专题3.2 勾股定理的逆定理（暑假预习培优讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题3.2 勾股定理的逆定理 【本节预习目标】 1.理解勾股定理逆定理的推导逻辑，分清勾股定理与逆定理“由形得数、由数判形”的互逆关系。 2.熟练运用逆定理判定直角三角形，掌握勾股数定义、常见勾股数及其倍数规律。 3.能结合网格、四边形、生活场景综合使用勾股定理与逆定理完成计算与证明。 4.掌握勾股数规律探究、新定义直角三角形、跨学科测距类问题，发展数形结合与推理素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 勾股定理 中，两直角边平方和等于斜边平方，由直角求边长 逆定理的互逆命题，一个是性质、一个是判定 实数平方运算 正、负、无理数平方计算，大小比较 判定三角形时计算三边平方、比较大小的基础 网格求线段 格点线段用勾股求长度，割补求面积 网格直角三角形判定的必备计算工具 几何证明SSS全等 三边对应相等的三角形全等 逆定理文字证明的核心依据 知识点1：勾股定理的逆定理 1.定理内容 如果三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为。 2.判定标准与互逆对比 判定三步：①找出三边中最长边；②计算两短边平方和、最长边平方；③比较二者是否相等。 对比项 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形是直角三角形（） 三边满足 结论 三角形为直角三角形 功能 由形推数，求边长 由数判形，定直角 用途 已知直角，计算线段长 已知边长，判定直角、求角度 3.拓展三角形边角判定 设为最长边： 直角三角形； 钝角三角形； 锐角三角形。 知识点2：勾股数 1.定义 满足的三个正整数称为一组勾股数。 2.两大判定条件 ①三个数必须全部为正整数（小数、分数、无理数组合不算勾股数）； ②两个较小数的平方和等于最大数的平方。 3.核心规律与常用数组 倍数规律：若a、b、c是勾股数，为正整数，则ka、kb、kc仍是勾股数； 基础勾股数组：、、、； 通用构造公式：、2n、（偶数构造）； 、、（奇数构造）。 【基础巩固题型】 【题型1】基础三边判定直角三角形 1.核心知识点 勾股逆定理判定步骤；最长边识别；平方运算 2.解题方法技巧 ①先锁定最长边，避免把短边当作斜边代入公式； ②分别计算两短边平方和、最长边平方再对比； ③含根号边长先平方化简，再判断等式是否成立。 【例题1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【变式题1-2】.（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 【变式题1-3】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．，， D．5，12，13 【题型2】勾股数识别与简单计算 1.核心知识点 勾股数双判定条件；勾股数整数倍规律 2.解题方法技巧 ①第一步筛选：排除含小数、分数、无理数的数组； ②第二步验算：两小数平方和是否等于大数平方； ③已知一组勾股数，乘任意正整数直接得到新勾股数。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【题型3】网格格点直角判定 1.核心知识点 网格线段勾股求值；逆定理数形结合 2.解题方法技巧 ①横向、纵向格数作为直角边，求出三角形三边平方； ②直接比较平方和，无需开方简化计算； ③网格求角度可通过判定直角快速得到、。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式题3-1】.（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【培优提升题型】 【题型4】四边形分割求面积（割补模型） 1.核心知识点 连接对角线分割两个三角形；勾股+逆定理综合 2.解题方法技巧 ①连接四边形对角线，拆分为两个三角形； ②先用勾股求对角线长，再用逆定理判定第二个直角三角形； ③总面积=两个直角三角形面积相加。 【例题4】.（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【题型5】非负数综合求边再判直角 1.核心知识点 绝对值、平方、算术平方根非负性；逆定理判定 2.解题方法技巧 ①多个非负数相加为0，则每一项单独等于0； ②解出三边长度后，再用逆定理判断三角形形状； ③注意边长为正数，舍去无意义负解。 【例题5】.（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如果三边 满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【题型6】勾股定理逆定理跨情境应用题 1.核心知识点 实际几何建模；逆定理判定方位直角 2.解题方法技巧 ①把路程、绳长转化为三角形三边； ②通过逆定理证明夹角为直角，确定航行/施工方位； ③结合生活常识验证边长取值合理性。 【例题6】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，滇池绿道一侧有，两个观鸥补给站，为绿道上的一休息点．测得在的北偏东方向上，，，． (1)求的度数； (2)现从观鸥补给站向绿道修建一条垂直栈道，垂足为．求栈道的长． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【压轴素养题型】 【题型7】无刻度网格作图（构造直角三角形） 1.核心知识点 网格勾股作图；逆定理逆向构造直角 2.解题方法技巧 ①根据目标边长拆分横向、纵向格距； ②利用平方和关系找点，构造满足逆定理的格点三角形； ③作图后通过平方验算验证直角成立。 【例题7】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海松江·期末）如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【变式题7-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在如图所示的方格中，点均为网格点，按要求画图并回答问题： (1)画出线段； (2)画出射线； (3)过点画出射线的垂线，垂足为点； (4)量出点到所在直线的距离（精确到）． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形； (2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 【题型8】勾股数规律阅读理解探究 1.核心知识点 勾股数构造公式；归纳推理、代数证明 2.解题方法技巧 ①观察表格奇数、偶数两组勾股数的数字特征； ②用含代数式推导通用勾股数组； ③代入构造公式，通过平方等式完成证明。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 易错点 1、斜边判断错误：未先找最长边，随意代入，导致判定完全相反。 2、勾股数概念混淆：把0.6、1这类小数直角边长当成勾股数，忽略“正整数”硬性要求。 3、分类讨论漏解：动点直角题只固定一条边为斜边，遗漏另外两种斜边情况。 4、证明逻辑颠倒：判定直角三角形时，提前写“在中”，条件与结论颠倒。 重点 1、勾股定理逆定理的判定三步法，能快速判断三角形是否为直角三角形。 2、勾股数的定义、识别方法与整数倍变化规律。 3、勾股定理与逆定理搭配，解决四边形面积、网格几何基础综合题。 难点 1、动点直角三角形三类斜边分类讨论，含参数方程求解与范围取舍。 2、勾股数阅读理解探究题，利用代数式归纳、证明通用构造规律。 3、新定义、跨学科情境下，从文字中提取边长关系，数形结合建模。 一、单选题 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（     ） A．2、3、4 B．3、4、5 C．8、15、16 D．11、12、13 2．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，，，则的面积为______． 5．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 6．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 三、解答题 7．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 8．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 9．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 10．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的形状为_____，其面积为_____； (3)在直线上找出点，使； (4)在直线上找出点，使的周长最小． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 勾股定理的逆定理 【本节预习目标】 1.理解勾股定理逆定理的推导逻辑，分清勾股定理与逆定理“由形得数、由数判形”的互逆关系。 2.熟练运用逆定理判定直角三角形，掌握勾股数定义、常见勾股数及其倍数规律。 3.能结合网格、四边形、生活场景综合使用勾股定理与逆定理完成计算与证明。 4.掌握勾股数规律探究、新定义直角三角形、跨学科测距类问题，发展数形结合与推理素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 勾股定理 中，两直角边平方和等于斜边平方，由直角求边长 逆定理的互逆命题，一个是性质、一个是判定 实数平方运算 正、负、无理数平方计算，大小比较 判定三角形时计算三边平方、比较大小的基础 网格求线段 格点线段用勾股求长度，割补求面积 网格直角三角形判定的必备计算工具 几何证明SSS全等 三边对应相等的三角形全等 逆定理文字证明的核心依据 知识点1：勾股定理的逆定理 1.定理内容 如果三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为。 2.判定标准与互逆对比 判定三步：①找出三边中最长边；②计算两短边平方和、最长边平方；③比较二者是否相等。 对比项 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形是直角三角形（） 三边满足 结论 三角形为直角三角形 功能 由形推数，求边长 由数判形，定直角 用途 已知直角，计算线段长 已知边长，判定直角、求角度 3.拓展三角形边角判定 设为最长边： 直角三角形； 钝角三角形； 锐角三角形。 知识点2：勾股数 1.定义 满足的三个正整数称为一组勾股数。 2.两大判定条件 ①三个数必须全部为正整数（小数、分数、无理数组合不算勾股数）； ②两个较小数的平方和等于最大数的平方。 3.核心规律与常用数组 倍数规律：若a、b、c是勾股数，为正整数，则ka、kb、kc仍是勾股数； 基础勾股数组：、、、； 通用构造公式：、2n、（偶数构造）； 、、（奇数构造）。 【基础巩固题型】 【题型1】基础三边判定直角三角形 1.核心知识点 勾股逆定理判定步骤；最长边识别；平方运算 2.解题方法技巧 ①先锁定最长边，避免把短边当作斜边代入公式； ②分别计算两短边平方和、最长边平方再对比； ③含根号边长先平方化简，再判断等式是否成立。 【例题1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等． 【详解】解：A、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵，，，∴，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．，， D．5，12，13 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断即可求解． 【详解】解：A、最长边为，，能组成直角三角形； B、最长边为，，能组成直角三角形； C、最长边为，，，，不能组成直角三角形，故选项C符合题意； D、最长边为，，能组成直角三角形． 【题型2】勾股数识别与简单计算 1.核心知识点 勾股数双判定条件；勾股数整数倍规律 2.解题方法技巧 ①第一步筛选：排除含小数、分数、无理数的数组； ②第二步验算：两小数平方和是否等于大数平方； ③已知一组勾股数，乘任意正整数直接得到新勾股数。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 【题型3】网格格点直角判定 1.核心知识点 网格线段勾股求值；逆定理数形结合 2.解题方法技巧 ①横向、纵向格数作为直角边，求出三角形三边平方； ②直接比较平方和，无需开方简化计算； ③网格求角度可通过判定直角快速得到、。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式题3-1】.（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 【培优提升题型】 【题型4】四边形分割求面积（割补模型） 1.核心知识点 连接对角线分割两个三角形；勾股+逆定理综合 2.解题方法技巧 ①连接四边形对角线，拆分为两个三角形； ②先用勾股求对角线长，再用逆定理判定第二个直角三角形； ③总面积=两个直角三角形面积相加。 【例题4】.（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是直角三角形， ∴四边形的面积， ， ， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出长度，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，最后利用面积公式求解． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理，得． ，， ， 为直角三角形，且， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【题型5】非负数综合求边再判直角 1.核心知识点 绝对值、平方、算术平方根非负性；逆定理判定 2.解题方法技巧 ①多个非负数相加为0，则每一项单独等于0； ②解出三边长度后，再用逆定理判断三角形形状； ③注意边长为正数，舍去无意义负解。 【例题5】.（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先利用非负数的性质求出三角形三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵平方、绝对值、算术平方根都是非负数，且 ∴，，， 解得：，，， 又∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可得，是直角三角形． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【答案】 是直角三角形 【分析】根据绝对值的非负性可求出的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如果三边 满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】利用平方和算术平方根的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【题型6】勾股定理逆定理跨情境应用题 1.核心知识点 实际几何建模；逆定理判定方位直角 2.解题方法技巧 ①把路程、绳长转化为三角形三边； ②通过逆定理证明夹角为直角，确定航行/施工方位； ③结合生活常识验证边长取值合理性。 【例题6】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，滇池绿道一侧有，两个观鸥补给站，为绿道上的一休息点．测得在的北偏东方向上，，，． (1)求的度数； (2)现从观鸥补给站向绿道修建一条垂直栈道，垂足为．求栈道的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可以判断是直角三角形，； （2）根据含角的直角三角形的性质可以求出，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：，，， 其中，， ， 是直角三角形，； （2）解：如下图所示，测得在的北偏东方向上， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 【压轴素养题型】 【题型7】无刻度网格作图（构造直角三角形） 1.核心知识点 网格勾股作图；逆定理逆向构造直角 2.解题方法技巧 ①根据目标边长拆分横向、纵向格距； ②利用平方和关系找点，构造满足逆定理的格点三角形； ③作图后通过平方验算验证直角成立。 【例题7】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【答案】(1)如图，为所求， (2)如图，为所求， 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海松江·期末）如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】(1)， (2) 就是所求作的图形；， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：，，， ， ， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在如图所示的方格中，点均为网格点，按要求画图并回答问题： (1)画出线段； (2)画出射线； (3)过点画出射线的垂线，垂足为点； (4)量出点到所在直线的距离（精确到）． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求； (2) 解：如图所示，射线即为所求； (3) 解：如图所示，直线即为所求； (4) 【分析】（）根据线段的定义画图即可； （）根据射线的定义画图即可； （）取格点，画直线，由勾股定理可得，，则,即得，所以直线垂直射线，故直线即为所求； （）量出垂线段的长度即可求解； 本题考查了线段、射线、垂线及垂线段，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形； (2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的面积公式，等腰三角形的判定，直角三角形的判定，掌握格点图形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的面积算出底高，再借垂直平分线找格点连出面积为的等腰三角形； （2）根据直角三角形面积算直角边，用网格横竖线定直角顶点连出面积为的直角三角形； （3）根据等腰直角三角形面积算直角边，靠垂直平分线和勾股定理找格点并验直角，连出面积的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 取格点、，使， 找垂直平分线上的格点，使到的距离为， 连接、、，得到， 则且． （2）解：如图，即为所求． 取格点作为直角顶点，使，， 连接、、，得到， 则且． （3）解：如图，即为所求． 取格点，，使， 根据格点性质，找垂直平分线上的格点，使， 连接、、，得到， 则且． 【题型8】勾股数规律阅读理解探究 1.核心知识点 勾股数构造公式；归纳推理、代数证明 2.解题方法技巧 ①观察表格奇数、偶数两组勾股数的数字特征； ②用含代数式推导通用勾股数组； ③代入构造公式，通过平方等式完成证明。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 【变式题8-1】.（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】(1)8，10；24，25 (2)勾股数为5、12、13或12、35、37 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25； （2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 易错点 1、斜边判断错误：未先找最长边，随意代入，导致判定完全相反。 2、勾股数概念混淆：把0.6、1这类小数直角边长当成勾股数，忽略“正整数”硬性要求。 3、分类讨论漏解：动点直角题只固定一条边为斜边，遗漏另外两种斜边情况。 4、证明逻辑颠倒：判定直角三角形时，提前写“在中”，条件与结论颠倒。 重点 1、勾股定理逆定理的判定三步法，能快速判断三角形是否为直角三角形。 2、勾股数的定义、识别方法与整数倍变化规律。 3、勾股定理与逆定理搭配，解决四边形面积、网格几何基础综合题。 难点 1、动点直角三角形三类斜边分类讨论，含参数方程求解与范围取舍。 2、勾股数阅读理解探究题，利用代数式归纳、证明通用构造规律。 3、新定义、跨学科情境下，从文字中提取边长关系，数形结合建模。 一、单选题 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（     ） A．2、3、4 B．3、4、5 C．8、15、16 D．11、12、13 【答案】B 【分析】找出每组数的最大数，验证其平方是否等于另两个数的平方和即可． 【详解】解：A、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，三条线段能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 2．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出直角顶点，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，， ∵三角形内角和为， ∴． 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 二、填空题 4．如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 5．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 6．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 三、解答题 7．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 8．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】根据求出，即可得出，从而可判断三角形的形状． 【详解】略 9．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 10．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的形状为_____，其面积为_____； (3)在直线上找出点，使； (4)在直线上找出点，使的周长最小． 【答案】(1)解：如图：即为所求； (2)等腰直角三角形，5． (3)如图：点M即为所求． (4)点P即为所求． 【分析】（1）先根据轴对称的定义确定的对应点，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理及其逆定理即可判断的形状；然后利用面积公式求解即可； （3）取格点F，使得，连接所在直线与的交点M即为所求； （4）取点C关于对称的格点，连接与的交点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由网格以及勾股定理可得：， ∴，，即为等腰直角三角形． ∴的面积为． （3）解：作图：略 ∵，， ∴是的垂直平分线， ∵点M是与的交点， ∴，即点M即为所求． （4）解：作图：略 连接， ∵点是点C关于对称的格点， ∴， ∴当共线时，最小， ∵为定值， ∴当共线时，最小，即的周长最小，故点P即为所求． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $