甘肃陇南市成县第一中学等校2025-2026学年高三下学期二诊模拟考试数学试卷

绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 二诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8， ，m，，，，，若该组数据的分位数是，则 （ ） A. B. C. D. 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从 地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为 ，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 5. 已知为坐标原点，分别是双曲线 的左、右焦点，是双曲线 上一点，若直线和的倾斜角分别为和 ，且，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 6. 若正实数x满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线 的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆 与抛物线 在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和 相交于点 为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面 的距离为 D. 多面体的内切球半径为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的零点构成的集合是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 13. 已知的面积为1，，，则_______． 14. 某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件 的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 17. 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形，，，四边形PDCE为矩形，平面平面ABCD，F为PA的中点，N为PC与DE的交点，，. （1）求证：平面； （2）若G是线段CD上一点，平面PBC与平面EFG所成角的余弦值为，求DG的长. 18. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，证明：当时，. （3）若有两个零点，求a的取值范围. 19. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点 ， ，且 ，求面积的取值范围. 绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 二诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 期望 （2） 【17题答案】 【答案】（1）因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接， 在 中，F，N分别为PA，PC的中点，则有， 而直线平面，平面， 所以平面； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）设 ，则 . 显然 在 上恒成立，所以在上单调递减. 又 ，所以 在 上恒成立， 所以在上单调递增， 故 ，即当时， . （3） . 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①由（1）知，为椭圆：的焦点，所以，， 由对称性，不妨设点在轴右侧，设内切圆半径为. 则，，所以，即. 又为的重心，所以. 所以与轴平行. ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 4 5 6 1 8 答案 A B B B C D 1.答案：A 解析：由AUB={x1<x≤3}=(-1,3] 2.答案：B 2i2i(2-)4i-222+4i2,4: 解析： 十1 ·2+i(2+i0(2-i)4-i2555 24: 共轭复数为5了，选B 3.答案：B 解析：因为这组数据共10个，所以10×60%=6， 因此60%分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， m+16=14,解得m=12 因为该组数据的60%分位数为14，所以2 4.答案：D 解析：设点B是长江对岸一点，AB与江岸垂直， 当汽车实际沿AB方向行驶时，航程最短 设汽车的速度Y,水流的速度2，实际速度V=Y+. dv=y-,=V522-52=5km/h) 则航行时间为5×60=12(min).选D 日 品 g 5.答案：B 3 2tana 2 解析：由题意得tan2a= 4 1-tan2a 3) 241 4 3 24 所以直线PF的斜率为tana=4直线op的斜率为7， y=3y24 7c24c 设P(,y)则有 +c4’x7解得x= 5业 25 2 7 24c 代入双曲线方程，得 25 25 1 a b2 > 化简可得： 25 c4-2a2c2+a=0,e=C 7 所以 25 e-2e2+1=0,解得.或e= 5 e=5 7e>1舍) 故选：B 6.答案：C 解析：依题意，xe2=102=10e2g=10e2=2, 同理x3=38x,x84=4g, a2） 令lgx=t,则x82+xe3+x84=x台28r+3gr+4gx=x台2'+3'+4'=10， 因此0.2+0.3'+0.4=1， 令函数f(0)=0.2+0.3+0.4, 而函数y=0.2',y=0.3,y=0.4在R上都单调递减，则函数f()在R上单调递减， 又f0=09<15=5+o+Mo:+5+3>1. 5+10+5>5+1052 1 则f0<f0<f分，即2<1<1， 因此2<1gx<1解得10<x<10 7.答案：D 解析：令an=2”-11<0,因为n∈N,所以解得n=1,2,3, 所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正， 所以Sn的最小值为S=2-11+22-11+23-11=14-33=-19】 故选D. 8.答案：A 解析：如图，作出抛物线C和圆E在点M处的公共切线1， 同时过M作射线MNx轴则有EM⊥I, 由拖物线的光学性质，∠FME=∠EMN=∠FEM= 61 E=M=*号=3+F号0 2 ∴.E(3+p,0) 且kav-tan∠EMN=Y5-0-w 3(3+p)-3 又=2px3=6p,代入得：3p=6p, 解得：p=18 故选A. 9.答案：ABD 解析：A正确，B正确， 对于C,因为K2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' 当a,b,c,d扩大到原来的10倍， 则K的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响C错误 对于D,对于题中的分层抽样， zm+n-低+)，∴m=n 1 m+n m+n 又=mn[+医-]+m本n[+-] =+s+匠-+-)26+s) D正确. 故选ABD 10.答案：ACD 解析：对于A,因为△DBC是等边三角形， 且O是BC中点，所以DO⊥BC,A正确， 对于B,C,方法一：建系计算，过程略， 方法二：对B,在正方体ABCD-AB,C,D,右侧补一个等大的正 的中点G,连BG,DG，,易得B,GMC, ∴∠DB,G为DB与CM所成的角（或补角）， 方体BSTC-B,S,TC,作CI DB=2V5,BG=V5,DG=√3，由余弦定理得： co∠DBG=25+52-13}4V5 22W3V5 4v1515 sin∠DBG=V21 15 B错 D C G T A By S 0 D M B S 对于C,点M是AB的中点，所以点M到平面AB,C的距离是点B到平面AB,C的距离的一半，又 BD,⊥平面ABC, 1 点B到平面4B.C的距离等于3BD3×2V5、23 3 故点M到平面AB,C的距离为3，C正确， 对于D,易知EFGHIO是正八面体，棱长为V2, 3D3W2 3 25 所以它的内切球的半径” 8 422 3D正确 D C 、B D A 小 故选ACD. 11.答案：BD 解折：Afc+)=-sinx+)sin2x-in3x=f),不恒成立 Bf2-)=-nx号n2x写n3x=-f闲，BE商， C.f'(x)=cosx+cos2x+cos3x cos 2x+2cos 2xcosx cos 2x(1+2cosx) 当f)=0时，x=或2红3远 2π =4或3或4，易证x= 3 是函数的极值点， 0, π2π D.由C可知， f)在04递增，在43递减， 2π3π 3π 在34 递增，在 4,π递减 2π 而f3>0,:0,内无零点f)=0放D正确故选BD 12.答案：3 解析：设a与b的夹角为B, la cose 向量u在向量b上的投影向量为b b alcos3co0co 3 3 A错误； C错误； 13.答案：V5 解：m4分Ae0细4= 5,c0sA=2V5 tanB=-2'B∈(0，r)∴sinB=25 .cosB=_V5 5 ..sin C=sin (4+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 一X 555 设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理得，a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, :SAABC= absinC-(2RsinA)-(2RsinB)-sinC-1. 2 5 2）-1e8-9 .AB=c=2 Rsin C=2× 5×2-5 65 10 14.答案：49 解析：每次摸球的情况有C+C+C=7种。 先后两次摸球共有7×7=49种情况. 两次得分5分的情况有： 第一次1分，第二次4分，共有C2·C2=4种： 第一次2分，第二次3分，共有1种： 第一次4分，第二次1分，共有4种： 第一次3分，第二次2分，共有1种： 所以P=4+1+4+110 49 491 10 故答案为：49 15.答案：(1)a,=2n-1,(n∈N)； ②)7=n+n 4n+2 解析：(1)数列{an}为等差数列，设首项为a,公差为d, am=2an+l对neN恒成立，必有a,=2a+1, .a2=2a+1∫a,+d=2a+1 a=1 S,=4S,14a+6d=4(2a+d)解之得 d=21 an=1+2(n-1)=2n-1, 即数列{an}的通项公式为a,=2n-1,(n∈N)】 (26=色+a-)】 4n2 14n2-1+1 Aa,an 4(2n-1)(2n+1）44n2-1 -+anoa 1111 =4+82n-12n+1 ,nEN' n2+n 4n+2 16.答案：(1)分布列见解析：E(X)=0.9 3 (2)7 解析：(1)设p=0.3,由题意知：X~B(3,0.3) P(X=)=C30.3(1-0.3)3-=C30.3*0.73*(k=01,2,3) 所以X的分布列为 X 0 1 力 0.343 0.441 ∴.E(X)=p=3×0.3=0.9 2 3 0.189 0.027 (2)设B=“任取一个零件为次品” 4=“零件是从i箱取出的”（亿=1,2）， 则2=AU4,且4∩4，=⑦，有题意知： P4)分P氏4)片Pa14)P4)动 由全概率公式： Pm=P)PaAP)P8)-分品品 由贝叶斯公式知： 13 P(A)P(B4) 220-3 P(4B)FP(4)P(B4)+P(4)P(B14) 7 40 17.答案：(1)证明见解析； a15-4 9 解析：(I)因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接AC, B 在△PAC中，F,N分别为PA,PC的中点， 则有FNIAC,而直线FN￠平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以FNI平面ABCD: (2)因为平面PDCE⊥平面ABCD,DP⊥DC, 平面PDCE∩平面ABCD=CD,DPC平面PDCE, 所以DP⊥平面ABCD,又ABIICD,AB⊥AD,故DC⊥AD 以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为xy,z轴， 建立空间直角坐标系， 则P(0.0,V2),41,0.0),B(1,10),C(0,2.0), E02时a9c0ren引 所以PB=41.-V2),BC=(-110) m(片29E-02-5 设平面PBC的法向量为m=(xy,2), PB=x+y-2=0 则mBC=-x+y=0 ,令 ,得m=11 x=1 设平面EFG的法向量为n=(a,b,c), 则 2 元.GE=(2-t)b+2c=0 令6=V5,得n=(V2+2W55.t-2 一计 2W2:+2 6 2+22+(N°+t-2 6 整理可得9r+8t-11=0, 2 解得1=西-4 9 政=下西-4合去 9 即Dc的长为西-4 9 18.答案：(1)y=(e2-3)x-e2+1 (2)证明见解析： a*j 解当，1=e分-1， 则f'(x)=e*-x-1,从而f(2)=e2-5,f'(2)=e2-3, 故曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y-(e2-5)=(e2-3(x-2). 即y=(e2-3)x-e2+1: (2)设8()=f'()=e-x-1,则g(x)=e-1 显然g(x)≤0在(-0,0]上恒成立，所以∫'(x)在(-∞，0)上单调递减 又f'(0)=0,所以f'(x)≥0在(-0,0]上恒成立， 所以f(x)在(-o,0)上单调递增， 故f()≤f(O)=0,即当x≤0时，f(x)≤0， (3)由题意可得f'(x)=e*-2ar-1. 设h(x)=f'(x)=e*-2ax-l,则(x)=e*-2a ①若a≤0，显然h(x)>0,则h(x)在(-o,+o)上单调递增， 即f'(x)在(-0，+∞)上单调递增又f'(0)=0, 所以当x∈(-o,0)时，f'(x)<0,当x∈(0，+o)时，f'(x)>0, 则f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 又f(0)=0,所以f(x)只有一个零点，故a≤0不符合题意 ②若0<a<2,则当xe(o,ln(2a)时，H(r)<0, 当x∈(n(2a),+oo)时，h(x)>0, 则f'(x)在(-o,n(2a)上单调递减，在(ln(2a),+∞）上单调递增。 又fo=0:所以r(2a》0:xra)e云>0， 所以存唯的气气an(2a,使海)0 当x∈(-o,o)U(0,+o)时，f'(x)>0,当x∈(x,0)时，f'(x)<0, 则f(x)在(-，x),(0,+∞)上单调递增，在(，0)上单调递减 又f(0)=0,所以f(x)>0,又当x→-0时，f(x)→-0， 所以f(x)恰有两个零点，则0<a<2符合题意 ③若a=2,则由(2)知f'(x)≥0在R上恒成立， 所以.f(x)在(-0，+∞)上单调递增， 又f(0)=0,所以f(x)只有一个零点，则a=2不符合题意 ④若a>2,则当xe(-0,ln(2a》时，h(x)<0, 当x∈(n(2a),+o)时，h(x)>0, 则f'(x)在(-oo,ln(2a)上单调递减，在(n(2a),+o∞)上单调递增， 又f'(0)=0,所以f'(血(2a)<0,又f'(4a）=ea-8a2-1>0, 所以存在唯一的x∈(n(2a),4a）,使得f'(x)=0. 当x∈(-0,0U(x,+0)时，f'(x)>0,当x∈(0，x)时，f'(x)<0, 则f(x)在(-0,0)，(x,+∞）上单调递增，在(0，x)上单调递减， 又f(0)=0,所以f(x)<0,又当x→+o时，f(x)→+0， 1 所以f(x)恰有两个零点，则a>2符合题意 仿，a束童施时行+ x 19答案：1)4+3=l (2)①证明见解析： 2W6 ② 0. 9 解析：(1)由椭圆的定义，点M的轨迹是以(0，)，(0，一)为焦点， y2,x2 长轴2a=4的椭圆，所以点M的轨迹方程为：4+3 =1 2)由(1)知，0，-1).，T0,1)为椭圆2：少x2 43 -=1的焦点， 由题意知PG交y轴于点O,设直线PI交y轴于N, ,G为△P57重心， =2， GO ①方法一： ,I为△PST的内心 ·IT,IS分别平分∠PTS,∠PST PS PI PT ·SN IN TN PI_PS+PT_24=2 IN SN+TN 2c PL=2-PG IN 0,且P不在坐标轴上， ∴.IG与y轴平行 方法二：由对称性，不妨设点 P(xo,%)(x≠0，，≠0)在y轴右侧， 市面知2x=Sm方2+4r→r- 31 :x==0,:1G与)轴平行 3 ®设点P代k,川K+0%0则G等号 +=1 :PT=V6+(0%-1且3 4 则r-安)--k-44-2 同理：PS=2+2为，I为△PST的内心 TN PT TN PT NS=PS 2c=2a w=1-0 设A(x,y）B(,)” +=1 则 34 -业=4+五=4 3y+⅓3% 34 设3y% 合5+公=1化简，直线：y=+ 4 结合34 y, x2,y2 4=m3+4-l→(4+3k2)×2+6kmx+3m2-12=0 设3y y=kx+m +9y2 8 一|N +公=1化简，△= 2048 结合 34 3y,2 6km x1+x2= 4+3k2 3m2-12 XX2= 4+3k2 32W6 k44 3y%l(4+32) 86 (。26k+0 52ck-3t+09) ∈0， （或者，其中3k2+4=4400=3，“=V6w2 3y2