专题02 函数的图像与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 函数的图象与性质 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数的图象与性质（基础篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：函数自变量取值范围求解 题型二：待定系数法求函数解析式 题型三：比较函数值的大小 题型四：一次函数的性质 题型五：反比例函数的图象与性质 题型六：反比例函数k值的几何意义应用 题型七：二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型八：二次函数的单调性 题型九：二次函数图象的平移 题型十：二次函数与方程 题型十一：二次函数与不等式 题型十二：函数的平移、翻折、对称问题 必备知识 知识1 一次函数的图象与性质 知识2 反比例函数的图象与性质 知识3 二次函数的图象与性质 知识4 二次函数的图象特征与各项系数之间的关系 知识5 函数的平移 命题预测 考点二 函数的图象与性质（压轴篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：动点问题的函数图象问题 题型二：线段最值问题 题型三：周长最值问题 题型四：特殊三角形存在性问题 题型五：特殊四边形存在性问题 题型六：线段、面积存在性问题 题型七：角度存在性问题 题型八：函数交点问题 题型九：函数新定义问题 题型十：函数与几何图形综合 命题预测 命题透视 命题形式：呈现 “数形结合、多函交汇、情境创新” 的特点，以函数图像、表格数据、实际场景为载体，兼顾选择填空的基础考查与解答题的综合探究，突出对运算求解、逻辑推理及数形转化能力的考查。 命题内容：侧重基础性质的灵活应用与综合压轴的分层突破，基础层聚焦三类函数的解析式、图像特征及与方程不等式的关联，压轴层深挖面积最值、特殊图形存在性、动点动态分析、含参分类讨论及新定义创新应用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 函数自变量取值范围、函数值 T12：（无锡）函数的自变量取值范围 T12：（苏州）一次函数自变量与函数值 T19：（南京）一次函数自变量与函数值 T2：（无锡）函数自变量的取值范围 T2：（无锡）函数自变量的取值范围 函数解析式 一次函数的图象与性质 T6：（南京）一次函数的翻折、旋转 T5：（无锡）一次函数的平移问题 反比例函数的图象与性质 T14：（南京）反比例函数的增减性求最值 T23：（苏州）反比例函数的图象与性质 T15：反比例函数的图象与性质 T16：根据反比例函数的定义求参数 T4：（南京）反比例函数的图象识别 反比例函数的k值意义 T9：（无锡）反比例函数k值意义 T14：（南京）反比例函数的k值意义 二次函数的图象与性质 T26：（南京）二次函数的图象与性质、平移 T27：（无锡）二次函数的图象与性质 T27：（苏州）二次函数的图象与性质 T10：（无锡）二次函数的图象与性质 T25：（南京）二次函数的图象与性质 T28：（无锡）二次函数的图象与性质 T25：（南京）二次函数的图象与性质 T28：（无锡）二次函数的图象与性质 动点与函数关系 函数与几何综合 T10：（无锡）一次函数、反比例函数与几何综合 命题预测 .函数图像与性质（核心模块） · 核心考点： · 一次函数：k、b符号与图像象限、增减性、与坐标轴围成三角形面积； · 反比例函数：k的几何意义、双曲线上点的坐标特征； · 二次函数：a、b、c及Δ符号判断、对称轴与顶点坐标、最值计算、与x轴交点及根的分布。 · 综合趋势： · 函数（一次/二次/反比例）+方程/不等式+几何图形（三角形、四边形）的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力； · 函数动点问题、特殊图形存在性问题（等腰三角形、平行四边形等）是高频压轴方向。 备考建议（函数图像与性质） · 夯实基础：熟练掌握三类函数的图像特征、性质及解析式求解方法，确保基础题不丢分； · 突破中档：重点训练数形结合思想、参数讨论、整数解问题，总结函数与面积、线段长的解题模板； · 强化综合：针对“函数+方程/不等式+几何”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力； · 关注创新：熟悉新定义函数、函数图像变换、动点探究题型，培养迁移与推理能力。 考点一 函数的图象与性质 题型一 函数自变量取值范围求解 求解函数自变量取值范围，需根据表达式类型确定限制条件：整式取全体实数，分式分母不为零，根式被开方数非负，零次幂底数不为零，实际问题需符合实际意义。 1．（2026·江苏宿迁·一模）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．（2025·江苏·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（2025·江苏盐城·一模）在函数中，自变量x的取值范围是______；在函数中，自变量x的取值范围是______． 题型二 直接/间接代入求函数值/自变量 5．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 6．（2025·江西南昌·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)点在线段上，连接，若，求点的坐标． 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 8．（2025·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型三 比较函数值的大小 9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． (1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； (2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； (3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 10．（2025·江苏盐城·一模）代数式，代数式． (1)当时，若，则 x 的取值范围是 ； (2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； (3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 11．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，求的值； (2)若二次函数的图像经过点，，比较和的大小，并说明理由； (3)若二次函数满足当时，，直接写出的取值范围． 12．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小； (3)在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标． 题型四 一次函数的性质 13．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 14．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 15．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 16．（24-25九年级下·江苏常州·月考）已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是______． 题型五 反比例函数的图象与性质 17．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 18．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 19．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则______． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）． 题型六 反比例函数k值的几何意义应用 反比例函数 k 值的几何意义应用，关键是过图象上的点作坐标轴的垂线，利用所得矩形面积等于 | k|、三角形面积等于 | k|/2 的性质，将面积问题转化为求 k 值或利用 k 值求面积。 21．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为_______． 22．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为1．则k的值为（   ） A．52 B．60 C．75 D．90 23．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为_______． 24．（2025·江苏南通·二模）如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若，且，则k的值等于________． 题型七 二次函数a、b、c及判别式符号判断 判断二次函数 a、b、c 及判别式符号，需观察抛物线图象：开口方向定 a，对称轴位置定 b（左同右异），与 y 轴交点定 c，与 x 轴交点个数定判别式 Δ。 25．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 26．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 27．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（   ） ①；②若时，则； ③若点在拋物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 28．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是______． 题型八 二次函数的单调性 29．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 30．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数． (1)若它的图象经过点，求，满足的关系式； (2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 31．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 32．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若P，Q两点都在直线上，且和是于的一元二次方程的两根，求k的值以及线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：正值． 题型九 二次函数图象的平移 二次函数图象的平移，关键是掌握 “左加右减，上加下减” 的口诀，将原函数解析式化为顶点式后，根据平移方向和距离调整 h、k 的值即可。 33．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　） A．1 B．1 C． D．4 34．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 35．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是________． 36．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 题型十 二次函数与方程 37．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为憾对称，其中一点叫做另一点的憾点，如点互为憾对称，已知点A的坐标为，抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6，则下列关于a的取值范围描述正确的是（    ） A． B．或 C．且 D．且或 38．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ；  ②抛物线与x轴的交点坐标是和； ③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根； ④若和都是抛物线上的点且，则． 上述结论中正确的结论___________ （填写序号） 39．（2025·江苏常州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，，顶点为C． (1)若， ①求a，的值； ②D为线段上一点，过点D作的平行线交抛物线于点E，若点E在x轴上方，且，求E的坐标． (2)若，直接写出a的取值范围． 40．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； (2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； (3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 题型十一 二次函数与不等式 41．（2025·江苏泰州·二模）直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 42．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 43．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______． 44．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， (1)当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 题型十二 函数的平移、翻折、对称问题 45．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数， (1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式． (2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． (3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ． 46．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 47．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象分别交x轴于A、B两点且（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点且平行于x轴，P 为直线l上的动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)过点P作平行于y轴的直线交抛物线于点D，点E与点D关于抛物线的对称轴对称，连接 ， ①若时，求点E的横坐标； ②是否存在某一位置的点 P，使得最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2025·江苏淮安·一模）已知抛物线（a为常数，且）． (1)求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； (2)若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 知识1 一次函数的图象与性质 1.一次函数的概念 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2.待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 3.正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 4.一次函数的图像与性质 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 5.常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 6.一次函数与一元一次方程 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 7.一次函数与二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 8.一次函数与一元一次不等式 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围； 4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围. 知识2 反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 3. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 4.一次函数与反比例函数的交点问题 从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 5. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 6. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识3 二次函数的图象与性质 基本形式 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识4 二次函数的图象特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图象特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 知识5 函数的平移 1. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 2. 二次函数图象的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（  ） A． B． C． D．1 4．（2025·江苏徐州·一模）把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移个单位，如果平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，则应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 5．（2020·浙江台州·一模）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为________． 7．（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为________． 8．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 9．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是______（填出所有正确结论的序号）． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______． 11．（2025·黑龙江大庆·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 12．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 13．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 15．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 考点二 函数的图象与性质（压轴篇） 题型一 动点问题的函数图象问题 1．（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（   ） A．12 B． C．18 D． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为(   ) A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为______． 4．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 题型二 线段最值问题 5．（2025·江苏无锡·二模）已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 6．（2025·江苏苏州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 7．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 周长最值问题 9．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 11．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________． 12．（2025·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，点，，，，当四边形的周长最小时，m的值为（   ） A． B． C． D． 题型四 特殊三角形存在性问题 13．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求的正切值； (3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 14．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，是的中点，，的延长线交于点，在线段上取点、（点在、之间），使得．当点从点匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．设，，已知，当时，与重合． (1)求、的长； (2)若， ①连，当是以为腰的等腰三角形时，求的值； ②将绕点顺时针旋转得线段，当点落在四边形的内部时，请直接写出的取值范围． 15．如图，是等腰直角三角形，，，，抛物线交x轴于点C，D两点，且经过点B． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点F，使得的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)点在抛物线上，连接，求出在坐标轴的点P，使得是以为顶角以为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 16．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 题型五 特殊四边形存在性问题 17．（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 18．（2025·山西大同·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接，．    (1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标． (2)当时，求点M的横坐标． (3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当最小时，求此时点E的坐标； (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025·河南漯河·一模）如图，已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点是，且与轴交于两点，与轴交于点是抛物线上一个动点，过点作于点． 求二次函数的解析式； 当点运动到何处时，线段PG的长取最小值?最小值为多少? 若点是抛物线对称轴上任意点，点是抛物线上一动点，是否存在点使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 题型六 线段、面积存在性问题 21．（2025·陕西西安·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．    (1)求点的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 23．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，其中，点，的横坐标分别为，． (1)若点，分别在第三、一象限，求的取值范围； (2)过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，记． ①在（1）的条件下，若，求的最小值； ②若，且，其中，为常数，是否存在的值，使不随的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ． (1)求点 A 的坐标． (2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数． (3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 题型七 角度存在性问题 25．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 27．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 28．（2025·江苏宿迁·二模）如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，与交于点，直线把分成面积相等的两部分，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 题型八 函数交点问题 29．（24-25九年级下·广东广州·月考）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是__________． 31．（2025·江苏盐城·一模）点和点在二次函数图象上， (1)当时，时 ①求证：； ②已知点和点，若二次函数 的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； (2)当时，求证：． 32．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． (1)写出该函数图象的对称轴； (2)已知点． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型九 函数新定义问题 33．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 34．（2025·江苏宿迁·三模）已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题： (1)抛物线的开口大小是______； (2)对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由； (3)已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式． 35．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 36．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 题型十 函数与几何图形综合 37．（2025·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为__________． 39．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 40．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 1．（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．上述结论中正确结论的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·陕西西安·一模）已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 6．（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为__． 7．（2025·陕西西安·一模）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝_____． 8．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为_____． 9．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为_______． 10．（2025·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________． 11．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 12．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值； (3)当时． ①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由； ②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值． 14．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，一个以为顶点的的角绕点旋转，角的两边与对角线交于点、． (1)试说明在旋转的过程中，并求出的值； (2)如图，过点作于点，过点作于点，延长、交于点，则点始终在某一函数图象上运动，试求出此函数关系并说明理由． 15．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null