6.4.3 课时1 余弦定理（分层作业，6大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.4.3 课时1 余弦定理 知识点一 已知两边及一角解三角形 1．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 2．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一下·天津南开·月考）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则_________． 知识点二 已知三边解三角形 1．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·天津宝坻·月考）在中，若，，，则的最小角为________． 5．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____. 知识点一 利用余弦定理边角互化 1．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·江苏沐阳·月考）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 3．（242-5高一下·广东广州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 5．（24-25高一下·宁夏银川·期中）已知分别为的内角的对边，且.角_____________. 知识点二 求边或角的取值范围 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为_________. 4．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，，，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边的取值范围是______. 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 知识点三 利用余弦定理判断三角形的形状 1．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 2．（24-25高一下·山东·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 知识点一 余弦定理与平面图形结合 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昭通·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 4．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若，则___________． 5．（24-25高三下·江苏盐城·月考）如图，在平面四边形中，平分． (1)若，求； (2)若，求． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 课时1 余弦定理 知识点一 已知两边及一角解三角形 1．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去），故选：A 2．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，所以.故选：A 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以.故选：A. 4．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ，故选：C. 5．（24-25高一下·天津南开·月考）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则_________． 【答案】3 【解析】由，故， 则，故． 知识点二 已知三边解三角形 1．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，.故选：C． 2．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得.故选：B. 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是.故选：C 4（24-25高一下·天津宝坻·月考）在中，若，，，则的最小角为________． 【答案】 【解析】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以. 5．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____. 【答案】 【解析】令，，， 由余弦定理可得. 知识点一 利用余弦定理边角互化 1．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以.故选：A 2．（24-25高一下·江苏沐阳·月考）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】依题可得，即，则或， 因为，所以或或．故选：ACD 3．（242-5高一下·广东广州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 整理可得①， 又， 可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则.故选：D 4．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 【答案】 【解析】由题设，，则， 所以，，则. 5．（24-25高一下·宁夏银川·期中）已知分别为的内角的对边，且.角_____________. 【答案】 【解析】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 知识点二 求边或角的取值范围 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则，若为钝角三角形， 则，得， 又因，则，得，故故选：A 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即，故答案为：C． 3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为_________. 【答案】 【解析】中，，，， 则，即， 因为有一内角与其半角不为同一象限角， 所以内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角， 则或， 由余弦定理得（其中）或（其中）， 即（其中）或（其中）， 解得或，又， 则或，即边长的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，，，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边的取值范围是______. 【答案】 【解析】由三角形可得，解得， 若该三角形为钝角三角形，为最大边，则角为钝角，， 可得即，解得， 故答案为： 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】由题意得， 又，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以，即的取值范围为， 知识点三 利用余弦定理判断三角形的形状 1．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【解析】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以，结合，可得一定是等边三角形．故选：A. 2．（24-25高一下·山东·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】由余弦定理可知，． 因为，所以，得，即， 则， 则，从而△ABC是钝角三角形．故选：C 3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形，故选：B. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形.故选：B 5．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确.故选：B 知识点一 余弦定理与平面图形结合 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，, 在中，.故选：B 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故.故选：A. 3．（24-25高一下·云南昭通·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】在中，由，，，得， 在中，，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时取等号， 解得， 所以当，取得最小值2. 4．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若，则___________． 【答案】4 【解析】因为，所以， 又，所以， 又，所以四边形 是平行四边形， 所以, 又 ，所以 ， 即 均为等腰三角形。 设，则， 又， 所以， 因为， 所以， 在中由余弦定理： ， 代入， ，解得， 在中， 由余弦定理得： 代入数据可得：，解得， 所以 故答案为：4 5．（24-25高三下·江苏盐城·月考）如图，在平面四边形中，平分． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）平面四边形中，内角和为，且 则.且. 平分， 结合上面式子，则，， 故，， ， 在中，由余弦定理得． （2）平分．设，则． 设， 则， 在中，由余弦定理得， ，解得 则， 即 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $