交点，所以.故选：B. 4．(20-21高二·江西抚州南城一中·月考)已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省抚州市南城一中2020--2021学年高二4月月考数学（理）试题 【详解】由可得，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，，，所以在上的值域为，记，的对称轴为，，，且在上单调递减，所以， 记，若对任意的，存在唯一的，使得，则，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：B. 5．函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【来源】山东省实验中学（中心校区）2026届高三下学期4月阶段性测试数学试题 【详解】对任意，存在使得，等价于 ，， 令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，因此最小值为： ，， ，当且仅当等号成立， ，故 ，因为，所以，即， ，因此正数的最小值为. 6．(25-26高二下·河南信阳罗山县高级中学·)已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【来源】河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期质量评估（一）数学试题 【详解】，则当时，，即在上单调递增， 则；由，使得成立，则在上有解，即在上有解，令，，则，令，，则，故在上单调递减，则，故在上单调递减，则，即实数a的取值范围是. 【变式训练】 1．(25-26高二下·湖北恩施土家族苗族高级中学·)存在使不等式成立，则的最小整数解为____. 【答案】4 【来源】湖北恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高二下学期4月第一次独立作业数学试卷 【详解】当时，不等式，依题意，存在使不等式成立，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递增，又，则存在，使得，即，当时，；当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，于是，所以的最小整数解为. 2．(24-25高二·天津第二十一中学·)已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【来源】天津市第二十一中学2024-2025学年第二学期高二年级5月数学练习 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，，当时，，单调递增，由，可得的值域为.因为若对，总，使成立，所以，即，解得，故实数a的取值范围为. 3．(25-26高三上·贵州新高考协作体·)已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州省新高考协作体2025-2026学年高三上学期第一次联考数学试卷 【详解】易知，令得，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以时，单调递增，即，而时，， 由题意可知，所以，即.故选：A 4．(25-26高二下·山东淄博实验中学、淄博齐盛高级中学·)设，函数，，若对任意的，存在使得成立，则实数的最小值是__________． 【答案】 【来源】山东淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2025-2026学年高二下学期4月教学诊断训练数学试题 【详解】依题意，对任意的，存在都有成立，则需. 对于函数，，则.令，则，故，，单调递减；，，单调递增；故. 对于函数，，则，因为，，所以， 故在单调递增，故.因此.又，所以. 故实数的最小值为. 5．(24-25高二下·天津武清区天和城实验中学·)已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【来源】天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高二下学期第一次形成性练习数学试题 【详解】依题意，，由，得，所以在是单调递减； 由，得，所以在是单调递增；所以当时，取得极小值，即最小值；因为函数在上单调递减，所以；因为存在，，使得成立，所以原命题等价于存在，，即存在，，又，所以.故答案为：. 【巩固练习】 1．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式在上有解，则在上有解,即，令,则，设，则，所以在上单调递增，则，所以，则，令，解得：，令，解得：，则在上单调递增，令，解得：，则在上单调递减，所以， 则，故选：C 2．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即，即.设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以. 故选：C. 3．(25-26高三上·安徽黄山屯溪第一中学·月考)已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解.由 设函数（），则不等式可化为（*）.易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于.又，所以有解，只需即可.设（），则.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以，又，所以.故选：B 4．若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】任意的，都有，则有在上恒成立，令，函数定义域为，，令，解得，时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，，因此存在，使，令，，令，解得，时，在上单调递增；时，在上单调递减，有，所以时，的最大值为.故选：C 5．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解，只需， ，，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，所以，实数的取值范围为. 故答案为： 6．(25-26高二上·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【来源】黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题 【详解】对，使得等价于：当时，， 因为在上单调递增，所以，而，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，由，得，所以实数的取值范围为.故答案为： 7．(25-26高三上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【来源】上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高三上学期期中质量调研数学试卷 【详解】对，都，使得不等式成立，等价于,当时，，所以，当时，，所以，所以恒成立，当且仅当时，，所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立，当时，恒成立，即恒成立.记,因为恒成立，所以在上单调递增，且，所以恒成立，即，所以，所以的最大值为.故答案为：. 【经典例题】地 城 考点03 利用导数研究函数零点个数问题 1．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题 【详解】函数，，当单调递减；当单调递增；， ，所以；； 所以函数的零点个数为2.故选：C. 2．若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【来源】宁夏银川市唐徕中学2025届高三三模数学试题 【详解】令，则，所以，解得，解得或，当时，，求导得，令，则，解得，若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，在上单调递增，且，所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个.故选：D. 3．(24-25高三·海南部分中学·模拟)记函数的零点分别为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】海南省部分中学2024-2025学年高三全真模拟（七）数学试题 【详解】由题可得，注意到， 则，又注意到在R上单调递增， 则.故选：A 【变式训练】 1．函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【来源】2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学试卷 【详解】函数的定义域为，求导得，函数在上单调递减，而，所以函数有唯一零点，即零点个数为1.故选：C 2．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】天津市河北区2025年普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题 【详解】由题设且定义域为，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，当或时，故在定义域上有2个零点.故选：C 3．(24-25高二下·河南部分重点高中·调研)函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】河南省部分重点高中2024-2025学年高二下学期5月调研数学试题 【详解】函数的定义域为R，求导， 由，得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数的极大值，极小值，而，因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点，所以所求零点个数为3.故选：C 4．关于函数，下列选项正确的是（    ） A．函数没有零点 B．函数只有1个零点 C．函数至少有1个零点 D．函数有2个零点 【答案】B 【来源】广西壮族自治区河池市2025届高三二模数学试题 【详解】因为， 且，所以当时， 故函数在定义域上单调递减，所以至多有一个零点，故C､D错误 令则 知时 且知时 时且 所以函数只有1个零点.故选： 5．(25-26高三上·四川泸州高级中学校·开学考)设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或5 【答案】B 【详解】的定义域为，由，得， 由，得，由，得或，所以在上递增，在和上递减，所以的极大值为，极小值为，当时，，则的大致图象如图所示，令，则，因为，所以方程有两个不相等的实根，设方程的两个实根为，则， 所以与异号，不妨设，则，，当时，，所以， 所以，所以由图可知，的图象与无交点，的图象与有3 个不同的交点，所以原方程有3个不同的根，当时，，所以，所以。所以由图可知，的图象与有2个不同的交点，的图象与有1 个交点，所以原方程有3个不同的根，当时，，则由图可知，的图象与有1个的交点，的图象与有2个不同的交点，所以原方程有3个不同的根，综上，原方程有3个不同的根.故选：B 【巩固练习】 1．(25-26高二下·河北唐山第二中学·月考)函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】河北唐山市第二中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 【详解】因为函数，求导得， 当或时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 由此可知函数的极大值为，极小值为，并且当时，， 因此函数的零点个数为个，故B正确. 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】安徽省天一大联考2025届高三最后一卷数学试题 【详解】,当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以当时，，无零点；而，，且函数在上单调递增，故有一个零点.故选：B 3．(25-26高三上·北京第一零一中学·)设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【来源】北京市第一零一中学2025-2026学年高三上学期统练一数学试题 【详解】的定义域为，求导得，当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，故时，函数取得极大值为，又，，， 即在区间上恒有，又由零点存在定理，使得，即函数在区间内无零点，在区间内有零点.故选：C. 4．(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·期中)设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】的定义域为，由，得， 由，得，由，得或，所以在上递增，在和上递减，所以的极大值为，极小值为，当时，，则的大致图象如图所示， 令，则，所以方程有两个不相等的实根，，，所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点，所以原方程有3个不同的根.故选：B 【经典例题】地 城 考点04 已知函数零点个数求参数范围 1．(24-25高二下·云南临沧中学·期中)若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南省临沧地区中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 【详解】由题意得，令，则，令，因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增，所以由，得，即，令，，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，当时，，所以，解得，即的取值范围为,故选：A. 2．(24-25高二下·广西百色·期末)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 . 【答案】1 【来源】广西壮族自治区百色市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量调研测试数学试题 【详解】，，①当时，在上恒成立， ∴函数在上单调递增，且，∴在上没有零点，舍去； ②当时，的解为，∴在上单调递减，在单调递增. 又∵只有一个零点，且,∴，解得，∴，，，令，解得或；令，解得，∴在和上单调递增，在上单调递减.又，，，，∴，，∴在上的最大值与最小值的和为：. 3．(24-25高二下·广西贵港桂平·期中)若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】广西贵港市桂平市2024-2025学年高二下学期期中数学试题 【详解】令，得．设，则．当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减；所以． 当时，，当时，，又，所以的取值范围是．故答案为： 4．(25-26高二·福建福州高级中学·)若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【来源】福建省福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练 【详解】当时，则，，所以在上单调递增，且，，在内存在唯一零点；因为函数在其定义域内恰有三个零点，所以当时，有两个零点，，令，则或（舍去），在上单调递减，在上单调递增，又当，时，，且，当时，，所以当时，有两个零点时，需满足，解得. 5．已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁大连市第二十四中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷 【详解】易知，当时，，所以是的一个零点.所以时，有3个零点，即有3个根，即和的图象有3个交点．设，，则和的图象有3个交点．当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去．函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象，当，若与的图象相切，，设切点，则，解得．和的图象有3个交点，则．当，时满足题意，解得，综上所述，． 6．已知函数其中为自然对数的底数，若函数的3个零点分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州省贵阳市七校2026届高三上学期联考（三）数学试题 【详解】因为，所以，令得，所以函数在上递增，在上递增，在上递减，当，则，当，则，当，则，又，当，则，且，则图象大致如下： 若函数的3个零点分别为，则方程的3个根分别为，如图，由题意知，且，接下来我们需要证明：， 因为，只需证：，即证：，即，由， 可得：，则，令，即，令，则，又，所以，所以，故.故选：A． 【变式训练】 1．(25-26高二·江苏锡山高级中学·期末)已知函数在上存在零点，则的取值范围为____________. 【答案】 【来源】江苏省锡山高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷 【详解】，令 ， ，令，， 所以 在 上单调递增，端点值：，，当 时：由 在 上单调递增，得，又 ，故 在 上恒成立，从而 ， 在上单调递增，又 ，所以 对恒成立，在上无零点； 当 时：由 在 上单调递增，得，又 ，故 恒成立， 从而 对恒成立， 在上单调递减，又，所以对恒成立，在上无零点； 当时：由，，则存在唯一的使，即，在上，递减，； 在上，递增，；故在 上单调递减，又因，可知在上恒为负，故，要使在上存在零点，只需：，解得：， 综上：.故答案为： 2．(24-25高二下·云南宣威部分学校·)若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】云南省宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷 【详解】令，因为，所以，令，所以，因为存在唯一的满足：，所以，当时，；当时，，所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点，因为，所以当且仅当时， 直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点，所以或，所以或.结合选项，只有D符合题意，故选：D. 3．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·)若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题 【详解】， 令， 当时，单调递增，当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示：因为函数在区间内有两个零点，所以直线与函数有两个不同的交点，所以，所以实数的取值范围是. 4．(25-26高三上·辽宁多校调研·调研)已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【来源】辽宁省多校调研2025-2026学年高三上学期2月联考（一）数学试题（B卷） 【详解】原不等式等价于，设，，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取极大值1，又，且时，，在同一坐标系内作出与的图象，如图：直线恒过点，当时，显然不满足条件；当时，若0，1是原不等式的解，只需要满足，解得， 的取值范围为；当的切线过点时，设切点为，则切线方程为，该直线过点，，解得，若是原不等式的解，则，解得，所以k的取值范围为. 故答案为： 5．(25-26高二下·广东佛山第一中学·)已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（    ） A．0或4 B．3或4 C．0或2 D．2或3 【答案】A 【来源】广东佛山市第一中学2025-2026学年高二年级下学期第一次质量检测数学试题 【详解】解：，所以当时，或2，则的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 + 极大值 极小值 则函数的极大值为，极小值为，函数图象与轴恰有两个公共点时， 或，解得或． 6．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三第一次模拟考试数学试题 【详解】方程，令函数，而，则函数在R上单调递增，又方程等价于，因此，令函数，依题意，方程有两个不同实根，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，又，当时，恒有，则当且仅当时，方程有两个不同实根，所以实数a的取值范围为. 7．(24-25高二下·江苏无锡运河实验中学·月考)函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省无锡市运河实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 【详解】因为，易知，所以0不是零点，令，即，得到，令，，则，易知恒成立，由，得到，当时，，时，，时，，所以在单调递增，单调递减，单调递增，又易知，当，且时，，时，，当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有三个交点，所以，故选：A. 8．(24-25高二下·广东领航高中联盟·)过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省领航高中联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试（5月）数学试题 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得，设，由题意可知有3个零点，，显然，由，得或，因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，所以，所以，或.故选：A. 9．(25-26高二·福建福州高级中学·)若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【来源】福建省福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练 【详解】当时，则，，所以在上单调递增，且，，在内存在唯一零点；因为函数在其定义域内恰有三个零点，所以当时，有两个零点，，令，则或（舍去），在上单调递减，在上单调递增，又当，时，，且，当时，，所以当时，有两个零点时，需满足，解得. 10．(24-25高二·江苏常州六校教研联合体·调研)已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏常州市六校教研联合体2024-2025学年高二第二学期阶段调研数学试题 【详解】当时，可以看作函数向上平移个单位，当时，，则，因为当，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，作出函数图象如下图，令，则过定点，由图易知，当时，图象与图象有4个交点，时，，当图象与图象相切时，设切点为，此时，将代入解得，即此时，则的取值范围为，故C正确． 11．(25-26高二·江苏苏州·)已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则方程可化为，即， 解得或，即或.已知，求导得 ，当时，，单调递增，当时，；当时，.对任意，在总有1个根；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得极大值也是在的最大值，因此在的最小值为，且时，，时，，所以当时，在上无根； 当时，在上有且仅有1个根；当时，在上有2个根.综上，当时，有1个根，当时，有2个根；当时，有3个根.所以当时，，有且仅有1个根，有且仅有1个根，共有2个不同的实根，不合题意；当时，，有且仅有1个根，有2个根，共有3个不同的实根，不合题意；当时，，有且仅有1个根，有3个根，共有4个不同的实根，符合题意；当时，，有2个根，有3个根，共有5个不同的实根，不合题意；当时，，有3个根，有3个根，共有6个不同的实根，不合题意.综上，实数的取值范围为. 12．(24-25高三下·江苏扬州高邮·调研)已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期期初学情调研测试数学试题 【详解】由题意，可知：当时，，故为的1个零点；故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根，即有4个非0实数根，即与图象有4个交点，当时，，当时，则，令得，所以当时，当时，则函数在单调递增，在上单调递减，又，时，时，且时，时，，所以图象如图所示， 由图可得，解得.故选：D. 【巩固练习】 1．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根， 令，则，令得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以；为使关于x的方程有实根，只需，所以，故选:C． 法二：由于，故令，即有解，等价于有解，令，，所以当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，故.故选：C． 2．(25-26高二上·安徽马鞍山第二中学·期末)已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且当时，；当时，，画出函数与的图像，如图所示，结合图像，可得，所以实数的取值范围为.故选：C.   3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州省遵义市第四中学2026届高三下学期入学质量监测数学试题 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数，由，设，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，则有，问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示，由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，即函数有两个零点，所以实数a的取值范围为. 4．过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2027届重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学试卷 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下，由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或.故选：D. 5．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】西藏拉萨市2026届高三上学期第一次联考数学试题 【详解】函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点，令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，，因此当且仅当时，有两个零点，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 6．(25-26高三上·河北沧州·月考)已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北省沧州市2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题 【详解】函数的定义域为，问题等价于在内存在两个变号零点，即在内有两个变号零点，因为，令，问题可以转化为关于的方程在内有两个不同的解，又方程可化为，即，令，，则在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递增.又，所以，即，所以问题等价于，即在内有两个不同的根，令，则，当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减，所以函数在处取得极大值，由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且其横坐标分别为、，又，所以，所以的最小整数值为，故选：B. 7．函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南师范大学附属中学2027届高二年级上学期教学测评期末卷数学试题 【详解】，则，当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意；若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或，且当时，，当，，所以，在，上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：C. 8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市2026届高三第一次教学质量检测数学试题 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，令，则，由得；得；则在单调递增，在上单调递减，则，因为时；时，且时，所以的函数图象如图：因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于，则，得，故的取值范围是.故选：C 9．(25-26高二下·四川德阳第五中学·)已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川德阳市第五中学2025-2026学年高二下学期第一次定时练习数学试题 【详解】设与相切于点，则，解得，此时. 由得，由，可得，此时切点为， 作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点. 10．(23-24高二下·吉林通化梅河口博文学校·)已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高二下学期第三次考试数学试题 【详解】由题当时，，所以，所以当时，，当时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减，当时，当时，；当时，；所以可作出函数的图象，如下图，若要使函数有个不同的零点，所以的图象与直线有个交点，即，解得. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【来源】广西壮族自治区河池市2024-2025学年高二下学期7月期末学业水平质量检测数学试题 【详解】（1）若，则，，可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数在定义域为，且， 由题意可知：在定义域内单调递增，可得， 原题意等价于在定义域内单调递增， 构建，则， 又因为在定义域内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数a的取值范围为. （3）因为，即，可得， 构建，原题意等价于存在，使得成立， 当时，则，可得； 当时，可得；当时，则，可得； 综上所述：，可得，所以实数b的取值范围为. 2．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【来源】江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 【详解】（1）当时， ，， ， 由，可得或，由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； （2）解法1：由恒成立，可得：对，，即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 3．(24-25高二下·广西崇左·期末)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求正数的取值范围； (3)设，比较与2的大小． 【来源】广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题 【详解】（1）由题设，且， 当时，，则在上单调递减， 当时，有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，时在上单调递减， 时在上单调递减，在上单调递增. （2）由，则，又， 所以，即， 令，则，故在上单调递增， 又，要使，只需. （3）由，且， 令，结合（1）知在上单调递减， 所以，故， 则，所以. 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西南宁部分学校·期末)已知函数，， (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 【来源】广西南宁市部分学校2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【详解】（1）因为，所以. 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）（方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则. 令，则，在上单调递增. 因为，所以由，得. 由，得. 令，则， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. . ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不是恒成立的. ②当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为函数在上单调递增（因为），且， 所以当时，恒成立. （3）设，则由（2）知. 因为，所以. 因为，所以. 令，则. 要证，只要证，即证，即证. 令，，则. 令. 因为，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 因为，所以成立，故. 第（3）问中关于证明，可用下面方法： 欲证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 因为，所以，故. 2．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)已知函数. (1)当时，求的解集； (2)若有极值，求实数的取值范围； (3)设，若，求的最大值. 【来源】江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 【详解】（1）当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，， 故的解集为. （2）因为有极值， 所以在上有变号零点， 即在上有变号零点， 因为的对称轴为，所以只需， 所以. （3）由，得， 设， 则， 令，得（舍去），或， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 因为，所以，即， 令， 因为与在上都单调递减， 所以在上单调递减， 又， 所以在存在唯一的零点， 当时，， 所以由可得， 又，所以的最大值为2. 3．(24-25高二下·广西钦州·期末)已知函数，. (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证. 【来源】广西钦州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【详解】（1），， 令，解得， 当时，，，得，单调递减， 当时，，，得，单调递增， 因此，是的极小值点，极小值为， 综上，极小值为，无极大值. （2）定义域为，， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，得，单调递减， 当时，，得，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，定义域为，， ，即，，， 令，定义域为， ，其中，恒成立， 假设解得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 因此的最小值为， 由可知，， 所以，即的最小值为0， 综上，，得证. 4．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【来源】天津市河北区2025届高三二模考试数学试题 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增，所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上， 在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 【巩固练习】 1．(24-25高三下·湖北十堰·调研)已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【来源】湖北省十堰市2024-2025学年高三下学期四月调研考试数学试题 【详解】（1）因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. （2）因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. （3）由（2）可得，解得， 又因为，故实数的取值范围是. 2．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【来源】山东省部分学校2024-2025学年高二下学期阶段性诊断测试数学试题 【详解】（1）因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. （2）①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立.欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 3．(24-25高二下·湖南多校联考·)已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【来源】湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，恒成立，即恒成立. 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. （3）当时，，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 4．(24-25高三上·山东威海·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，，求的取值范围. 【来源】山东省威海市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 【详解】（1）当时，，， 则，所以， 可得曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，所以的定义域为， 若曲线关于直线对称， 所以的定义域关于对称，故，则有， 所以，即， 整理得，所以，故存在，使曲线关于直线对称. （3）法1：由题，即， 当时，，所以即， 令，则， 若，所以，所以不满足题意； 若，当时，， 所以在上单调递减，可得，所以不满足题意； 若，当时，，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意； 当时，，可得，所以即， 令，则，由，所以当时，， 所以在上单调递减，所以，所以不满足题意， 综上所述，的取值范围为. 法2：因为，所以即， 设，则， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 可得，所以在上单调递减，可得，所以不满足题意， 当时，由得，若，则， 当时，，所以在上单调递减， 可得，所以在上单调递减， 所以，所以不满足题意， 若，则，所以在上单调递增， 可得，所以在上单调递增， 可得，所以满足题意， 综上所述，的取值范围为. 三、达标检测 1．(25-26高三上·山东德州·期中)若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省德州市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，函数的定义域为，，令，解得：，当时，，得在区间上单调递减；当时，，得在区间上单调递增；故当时，取得极小值，极小值为，令，解得，当时，；当时，，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于；当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，由此作出函数的大致图像，由图像可得当时，交点为个；当或时，交点为1个；当时，交点为2个.若函数的图像与的图像有两个交点，则由图可知：实数的取值范围为.故选：B 2．(25-26高二下·四川宜宾第一中学校·)设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】CD 【来源】四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期第一学月学情检测数学试题 【详解】若恒成立，则恒成立，构建，则，∵，故，则有： 当，即时，则在时恒成立，故在上单调递增，则， 即符合题意，故满足条件的正整数为1；当，即时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则，构建，则当时恒成立，故在上单调递减，则， ∵，故满足的整数；综上所述：符合条件的整数为1或2，C、D正确 3．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】对于选项，因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立.设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此函数在处取得最大值，最大值为.因为对恒成立，所以.故选项错误.对于选项.当时，在定义域上恒成立.故在上递增.且，，故在存在唯一的零点，故正确.对于选项.因函数的定义域为，所以两个零点.因为，，所以，.因此，即.要证，只要证，即证.令，要证，即要证.令，. 因为，所以函数是增函数，因此对，有.则，即，即.所以，故正确. 对于选项.当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立.设函数，则，故函数在定义域上单调递增.因，即，所以.设函数，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在时取最大值，.故若要使在上恒成立，，即正数m的取值范围是，故正确.故选： 4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．有3个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若，恒成立，则 【答案】ACD 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】当时，，此时在上单调递增，当时，，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以的单调递增区间为，故A正确；当时令，得， 当时，令，得，所以函数有2个零点，故B错误；因为，即，所以或，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，当时，，所以的图象如图所示，    由图可知有一个根，若满足关于的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故C正确；若，恒成立，则， 令，，所以，由，得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 5．(25-26高二下·浙江绍兴柯桥区钱清中学·)不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【来源】浙江绍兴市柯桥区钱清中学2025-2026学年高二下学期3月练习数学试题 【详解】由不等式 对任意 恒成立，因为，变形得：恒成立，构造函数，求导得： ，​ 令 ，得 ，即 ，当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， 在​ 处取最大值：，​ 因此 ​，即的取值范围是 . 6．(24-25高二·江苏苏州中学·)已知函数，若，使得有三个零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【来源】江苏省苏州中学2024-2025学年度第二学期5月质量评估高二数学试题 【详解】易得，若，则，则在上单调递增，则至多有个零点，不符合题意；若，即，则有两个零点，则得，得或，则在上单调递减，在上单调递增， 由于时；时，故，使得有三个零点，则的取值范围为. 7．已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 【答案】 【详解】根据题目可知有两个零点，令，可得，故直线与函数的图象有两个不同的交点，函数的定义域是，求导得，令，可得，当变化时，，的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 因此函数的增区间是，减区间是，极大值是，根据对数函数的性质可知，当时，，当时，，当时，，由此画出函数和直线的图象，，根据图象可知，当时，直线与函数有两个交点，因此，实数的取值范围是. 8．(25-26高二·江苏震泽中学育英学校·)函数，有且只有一个零点，求非负数的取值范围为____________ 【答案】 【来源】江苏省震泽中学育英学校2025-2026学年第二学期高二数学3月质量反馈试题 【详解】若函数，有且只有一个零点，则等价于方程有且仅有一解. 令令， 单调递减；又，所以，时，，，，即时，，单调递增，时，，单调递减；在时， 在时，，所以若与有且仅有一个交点，则或．又为非负数，所以的取值范围为{0,1}． 9．(25-26高二下·河北张家口等二地·)已知直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【来源】河北张家口市等二地2025-2026学年高二下学期3月份阶段性质量检测数学试卷 【详解】由函数得，，令得，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得最大值， 且时，时，，作出函数的大致图象， 由图可知当直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为． 10．(25-26高二下·湖北沙中学·)已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 【答案】 【来源】湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题 【详解】由，得与互为反函数，其图象关于直线对称，函数与的图象有两个交点，等价于函数的图象与直线有两个交点，因此方程有两个正实根，即有两个正实根，令函数，则直线与函数的图象有两个交点，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而，当趋近于正无穷大时，趋近于0，则当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以的取值范围是. 11．(25-26高二上·浙江宁波镇海中学·期末)已知有三个零点，则的范围是___________． 【答案】 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】函数有三个零点，等价于关于x的方程有三个实根．显然， ∴方程有三个实根．设函数，则． 当和时，，在和为减函数；当时，，在为增函数；∴在时取极小值3，当时，，当时，，当时，，如图，  所以的范围是.故答案为： 12．若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【来源】天津市蓟州区第一中学2026届高三第一学期期末试卷数学试题 【详解】由题设，则函数的定义域为，，则，此时，所以，故在上单调递增，所以，若时，此时恒成立，无零点，若时，此时在定义域上恰有一个零点，，则，此时且， 所以在上单调递增，则，所以恰有一个零点，，则，若，则，所以（在上单调递减），所以在上单调递增，则，若，则，显然区间内单调递增，所以，且时，综上，若，则上无零点，上存在一个零点，若，则存在一个零点，若，则上存在一个零点，上无零点，所以在定义域上恰有一个零点，，且定义域为，若，则，所以，则在上单调递增且，若，则，显然区间内单调递增，而且时，所以在定义域上恰有一个零点，，则，若，则，所以（在上单调递减），显然，则上，上，所以在上单调递增，上单调递减，而，若，则，显然区间内单调递增且，所以在定义域上无零点，综上，.故答案为： 13．(25-26高三上·贵州六盘水水城区·)已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【来源】贵州省六盘水市水城区2025-2026学年高三上学期12月统考数学试题 【详解】当时，，则，令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则，令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点，所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为： 14．(25-26高三上·江苏无锡江阴三校联考·月考)函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【来源】江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题 【详解】由题可得方程在上有两个根方程在上有两个根函数图象与直线在上有两个交点，，则，所以时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，又时且，，所以时，则，时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，且， 时且时且，如图，所以函数图象与直线在上有两个交点，则.故答案为： 试卷第1页，共3页 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $专题5.4 导数的综合应用 高中数学导学案 专题5.4 导数的综合应用 考点预览 一、必备知识 1.导数与函数的极值、最值 （1）函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （2）函数的最值： 在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2.单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 3.双变量不等式与等式 一般地，已知函数， （1）不等关系： 若，，总有成立，故； 若，，有成立，故； 若，，有成立，故； 若，，有成立，故． （2）相等关系： 记的值域为A, 的值域为B, 若，，有成立，则有； 若，，有成立，则有； 若，，有成立，故； （3）一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： ，；， ，；， 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数解决不等式恒成立问题 【经典例题】 1．(22-23高二下·山西朔州怀仁第一中学·期中)已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二·江苏南京金陵中学·)已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 3．(25-26高二下·重庆育才中学校·)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【变式训练】 1．(25-26高二下·四川射洪中学校·)若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二下·河南鹤壁高中·)若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为_________． 3．(25-26高二上·江苏南京某校·期末)已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则实数的取值范围是______. 5．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．(25-26高二下·重庆第一中学校·月考)已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 【巩固练习】 1．(25-26高二下·河北唐山开滦第二中学·月考)已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是______． 2．(25-26高二下·上海奉贤中学·月考)经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是___________. 3．(24-25高二下·甘肃白银普通高中改革与发展共同体·期中)（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 4．(24-25高二·江苏苏州中学·)若函数，且，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若，，则实数的取值范围是______. 6．(25-26高二下·广东珠海第一中学·)已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高三下·福建三明第一中学·月考)已知不等式（，且）对任意正实数恒成立，则的最大值为___________． 【经典例题】地 城 考点02 利用导数解决不等式能成立（有解）问题 1．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 2．(25-26高二下·河北邢台卓越联盟·月考)记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二下·重庆璧山中学校·月考)若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(20-21高二·江西抚州南城一中·月考)已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 6．(25-26高二下·河南信阳罗山县高级中学·)已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【变式训练】 1．(25-26高二下·湖北恩施土家族苗族高级中学·)存在使不等式成立，则的最小整数解为____. 2．(24-25高二·天津第二十一中学·)已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 3．(25-26高三上·贵州新高考协作体·)已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二下·山东淄博实验中学、淄博齐盛高级中学·)设，函数，，若对任意的，存在使得成立，则实数的最小值是__________． 5．(24-25高二下·天津武清区天和城实验中学·)已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【巩固练习】 1．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高三上·安徽黄山屯溪第一中学·月考)已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是_______． 6．(25-26高二上·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________. 7．(25-26高三上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【经典例题】地 城 考点03 利用导数研究函数零点个数问题 1．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25高三·海南部分中学·模拟)记函数的零点分别为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．(24-25高二下·河南部分重点高中·调研)函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．关于函数，下列选项正确的是（    ） A．函数没有零点 B．函数只有1个零点 C．函数至少有1个零点 D．函数有2个零点 5．(25-26高三上·四川泸州高级中学校·开学考)设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或5 【巩固练习】 1．(25-26高二下·河北唐山第二中学·月考)函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．(25-26高三上·北京第一零一中学·)设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 4．(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·期中)设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【经典例题】地 城 考点04 已知函数零点个数求参数范围 1．(24-25高二下·云南临沧中学·期中)若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·广西百色·期末)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 . 3．(24-25高二下·广西贵港桂平·期中)若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 4．(25-26高二·福建福州高级中学·)若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 5．已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数其中为自然对数的底数，若函数的3个零点分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高二·江苏锡山高级中学·期末)已知函数在上存在零点，则的取值范围为____________. 2．(24-25高二下·云南宣威部分学校·)若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·)若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·辽宁多校调研·调研)已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 5．(25-26高二下·广东佛山第一中学·)已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（    ） A．0或4 B．3或4 C．0或2 D．2或3 6．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江苏无锡运河实验中学·月考)函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·广东领航高中联盟·)过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高二·福建福州高级中学·)若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 10．(24-25高二·江苏常州六校教研联合体·调研)已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．(25-26高二·江苏苏州·)已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高三下·江苏扬州高邮·调研)已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·安徽马鞍山第二中学·期末)已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·河北沧州·月考)已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 7．函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高二下·四川德阳第五中学·)已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(23-24高二下·吉林通化梅河口博文学校·)已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数b的取值范围． 2．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．(24-25高二下·广西崇左·期末)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求正数的取值范围； (3)设，比较与2的大小． 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西南宁部分学校·期末)已知函数，， (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 2．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)已知函数. (1)当时，求的解集； (2)若有极值，求实数的取值范围； (3)设，若，求的最大值. 3．(24-25高二下·广西钦州·期末)已知函数，. (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证. 4．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【巩固练习】 1．(24-25高三下·湖北十堰·调研)已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 2．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 3．(24-25高二下·湖南多校联考·)已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 4．(24-25高三上·山东威海·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，，求的取值范围. 三、达标检测 1．(25-26高三上·山东德州·期中)若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二下·四川宜宾第一中学校·)设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．有3个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若，恒成立，则 5．(25-26高二下·浙江绍兴柯桥区钱清中学·)不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 6．(24-25高二·江苏苏州中学·)已知函数，若，使得有三个零点，则的取值范围为___________． 7．已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 8．(25-26高二·江苏震泽中学育英学校·)函数，有且只有一个零点，求非负数的取值范围为____________ 9．(25-26高二下·河北张家口等二地·)已知直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________． 10．(25-26高二下·湖北沙中学·)已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 11．(25-26高二上·浙江宁波镇海中学·期末)已知有三个零点，则的范围是___________． 12．若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______. 13．(25-26高三上·贵州六盘水水城区·)已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是_____． 14．(25-26高三上·江苏无锡江阴三校联考·月考)函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 试卷第1页，共3页 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $