9.1 正弦定理与余弦定理（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

9.1 正弦定理与余弦定理 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 正弦定理 考点一：正弦定理 1. 正弦定理 条件 在△ABC中，角所对的边分别为 结论 （为三角形外接圆的半径） 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2. 对正弦定理的理解 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．（若，则；反之，若，则）； （4）主要功能：实现三角形中边角关系的转化。 考点二：正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 （1）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，csin A＝asin C； （2）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （3）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （4）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； （5）＝2R. 考点三：三角形的面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 考点四：正弦定理解决的两类问题 类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 考点五：三角形解的个数问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 1.当为锐角时： 2.当为钝角时 题型一：正弦定理及辨析 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等：. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由正弦定理计算求解判定各个选项. 【详解】由正弦定理，得， 又，，B正确；A错误；C错误； 由， 得，D正确． 故选：BD. 3．（25-26高一下·天津武清·月考）在中，，，则______． 【答案】/ 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 所以. 4．（25-26高一下·云南红河·期中）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、正弦定理及辨析 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 题型二：运用正弦定理解三角形 1、已知两角一边解三角形 （1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； （2）求边：根据正弦定理，求另外的两边. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解. 2、已知两边一对角解三角形 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角； （3）如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论. 1．（25-26高一下·云南楚雄·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 2．（25-26高一下·天津河北·月考）在中，角的对边分别为．若，，，则角（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，解得， 又因为，，所以或. 3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【答案】A 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 4．（25-26高三下·海南·月考）在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 【详解】在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 5．（2026·广东茂名·二模）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角函数基本关系得到，进而利用和差公式计算，再由正弦定理计算边长即可． 【详解】，， ，由正弦定理和大边对大角，则， 又, ，， ， 则， 又， 故． 6．（25-26高一下·天津·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理，直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：，解得：. 故答案为：. 7．（25-26高一下·上海·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和为，可得角C，根据正弦定理，即可得答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理得，则，解得 8．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 题型三：三角形多解的判定 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解： 1.当为锐角时： 2.当为钝角时 1．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 4．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】因为该三角形有两解，所以， 即，所以的取值范围是. 5．（25-26高一下·广西贵港·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（   ） A．5 B．6 C． D．7 【答案】BD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】由题意可知，以为圆心，为半径的圆与边所在直线只有一个交点，如下图所示： 所以或，即图中处对应的两种情况； 因此选项中符合的取值为6和7. 题型四：三角形外接圆的问题 由三角形的一边及对角，根据正弦定理即可求得三角形外接圆的半径，进而可求解圆的面积、周长等. 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 4．（25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 【答案】5 【分析】利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. 题型五：正弦定理进行边角互化 由正弦定理可得：（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝；据此，可对题干中的条件信息，进行边、角的相互转化. 正弦定理进行边角互化，是边与对角的正弦值进行相互转化，以“”为中介，因此必须在“齐次”的条件下，才能进行相互转化. 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，又，因此，又， 所以． 2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）在中，内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，然后利用三角恒等变换化简求解. 【详解】A选项，， 由,，故为充要条件； B选项，， 而，则或，为必要不充分条件； C选项，，由， 则，为充要条件； D选项，，由，得， 从而且，， ，为充要条件. 3．（25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、向量垂直的坐标表示 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：D 5．（2026高一下·全国·专题练习）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理可得，进而得到，再结合三角形内角即可求解． 【详解】由已知条件及正弦定理得， 又在三角形中，． 又，或． 故选：BD． 6．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C所对的边，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件，由正弦定理与两角和的正弦公式化简，可求得A的值； （2）由正弦定理和已知条件，有，再讨论的范围，可得的取值范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 由，代入化简得， 锐角中，，则有，即， 为锐角，所以，即. （2），，由正弦定理有， 则 ， 又，解可得，则 则有，故． 题型六：三角形中的射影定理 在三角形中，可得，，.根据正弦定理即可证明，称为三角形中的“射影定理”. 1．（25-26高一下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 【答案】6 【分析】结合题设利用射影定理可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6 考点02 余弦定理 考点一：余弦定理 1．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 2．余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 3．余弦定理的推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 考点二：余弦定理在解三角形中的应用 类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：余弦定理及辨析 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍： a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别是，，，则有 余弦 定理 语言叙述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的__________减去这两边与它们夹角__________的积的__________倍 公式表达 __________ __________ 可改写为 【答案】 平方和 余弦 2 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】略 【详解】略 2．（25-26高一下·贵州黔西·月考）（用向量法）:证明余弦定理 【答案】证明见解析 【知识点】数量积的运算律、余弦定理及辨析 【分析】构建三角形，利用向量表示三角形的量，再利用向量的运算法则计算即可证明. 【详解】证明：在中，三个角所对的边分别是， 如图设那么 所以， 所以， 同理得，； 题型二：运用余弦定理解三角形 1、已知两角一边解三角形 必须先判断该角是给出两边中的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中的一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 2、已知三边解三角形 已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角，利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角. 1．（25-26高一下·浙江宁波·月考）在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，在中，，，， 由余弦定理，可得， 所以. 2．（25-26高一下·河南·月考）在中，，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理得， 由得， 由正弦定理得的外接圆半径． 3．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 4．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 5．（2026·安徽淮南·二模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 【答案】ACD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理及二倍角余弦公式得到，结合正弦定理及二倍角正弦公式判断选项A；根据已知条件得到，结合余弦定理即可求出，即可判断选项C；根据二倍角余弦公式即可判断选项B；根据三角形面积相等即可判断选项D. 【详解】由，得， 即， 由余弦定理得，所以，即. 所以或（舍去，角度为正值）. 对于A：由正弦定理得， 又，所以，则，即，A正确. 对于C：因为，，则，所以. 由余弦定理得，即， 整理得，解得或. 若，则为等腰三角形，，又，所以，即， 所以，所以与矛盾，故舍去. 因此，，故C正确. 对于B：，故B错误. 对于D：由，，得. 则. 设内切圆半径为，则， 所以，解得，故D正确. 题型三：余弦定理进行边角互化 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换（因式分解、配方等），求出三边之间的数量关系，统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 1．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即， 所以是等腰三角形， （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积， 又，所以， 所以. 3．（25-26高一上·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1)；(2) 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 题型四：三角形的面积问题 1、求三角形面积的方法 （1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），及其该角的两边，代入公式求面积； （2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2、已知三角形面积求边、角的方法： （1）若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； （2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列出方程求解. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 【答案】/ 【详解】由正弦定理 ，代入已知可得， ， 因为，三角形内角和为，所以，即由上可得， 所以， 则由三角形面积公式 2．（25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 【答案】/ 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出，最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径即可. 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. 3．（25-26高一下·江西·期中）中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 【答案】 【分析】利用等面积法列出方程求解即可. 【详解】依题意，设，. 由，可得. 解得. 4．（2026·山东德州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理求出与之间的关系，结合，利用三角恒等变换即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，再求，结合三角形面积公式求结论即可. 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理知，， 又由， 故， 所以，故． （2）由知，， ， 因为， 所以记的面积为， 所以， 故的面积为． 5．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． （2）． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 题型五：三角形形状的判定 判断三角形的形状时，经常用到一下结论： （1）为直角三角形或或； （2）为锐角三角形且且； （3）为钝角三角形或或； （4）若，则或. 1．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 2．（25-26高一下·福建·月考）已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【详解】，， 由余弦定理可得，去分母得：，即， 则为直角三角形. 3．（25-26高一下·山西大同·月考）已知的三边长分别是，若，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【详解】由，得，则， 即有，因此，即， 在中，，边所对的角为最大角， 由余弦定理得，则边对应的角为锐角． 所以为锐角三角形． 4．（25-26高一下·湖南·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 5．（25-26高一下·湖南·月考）在中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据余弦定理求出的值，进而判断三角形的类型. 【详解】由余弦定理得， 又在中，，则为钝角， 所以为钝角三角形. 6．（25-26高一下·重庆江津·月考）在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解. 【详解】在中，， 因此可得 ，， 将其代入已知条件 ， 因为是三角形内角，，所以， 又是三角形内角，故， 所以此三角形是直角三角形. 题型六：三角形中的范围（最值）问题 1、不等式法：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围. 2、函数法：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 1、要注意基本不等式应用的“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件； 2、要注意三角形隐含角的范围. 1．（25-26高一下·重庆万州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【详解】因为，，所以， 所以， 由题意得，解得， ，解得， 又，综上：， 所以，所以 2．（25-26高一下·吉林四平·月考）在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】首先根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，然后根据面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 故. 因此，面积的最大值为. 3．（25-26高一下·北京·月考）已知的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角． （2）利用正弦定理和辅助角公式将表示成关于角的函数，再求出周长取值范围即可． 【详解】（1）且，． 由正弦定理，得， 代入上式化简得， ，又，. （2）在中，， 由正弦定理得． ． 又，． ． ，， ． 即的取值范围为，又，则周长的取值范围为. 4．（25-26高一下·四川遂宁·月考）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将用角表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值. 【详解】（1）选①根据正弦定理可知:， 即，结合，展开化简得， 故，又，所以； 选②根据正弦定理可得: 根据余弦定理可得:，又，所以； 选③根据向量点乘运算可得:， 又，所以. （2）设周长，由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：，解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，因此周长：； （3）如图，设，则，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得:可得， ， 是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是. 5．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）先由正弦定理将已知关系式化为边的二次式，再利用余弦定理求角； （2）由是锐角三角形求出的范围，由正弦定理及将转化为关于的三角函数，求出范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，可转化为，即， 由余弦定理，又，所以； （2）因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理可得，， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即周长的取值范围是. 1．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】设，，，利用三角形重心性质、向量线性运算建立关于的方程，可得，可得的面积为， 再利用换元法和对勾函数性质求解最值. 【详解】如图所示，取的中点为， 因为点是正三角形的重心，则，即， 所以，① 设，，，，， 则 ，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则， 得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为 ， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 2．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即， ，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，由余弦定理： 由， 得：， ，， 将代入分子： ， 于是， 而，所以， 由于，，且由得，故， 因此，从而， 在区间内余弦函数单调递减， 由，得：成立，故B选项正确； 对于C，若，，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角，未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 4．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 6．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【详解】由正弦定理，可得. 7．（2026高一下·全国·专题练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_____________． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值 【分析】先应用正弦定理及诱导公式化简得出，最后结合角的范围求解角. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 因为， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 故答案为： 8．（25-26高一下·山东淄博·月考）在中，角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，且三角形周长为10时，求面积. 【答案】(1)；(2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简，求出，即可求解； （2）由已知可得，再由结合余弦定理，求出，进而求出面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以. （2）因为，且三角形周长为，则， 由余弦定理得， 即，解得， 所以面积. 9．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，角所对的边分别为，且，． (1)求边长和的周长； (2)求的值． 【答案】(1)6；15；(2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【详解】（1）由题意可得， 解得， 的周长为. （2）因为，，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以. 10．（25-26高一下·陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 【答案】(1)；(2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用余弦定理可求的大小. （2）利用基本不等式，结合三角形的面积公式，可求面积的最大值. 【详解】（1）由. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由，得， 所以（当且仅当，即为等边三角形时取等号）. 所以. 所以面积的最大值为. 11．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）先利用三角形的面积公式，求得，再利用余弦定理，求得，结合求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得， 所以， 由正弦定理得，则， 又因为，所以. （2）解：因为的面积为，且， 所以，解得， 又因为，由余弦定理得， 即，所以， 则，可得， 所以的周长为. 12．（25-26高一下·天津·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． (1)求a的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得，再解方程即可． （2）由已知利用余弦定理可求的值，进而得到，再利用二倍角公式可求，，进而根据两角差的余弦公式即可求解的值． 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，可得， 可得，解得，或（舍去）， 即a的值为6； （2）由余弦定理，，则， 所以，， ． 13．（2026高一·广东·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求角大小； （2）利用配方，结合已知条件即可求，从而可求面积大小. 【详解】（1）由余弦定理得：， ， 又由，因为，所以. （2）由，， 可得， 所以的面积为. 14．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 15．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 正弦定理与余弦定理 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 正弦定理 考点一：正弦定理 1. 正弦定理 条件 在△ABC中，角所对的边分别为 结论 （为三角形外接圆的半径） 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2. 对正弦定理的理解 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．（若，则；反之，若，则）； （4）主要功能：实现三角形中边角关系的转化。 考点二：正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 （1）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，csin A＝asin C； （2）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （3）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （4）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； （5）＝2R. 考点三：三角形的面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 考点四：正弦定理解决的两类问题 类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 考点五：三角形解的个数问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 1.当为锐角时： 2.当为钝角时 题型一：正弦定理及辨析 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等：. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·天津武清·月考）在中，，，则______． 4．（25-26高一下·云南红河·期中）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：运用正弦定理解三角形 1、已知两角一边解三角形 （1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； （2）求边：根据正弦定理，求另外的两边. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解. 2、已知两边一对角解三角形 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角； （3）如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论. 1．（25-26高一下·云南楚雄·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·天津河北·月考）在中，角的对边分别为．若，，，则角（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 4．（25-26高三下·海南·月考）在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026·广东茂名·二模）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·天津·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则______． 7．（25-26高一下·上海·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 8．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 题型三：三角形多解的判定 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解： 1.当为锐角时： 2.当为钝角时 1．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 4．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西贵港·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（   ） A．5 B．6 C． D．7 题型四：三角形外接圆的问题 由三角形的一边及对角，根据正弦定理即可求得三角形外接圆的半径，进而可求解圆的面积、周长等. 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 4．（25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 题型五：正弦定理进行边角互化 由正弦定理可得：（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝；据此，可对题干中的条件信息，进行边、角的相互转化. 正弦定理进行边角互化，是边与对角的正弦值进行相互转化，以“”为中介，因此必须在“齐次”的条件下，才能进行相互转化. 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）在中，内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一下·全国·专题练习）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C所对的边，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 题型六：三角形中的射影定理 在三角形中，可得，，.根据正弦定理即可证明，称为三角形中的“射影定理”. 1．（25-26高一下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 考点02 余弦定理 考点一：余弦定理 1．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 2．余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 3．余弦定理的推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 考点二：余弦定理在解三角形中的应用 类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：余弦定理及辨析 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍： a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别是，，，则有 余弦 定理 语言叙述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的__________减去这两边与它们夹角__________的积的__________倍 公式表达 __________ __________ 可改写为 2．（25-26高一下·贵州黔西·月考）（用向量法）:证明余弦定理 题型二：运用余弦定理解三角形 1、已知两角一边解三角形 必须先判断该角是给出两边中的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中的一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 2、已知三边解三角形 已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角，利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角. 1．（25-26高一下·浙江宁波·月考）在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南·月考）在中，，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 5．（2026·安徽淮南·二模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 题型三：余弦定理进行边角互化 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换（因式分解、配方等），求出三边之间的数量关系，统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 1．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求边上的高. 3．（25-26高一上·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 题型四：三角形的面积问题 1、求三角形面积的方法 （1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），及其该角的两边，代入公式求面积； （2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2、已知三角形面积求边、角的方法： （1）若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； （2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列出方程求解. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 2．（25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 3．（25-26高一下·江西·期中）中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 4．（2026·山东德州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 5．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 题型五：三角形形状的判定 判断三角形的形状时，经常用到一下结论： （1）为直角三角形或或； （2）为锐角三角形且且； （3）为钝角三角形或或； （4）若，则或. 1．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 2．（25-26高一下·福建·月考）已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26高一下·山西大同·月考）已知的三边长分别是，若，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 4．（25-26高一下·湖南·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．（25-26高一下·湖南·月考）在中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（25-26高一下·重庆江津·月考）在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型六：三角形中的范围（最值）问题 1、不等式法：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围. 2、函数法：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 1、要注意基本不等式应用的“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件； 2、要注意三角形隐含角的范围. 1．（25-26高一下·重庆万州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为________． 2．（25-26高一下·吉林四平·月考）在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 3．（25-26高一下·北京·月考）已知的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 4．（25-26高一下·四川遂宁·月考）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围 (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 5．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 1．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 4．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 6．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 7．（2026高一下·全国·专题练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_____________． 8．（25-26高一下·山东淄博·月考）在中，角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，且三角形周长为10时，求面积. 9．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，角所对的边分别为，且，． (1)求边长和的周长； (2)求的值． 10．（25-26高一下·陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； 11．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 12．（25-26高一下·天津·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． (1)求a的值； (2)求的值． 13．（2026高一·广东·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 14．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 15．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $