高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值. 【详解】， ， . 故选：D. 3．（本题5分）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 4．（本题5分）下列命题中正确的是（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．零向量没有方向 D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量 【答案】D 【分析】由相等向量、零向量及共线向量的概念逐个判断即可. 【详解】对于AB，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，故AB错误； 对于C，零向量的方向是任意，故C错， 对于D，平行向量又称共线向量，正确， 故选：D 5．（本题5分）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 6．（本题5分）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 7．（本题5分）记的内角的对边分别为，面积为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，故，由三角形面积公式得到，由余弦定理求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 则，由，得， 由余弦定理可得，，所以， 故选：B. 8．（本题5分）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 二、多选题 9．（本题6分）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 10．（本题6分）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是钝角三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】CD 【分析】 由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D. 【详解】 对于A，中，若，则有或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形， 故A选项不正确， 对于B，中，若，则或， 即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确； 对于C，中，若，则根据正弦定理得， 余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，中，若，则，即， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，. 即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可 【详解】由题， ，又，则， 则，为正三角形，， 故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，则， 则， 则当时，取最小值；当时，取最大值3，故. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________； 【答案】2 【分析】由向量不能组成基底得向量共线，进而可得. 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得. 故答案为：2. 13．（本题5分）如图，海岸线上有相距的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距的D处；乙船位于塔B的北偏西方向，与B相距的C处，则两货轮的距离为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】连接AC，由题意可知，， 所以，， 根据余弦定理可得： ， 所以. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出； （3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出． 【详解】（1）因为，，，． （2），， ，， 解得． （3）与的夹角是钝角，，且， ，且，解得且． 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为或 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出答案； （2）根据余弦定理、三角形面积公式可得答案. 【详解】（1），由正弦定理得， 因为，， 所以，； （2）由（1），由余弦定理得， 因为的面积为，所以， 得，代入可得，， 由，解得或， 所以边的长为或． 18．（本题17分）某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时人工湖的面积最小，最小值为 【分析】（1）使用勾股定理得到，使用余弦定理得到，进一步得到，，然后得出，最后得出结果； （2）假设，得到，然后利用正弦定理得到，表示，然后计算判断即可. 【详解】（1）因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 19．（本题17分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为f(x)，求的最大值； (2)已知动点满足，且 的相伴函数在时取得最大值，求 的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，且点 为的外心，求 的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦展开式化简可得，再利用三角函数性质可得答案； （2）由辅助角公式得，根据在时取得最大值求出，可得，根据在上单调递减可得答案； （3）根据求出，根据正弦定理可得外接圆的半径R，再利用可得答案. 【详解】（1）由题意得 因为，所以的最大值为； （2）由题设可得， 且  在时取得最大值， 得，则 所以     令，，设， 则， 因为，所以， 可得，， 所以在上单调递减， 故 所以 的最小值为 ； （3）由题意得 因此 设外接圆的半径为R，根据正弦定理可得 故所以 又 又 ，所以 ， 所以 所以当时，取得最大值，最大值为6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分），，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 4．（本题5分）下列命题中正确的是（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．零向量没有方向 D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量 5．（本题5分）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 7．（本题5分）记的内角的对边分别为，面积为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 10．（本题6分）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是钝角三角形 D．若，则是等边三角形 11．（本题6分）在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 三、填空题 12．（本题5分）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________； 13．（本题5分）如图，海岸线上有相距的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距的D处；乙船位于塔B的北偏西方向，与B相距的C处，则两货轮的距离为________． 14．（本题5分）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 17．（本题15分）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 18．（本题17分）某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 19．（本题17分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为f(x)，求的最大值； (2)已知动点满足，且 的相伴函数在时取得最大值，求 的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，且点 为的外心，求 的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $