精品解析：2026届甘肃陇南市成县第一中学高三三诊模拟模拟考试数学试题

2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 三诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中错误的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B. 样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 7. Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是单调减函数 B. C. 函数的最大值是 D. 8. 下列说法中错误的是（ ） A. 样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关” 10. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 11. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为_________. 13. 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________． 14. 在中，，，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为1，求边的值. 18. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 19. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 三诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【详解】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C 2. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为实数，满足， 对于A：取，此时，命题不成立，故A错误； 对于B：由，所以， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：，所以不存在，使成立，故C错误； 对于D：由可得，所以， 故不存在，使得，故D错误． 3 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 4. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 5. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 05 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 6. 下列结论中错误的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B. 样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据决定系数的意义判断A选项；根据方差的性质判断B选项；利用正态曲线可判断C选项；利用经验回归方程过样本中心点计算D选项. 【详解】对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B选项，样本数据，，，的方差为8， 则数据，，，的方差为，故B正确； 对于C选项，随机变量服从正态分布，均值， 正态曲线的对称轴为， ，， 由对称性知，，，故C错误； 对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得， ，解得，故D正确. 故选：C 7. Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是单调减函数 B. C. 函数的最大值是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断单调性即可；对于B：根据指数幂运算求解即可；对于C：利用基本不等式运算求解即可；对于D：可证，进而可得结果. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数在定义域内单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值是，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D错误； 故选：B. 8. 下列说法中错误的是（ ） A. 样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据线性回归直线的定义判断B；根据相关系数的定义判断C；根据残差的定义判断D. 【详解】对于A，因为，所以第80百分位数是8，故A正确； 对于B，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确； 对于C，两个随机变量相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故C错误； 对于D，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关” 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，两个变量的样本相关系数为r，则越大，线性相关程度越强，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，在独立性检验中，将“分类变量X与Y独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故D正确． 10. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项. 【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C正确； 对于D项，令，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：ACD. 11. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，由，，成等差数列，得，即， 又，故，得， 所以等比数列的公比为，选项A正确； 对于选项B，由，所以，得，所以，选项B错误； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积. 【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接，则，，由，则， 又、平面，故，，则， 由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小， 取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 则直线的方程为：，即， 抛物线的方程为，则， 由题意，令，得，代入，得， 所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为： ，因为， 所以， 所以三棱锥体积最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积. 13. 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，得到直线的方程：，与抛物线方程联立求解可得，求出直线的方程为：，与抛物线联立方程求出的坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】由题可得，， 直线的斜率： 直线的方程：， 联立:，化简得：， 解得：或， 所以， 则，所以直线的方程为：， 联立:，化简得：，解得：或， 所以，则 14. 在中，，，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率； （2）根据题干表格进行统计即可； （3）计算出，与进行比较即可． 【小问1详解】 由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为1，求边的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合两角和差正弦公式化简即可求解； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理化简即可求解. 【小问1详解】 中，，所以 所以 又，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理， 将，代入解得， 所以. 18. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】（1） （2）该球取自2号箱的可能性最大 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可 【小问1详解】 设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. 【小问2详解】 根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 19. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 【答案】（1） （2）①；②点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据直线与渐近线平行可求的值，进而得双曲线的标准方程. （2）设直线：，双曲线：，将方程联立，利用韦达定理，结合条件，先求的取值范围. ①根据离心率的概念求离心率的取值范围； ②分别表示直线与的方程，借助①中的有关结论，求两直线交点的横坐标即可. 【小问1详解】 由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则. 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，双曲线的标准方程为. 因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:， 将其代入，得， 整理得：（）. 设，，则，. ，. 所以. 由. ①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是. ②当双曲线离心率最大时，. 此时.，. 直线的方程：， 直线的方程：. 由. 化简得：. 由，. 所以. 由. 即直线与直线的交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $