专题05 一元函数的导数及其应用4大高频考点（期末真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题05 一元函数的导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念及其几何意义 考点02 导数的计算 考点03 导数研究函数单调性 考点04 极值、最值 ( 地 城 考点01 导数的概念及其几何意义 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．和是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知为偶函数，曲线在点处的切线与直线垂直，设的导函数为，则 . 四、解答题 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数， (1)比较与在区间上的平均变化率的大小； (2)若，恒成立，求的取值范围. 10．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． ( 地 城 考点0 2 导数的计算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）设函数.（   ） A．为奇函数 B．图象过二四象限 C．的导数； D．值域为 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）曲线在点处的切线方程为 . 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 10．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)求曲线在点处的切线方程. ( 地 城 考点0 3 导数研究函数单调性 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若函数的单调递减区间为，则实数的值为 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）若函数在上为减函数，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为 ． 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 10．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． ( 地 城 考点0 4 极值、最值 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．恰有一个极值点 B．有最小值但没有最大值 C．直线与曲线的公共点个数最多为4 D．经过点只可作的一条切线 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 8．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为 ． 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元函数的导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念及其几何意义 考点02 导数的计算 考点03 导数研究函数单调性 考点04 极值、最值 ( 地 城 考点01 导数的概念及其几何意义 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，，D不满足. 故选：AC 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．和是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，则， 又为偶函数，所以，即， 两边求导得，，即，的图象关于对称， 则的图象关于原点对称，为奇函数，故C正确， ，， 由以上分析得，即有 即，且， 所以是周期为4的函数，， 故，故A正确： 对于B，由于，则， 由于，故， 所以，因此以4为周期的周期函数，B正确. 对于D，由于，则，故图象关于对称，由于不一定为0，故D错误， 故选：ABC. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到，解得． 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知为偶函数，曲线在点处的切线与直线垂直，设的导函数为，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得为奇函数，再由导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 两边同时求导得，即， 由题意可知，，所以，故. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数， (1)比较与在区间上的平均变化率的大小； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在区间上的平均变化率比大； (2). 【分析】（1）根据平均变化率的定义分别求出与在区间上的平均变化率，进而结合指数函数的单调性比较大小即可； （2）转化问题为在时恒成立，令，则，可得恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）在区间上的平均变化率的为： ， 在区间上的平均变化率的为： ， ，， 又在上单调递增， ，， 在区间上的平均变化率比大. （2）由题意可知：，恒成立， 即在时恒成立， 令，则，恒成立， 又函数在上单调递增， 则在上恒成立，所以， 所以满足题意的的取值范围为. 10．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. ( 地 城 考点0 2 导数的计算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解. 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的运算公式及简单复合函数求导法则逐个判断即可. 【详解】对于A：，错误， 对于B：，错误， 对于C：，正确， 对于D：，错误， 故选：C 4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】ABD选项，利用导数四则运算法则求解；C选项，利用复合函数求导公式进行求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 6．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）设函数.（   ） A．为奇函数 B．图象过二四象限 C．的导数； D．值域为 【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性定义、单调性分析判断ABD；求出函数的导数，并利用基本不等式判断C. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，为奇函数，A正确； 对于B，函数在R上都单调递增，则在R上单调递增， 当时，，当时，，因此图象不过二四象限，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，的取值集合为，则的取值集合为， 而的取值集合为，因此的取值集合为， 由为奇函数，得当时，的取值集合为，所以值域为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 【答案】1或 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由已知， ，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决 【详解】（1），则 （2），则 （3），则 （4），则 10．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对求导，代入，即可求出，代入可得解析式； （2）将不等式化简，根据分式不等式与的定义域求解； （3）先求在点处的斜率，代入点即可求出切线方程. 【详解】（1）由题意，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴. （2）由题意由（1）得 ， 则不等式，即为，又， 解得， ∴不等式的解集为. （3）在中， ， ，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即. ( 地 城 考点0 3 导数研究函数单调性 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若函数的单调递减区间为，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由f′（x）=3x2-a，f（x）的单调递减区间为（-1，1），可得方程3x2-a=0的根为±1，即可得出． 【详解】由f′（x）=3x2﹣a，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）， 可得方程3x2﹣a=0的根为±1，∴a=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数的问题，属于基础题． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案. 【详解】根据题意，构造函数，则， 所以函数在R上单调递增，又，即， 所以，即，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）若函数在上为减函数，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可. 【详解】已知函数在上为减函数， 则在恒成立， 即在恒成立，则，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知在内单调递减，又，且是定义在R上的奇函数，可得不等式的解集. 【详解】因为当时，有恒成立，即恒成立， 所以在内单调递减． 因为（3）， 所以在内恒有；在内恒有． 又因为是定义在上的奇函数， 所以在内恒有；在内恒有． 又不等式的解集，即不等式的解集． ∴不等式的解集为 故选：A． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】利用导函数的图象正负，进而得到原函数的单调性，最后得到结果即可. 【详解】由题意知与轴有三个交点， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误． 故选：AC． 6．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A：，，所以不恒成立，故A错误； 对于B：在上恒成立，函数递增，故B正确； 对于C：，函数递增，故C正确； 对于D：，所以在单调递减，故D错误； 故选：BC 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件构造函数，可得在上为增函数，且为奇函数，然后将可转化为，从而可求出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为当时，有， 所以当时，，所以在上为增函数， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以为R上的奇函数，所以在R上为增函数， 由，得 ， ， 所以， 因为为奇函数，所以， 所以，得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性即可； （2）结合（1）中的单调性，首先可以判断时不符合题意，然后结合的大致趋势，可以画出和时的大致图象，结合图象分析出时仅有一个实数解，时，仅当最小值小于时，满足题意，最后构造关于的函数，利用函数的单调性和得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为， 因为， 所以， 当时，， 所以在上单调递增； 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递增，在单调递减， 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减，在单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，所以方程不可能有两个不同的实数解，不符合题意； 当时，在上单调递增，在单调递减； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示，    由图可知，方程仅有一个实数解，不符合题意； 当时，在上单调递减，在单调递增； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示，    由图可知，若方程有两个不同的实数解， 则， 所以，即， 令， 所以， 所以函数在时单调递减， 又因为， 所以由，得， 即的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题，以及函数零点个数问题，解题的关键在于利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性，并结合函数的大致趋势画出函数的大致图象，然后将零点个数问题转化为函数图象的交点问题来求解. 10．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【详解】（1）因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． （2）因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． ( 地 城 考点0 4 极值、最值 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数与函数极值的关系即可判断. 【详解】因为函数，定义域为， 则， 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极大值； 当时，恒成立，函数不存在极值； 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极小值； 所以， 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．恰有一个极值点 B．有最小值但没有最大值 C．直线与曲线的公共点个数最多为4 D．经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】BCD 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AB选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】由图可知，当时，； 当时，. 故在、上单调递减，在上单调递增，A错B对， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，C对， 因为，所以曲线在处的切线斜率为，D对. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 【答案】108 【分析】由，求得并检验，求得的解析式，运算得解. 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 8．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】设该圆锥的底面半径为，高为，则，进而圆锥的体积，利用导数研究其最大值时的，代入圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，则，则， 所以该圆锥的体积，则， 当时，，当时，，所以， 此时，该圆锥的侧面积为． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【分析】（1）先对求导，再对分，，三类讨论，分别求出的单调性与单调区间. （2）（方法一）运用换元法，将换元为，参变分离得，对其求导讨论单调性即可求出最小值.（方法二）对求导，再对分，两类讨论，分别求出恒成立的条件，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）∵，∴. 当时，， ∴在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）∵恒成立， ∴恒成立. 令，则. 令，则在上单调递增. ∵，∴由，得. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴. （方法二）令， 则恒成立. . ①当时，∵， ∴，∴在上单调递增. ∵，∴不是恒成立. ②当时，由，得， 由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴. ∵函数在上单调递增，且， ∴当时，恒成立. 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导函数，令，解关于的方程求得，代入解析式即可； （2）利用导函数的单调性，结合端点函数值、极值的符号，建立不等式组求解范围. 【详解】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $