8.6.3平面与平面垂直（二）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 8.6.3 平面与平面垂直（二） 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解并掌握平面与平面垂直的性质定理的内容和推导过程. 数学抽象 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的一些简单命题. 数学运算 复习回顾 1.以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 2.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 3.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． O A B β α l   m 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 思考：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 探索新知 探究：如图，设α⊥β， α∩β=a，则β任意一条直线b 与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？ 为什么？ 如图，那么当 b⊥a时，吗？ 因为b与a在同一平面内， 故可能平行，也可能相交 b//a → b//α b与a相交 → b与α相交 探索新知 问题： α⟂β ，α∩β=CD,AB⊂α,BE⟂CD,垂足为B，那么直线BE与平面α的位置关系如何？ 为什么？ α β A B D C E 垂直 又由题意知BE⊥CD,且BE CD=B ∴AB⊥ 则∠ABE就是二面角 的平面角. ∵ , ∴AB⊥BE. 证明:在平面α 内作AB⊥CD,垂足为B. 探索新知 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 两平面垂直的性质定理 面面垂直 线面垂直 符号语言： 探索新知 探究：设平面α⊥平面β，点P在平面α内, 过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系? 如图, 设α∩β=c, 过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理， b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合， 因此a⊂α 结论：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，这个结论称为面面垂直的性质2. 探索新知 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? 怎样证明？ 探索新知 例9 结论：两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另 一个平面或在另一个平面内 探索新知 b作一个平面与，则b//c 由b ⊥β且b//c得 c⊥β 而c在平面内，所以 c b 结论：如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的平行平面也与另一个平面垂直。 探索新知 例2 如图所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC． 求证：BC⊥平面PAB． P A B C 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E． 因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB， 因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC． 又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC． 又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB． 所以AE⊥平面PBC， 探索新知 三种垂直位置关系 由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直; 由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直; 由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直; 而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直. 揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化. 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 判定 性质 探索新知 练习1：如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD， 又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. 课堂小结 1.知识点：面面垂直的性质定理 2.思想方法：转化思想 课堂检测 课堂检测 证明： ∴△ABD为正三角形，又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点， ∴PE⊥AD，BE⊥AD，又∵PE∩BE=E AD⊥面PEB,又∵AD//BC ∴BC⊥平面PEB 连BD，四边形ABCD为菱形且∠DAB=600， 方法一 2.如图所示,四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，E为AD的中点，求证:BC⊥平面PEB. 课堂检测 证明： 又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点， ∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，连BD后△ABD为正三角形 ∵面PAD⊥面ABCD，且交于AD 又∵PE⊂面PEB，∴面PEB⊥面ABCD，且交于BE 又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，又∵AD//BC ∴BC⊥BE，又∵BC⊂面ABCD，∴BC⊥平面PEB ∴PE⊥AD，∵PE⊂面PAD，∴PE⊥面ABCD, 方法二 课堂检测 3.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是 直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD. 求证：平面PDC⊥平面PAD. 课后作业 课本第162页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $