高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 3．（本题5分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 4．（本题5分）下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 5．（本题5分）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 11．（本题6分）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，若与平行，则实数________． 13．（本题5分）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为______.    参考数据:. 14．（本题5分）平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 四、解答题 15．（本题13分）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 17．（本题15分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若且，求的值. 18．（本题17分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 19．（本题17分）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分）已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】由，得， 解得. 故选：C 3．（本题5分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4．（本题5分）下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【答案】C 【分析】根据向量的概念、模的概念判断AB，根据相等向量的概念判断C，根据零向量的定义及共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误； 对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误； 对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误. 故选：C 5．（本题5分）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】因， 由可得， 则在方向上的投影向量是. 故选：A. 6．（本题5分）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为． 故选：D.    7．（本题5分）在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角转化，表示出，利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积. 【详解】由正弦定理，， 则， 则， 当且仅当取等号， 又由于，， 所以,， . 故选：B. 8．（本题5分）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 二、多选题 9．（本题6分）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确； 由平面向量数量积的交换律可知，，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 10．（本题6分）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A，可得或，即可判断B，分析可得中必有一个为钝角，即可判断C，利用余弦定理将角化边，即可判断D. 【详解】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B：在中，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：因为，由余弦定理可得， 即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 11．（本题6分）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知，，若与平行，则实数________． 【答案】/ 【分析】根据向量共线的坐标形式即可求解. 【详解】由题意得 ， 由于与平行，故，解得：， 故答案为： 13．（本题5分）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为______.    参考数据:. 【答案】 【分析】根据题意可得， ，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中， ， ，所以 ， 则有，所以. 又 ，所以 ， 在中， ， 由正弦定理得. 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两个基站之间的距离为. 故答案为：. 14．（本题5分）平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】根据数量积的几何意义，找到最值时点M的位置，用基底、表示、，再结合数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】如图所示，    根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长， 所以此时最大， 因为，， 所以 ， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行关系可构造方程求得，根据向量模长运算可求得结果； （2）根据向量数量积坐标运算可求得，结合向量夹角公式可求得结果. 【详解】（1），，解得：，则， . （2），，解得：，， ，，，， . 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和两角差的余弦公式即可求解； （2）根据条件得出，然后利用正弦定理和勾股定理，同角三角比的关系和二倍角公式即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. （2）如图，因为，所以，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为， 所以，所以， 所以. 因为，所以，即. 在中，. 所以， 所以 . 18．（本题17分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 【答案】(1)或， (2)① ；②时，S取到最小值 【分析】（1）由题意，得到，求得或和或，即可求解； （2）①利用正弦定理，求得，结合面积公式，即可求解； ②利用二倍角公式和积化和差公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，可得或，所以或， 由，可得或， 所以或， ． （2）解：①在和中使用正弦定理，可得 于是． ②利用二倍角公式和积化和差公式可得： ， 由题意可得，所以， 当，即时，S取到最小值． 19．（本题17分）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)①，②7 (3)9 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $